北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题

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中国人民大学附属中学2019届高三10月统一练习 数学(理)试题 说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.‎ 一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）‎ ‎1.若集合A＝{x∈Z||x|＜3}，B＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）‎ A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3}‎ C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合后利用集合的交集运算进行运算可得.‎ ‎【详解】因为集合,,‎ 所以,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已如函数f（x），则f′（π）+f′（﹣π）＝（　　）‎ A. ﹣2 B. ‎2 ‎C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入和计算可得.‎ ‎【详解】因为f（x）,所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．‎ 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A. 若ea+‎2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+‎2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea‎-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea‎-2a=eb-3b，则a＜b ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】若，必有．‎ 构造函数：，则，‎ 则恒成立，‎ 故有函数在x＞0上单调递增，‎ 所以a＞b成立．故选A．‎ ‎6.已知曲线y＝2sin（x）cos（）与直线y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|P1P5|等于（　　）‎ A. π B. 2π C. 3π D. 4π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为,根据已知条件得到关于的方程,求出方程的解,进而得到的横坐标,从而可得的值.‎ ‎【详解】因为 ‎ ‎,‎ 所以由,得,‎ 所以或,,‎ 所以或,,‎ 所以的横坐标依次是,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.‎ ‎7.函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】当时，‎ 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有符合要求 故选 ‎【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．‎ ‎8.已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，，给出如下命题：‎ ‎①； ‎ ‎②直线是函数的图象的一条对称轴；‎ ‎③函数在上为增函数；‎ ‎④函数在上有四个零点.‎ 其中所有正确命题的序号为（ ）‎ A. ①② B. ②④ C. ①②③ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定 ‎【详解】①令，则由，函数是定义在上的偶函数，‎ 可得：，故，故①正确 ‎②由可得：，故函数是周期等于6的周期函数 是偶函数，轴是对称轴，故直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确 ‎③当，且时，，‎ 故在上为增函数 是偶函数，故在上为减函数 函数是周期等于6的周期函数 故在上为减函数，故③错误 ‎④函数是周期等于6的周期函数 故函数在上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．‎ 二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)‎ ‎9.函数的定义域为________．‎ ‎【答案】[2，+∞）‎ ‎【解析】‎ 分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.‎ 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.‎ 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.‎ ‎10.计算 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出被积函数2x的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．‎ ‎【详解】解：（2x）dx ‎＝（x2+lnx） ‎ ‎＝e2+lne﹣1﹣ln1‎ ‎＝e2‎ 故答案为e2‎ ‎【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．‎ ‎11.如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案.‎ ‎【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2，‎ ‎∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形，即MN＝4，‎ 即三角函数的周期T＝8，由T8，得ω，‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题.‎ ‎12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinC＝2sinA，b2﹣a2ac，则sinB等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sinC＝2sinA以及正弦定理得c＝‎2a，再由b2﹣a2ac得ba,然后由余弦定理可求得,根据同角公式可得.‎ ‎【详解】由sinC＝2sinA以及正弦定理得c＝‎2a，‎ 又b2﹣a2ac，得b2﹣a2a×‎2a＝a2，‎ 即b2＝‎2a2，则ba，‎ 由余弦定理得cosB，‎ 因为,所以sinB，‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.‎ ‎13.已知函数，‎ 其中c>0.那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是，则c的取值范围是________．‎ ‎【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数概念，分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f（x）的零点．‎ 根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f（x）的值域恰好是[−，2]，所以当0≤x≤c时，f（x）=的最大值小于等于2，即可解出实数c的取值范围.‎ ‎【详解】当x≥0时，令=0，得x=0； ‎ 当x＜0时，令x2+x=0，得x=-1或x=0（舍去）‎ ‎∴f（x）的零点是-1和0‎ ‎∵函数y=x2+x= ，在区间[-2，-）上是减函数，在区间（-，0）上是增函数 ‎∴当x∈[-2，0）时，函数f（x）最小值为f（-）=-，最大值是f（-2）=2‎ ‎∵当0≤x≤c时，f（x）= 是增函数且值域为[0，]‎ ‎∵f（x）的值域是[−，2]，∴ ≤2，即0＜c≤4‎ ‎【点睛】函数的零点是实数，是方程f（x）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f（x）与x轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.‎ ‎14.设集合 ，．记 为同时满足下列条件的集合 的个数：① ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ．‎ 则（1） =_____________；‎ ‎（2） 的解析式（用 表示） =_____________．‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，符合条件的集合为，‎ 所以．‎ ‎（2）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，‎ 于是，其中为奇数，．由条件知，‎ 若，则；‎ 若，则．‎ 于是是否属于由是否属于确定．‎ 设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数．‎ 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或），‎ 所以. ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.)‎ ‎15.在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求 试题解析：解（1）因为，，所以 由正弦定理知，所以 ‎（2）在中，，所以，‎ 于是 又故 因为，所以 因此 ‎【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.‎ 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.‎ ‎（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；‎ ‎（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,‎ ‎.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）乙科 ‎【解析】‎ ‎【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量总是下降，只需利用函数的单调性证明单调递减即可；⑵中，根据题意，建立方程求的估计值，结合给出的范围，进行判断.‎ ‎⑴证明：当时，，，‎ 函数单调递增，故单调递减，‎ 所以当时，掌握程度的增加量总是下降.‎ ‎⑵解：由题意知整理可得 所以由此可知，该学科为乙科.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎17.已知函数f（x）＝cos（2x）+2sin（）sin（x）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数y＝f（x）的对称轴方程，并求函数f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）[kπ，kπ]，k∈Z； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）＝cos（2x）+2sin（）sin（x）‎ ‎＝cos2xcossin2xsin2cos（x）sin（x）‎ cos2xsin2x+sin（2x）cos2xsin2x+cos2x cos2xsin2x＝cos（2x），‎ 由2kπ﹣π≤2x2kπ，k∈Z得kπx≤kπ，k∈Z，‎ 即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）由2xkπ得x，即函数的对称轴方程为x，k∈Z，‎ 当时，2x≤π，2x，‎ 所以当2xπ,即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（x）＝cosπ＝﹣1，‎ 当2x,即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（x）＝cos．‎ ‎【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.‎ ‎18.设函数f（x）＝x﹣x2+3lnx．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点外)．‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值3ln；无极小值； （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;‎ ‎（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），转化为证明,利用导数求得最大值即可证明结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣2x，‎ 令f′（x）＞0，解得：0＜x，令f′（x）＜0，解得：x，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，‎ 故f（x）极大值＝f（）3ln3ln；无极小值；‎ ‎（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），‎ g′（x）＝﹣2x﹣1，‎ 令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，‎ 故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ 故g（x）max＝g（1）＝﹣1﹣1+2+3ln1＝0，‎ 故曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点外)．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.‎ ‎19.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）若时,,求取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ 而，‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设函数，‎ ‎．‎ 由题设可得，即，‎ 令得, ．．（6分）‎ ‎①若，则，∴当时，‎ ‎，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，‎ 而．‎ ‎∴当时，，即恒成立． ．（8分）‎ ‎②若，则，‎ ‎∴当时，，∴在单调递增，‎ 而，∴当时，，即恒成立，‎ ‎③若，则，‎ ‎∴当时，不可能恒成立． ．（10分）‎ 综上所述，的取值范围为．（12分）‎ 考点：用导数研究函数的性质．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，，2，4，8，．‎ Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；‎ Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；‎ Ⅲ有多少个集合对，满足P，，且？‎ ‎【答案】(1),,，(2)4，（3）128‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,‎ ‎①且,则;②若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ),,.‎ ‎(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,‎ ‎①且,则;‎ ‎②若且,则.‎ 所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.‎ 所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.‎ ‎(Ⅲ)因为,‎ 所以.‎ 由定义可知：.‎ 所以对任意元素,,‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以.‎ 由知：.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以,即.‎ 因为,‎ 所以满足题意的集合对的个数为.‎ 点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得 ‎，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.‎ ‎ ‎