2019届二轮复习 函数的图象与性质学案（全国通用）
第13讲 函数的图象与性质
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：函数的表示、图象及应用
2018全国卷ⅡT3；2018全国卷ⅢT7；
2017全国卷ⅢT15；2016全国卷ⅠT7；
2016全国卷ⅡT12；2015全国卷ⅡT5；
2015全国卷ⅡT10
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数性质的应用、函数图象的识别及分段函数的求值等方面，多以选择、填空题形式考查，难度一般.
2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
题型2：函数的性质及应用
2018全国卷ⅡT11；2018全国卷ⅢT15；
2017全国卷ⅠT5；2017全国卷ⅠT11；
2016全国卷ⅠT8；2016全国卷ⅢT6；
2015全国卷ⅠT13；2014全国卷ⅠT3；
2014全国卷ⅡT15
题型1 函数的表示、图象及应用
(对应学生用书第65页)
■核心知识储备·
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是函数的三要素，研究函数问题务必遵循“
定义域优先”的原则．
2．分段函数
分段函数的求值、解不等式等问题，应遵循“分段处理”的原则．
3．函数图象及其应用
(1)描点法和图象变换法是作函数图象的两种基本方法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换；
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
■高考考法示例·
【例1】 (1)函数f(x)＝－的定义域为( )
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
(2)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(3)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
A B C D
(1)D (2)C (3)B [(1)函数f(x)＝－的定义域为，
解得1＜x＜2或2＜x≤10，
即(1,2)∪(2,10]，故选D.
(2)当0
0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [当x＝1时，y＝0，则函数在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y
＝1，则＝1，∴a＝2.
则loga＋loga＝loga＝log28＝3.]
2．已知函数f(x)＝则f(f(x))<2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)
B [因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.]
题型2 函数的性质及应用
(对应学生用书第66页)
■核心知识储备·
1．若f(x)在区间D上单调递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；若f(x)在区间D上单调递减，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2.
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
3．与函数对称性有关的三条结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；
特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)；
(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；
特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)；
(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．
■高考考法示例·
►角度一 函数性质的判定
【例2－1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1)时，f(x)＝log0.5(1－x)，则①函数f(x)的周期是2；②f(x)在(1,2)上是增函数，在(2,3)上是减函数；③f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝log0.5(x－3)，其中所有真命题的序号是________．
(1)C (2)①④ [(1)f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C．
(2)①因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x)，所以函数是周期函数，周期为2，所以①正确．
②当x∈[0,1)时f(x)＝log0.5(1－x)，此时函数单调递增．因为函数为偶函数，所以函数在(－1,0)上单调递减，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，所以②错误．③由②知函数在x＝0处取得最小值，在x＝1处取得最大值，因为f(0)＝log0.5(1－0)＝0，所以最小值为0.因为函数的最大值为f(1)，但f
(1)没有具体的数值，所以③错误．④若3＜x＜4，则－4＜－x＜－3，所以0＜4－x＜1，所以
f(x)＝f(－x)＝f(4－x)＝log0.5[1－(4－x)]＝log0.5(x－3)，
所以④正确，故答案为①④.]
►角度二 函数性质的应用
【例2－2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
(2)(2018·安庆市二模)设x，y，z均大于1，且logx＝log y＝log z，令a＝x，b＝y，c＝z，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
(3)设函数f(x)＝log(1＋x2)＋，则使得f(x)≤f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C． D．∪[1，＋∞)
(1)C (2)D (3)C [(1)法一：∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.
∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C．
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故选C．
(2)令log x＝log y＝log z＝t，
所以x＝()t，y＝()t，z＝()t，∴a＝2，b＝3，c＝5，
因为23＜32，∴2＜3⇒a＜b，
因为34＜53，∴3＜5⇒b＜c，∴a＜b＜C．选D.
(3)当x＞0时，f(x)＝log(1＋x2)＋，
∴f(x)在(0，＋∞)上递减，
∵f(x)是偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上递增，
∴f(x)≤f(2x－1)等价于|x|≥|2x－1|，两边平方化简得3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以x的取值范围是，故选C．]
【教师备选】
(1)已知函数f(x)＝lg({x}－x)，其中{x}表示不小于x的最小整数，则关于f(x)的性质表述正确的是( )
A．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．在定义域内为增函数
C．周期函数
D．在定义域内为减函数
(2)已知函数f(x)＝＋sin x，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)＋f′(－2 019)＝( )
A．2 B．2 019
C．2 018 D．0
(1)C (2)A [(1)由{x}表示不小于x的最小整数，则{x}－x＞0，x的取值范围为{x|x∉Z}，故A错误，由定义域可知其图象为不连续的图象，{x}－x∈(0,1)，故函数是周期函数，在定义域内不具有单调性，故选C．
(2)由题意易得f(x)＋f(－x)＝2，
∴函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，
∴f(2 018)＋f(－2 018)＝2，
由f(x)＋f(－x)＝2可得f(x)－1＋f(－x)－1＝0，
∴y＝f(x)－1为奇函数，∴y＝f(x)－1的导函数为偶函数，即y＝f′(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
∴f′(2 019)＋f′(－2 019)＝0.
∴f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)＋f′(－2 019)＝2，故选A．]
[方法归纳] 函数三大性质的应用
1．奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
2．单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．
3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
■对点即时训练·
1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
D [选项A，B是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．故选D.]
2．已知函数f(x)＝(ex－e－x)x2，若实数m满足f(log3 m)－f≤2f(1)，则实数m的取值范围为( )
A．(0,3] B．
C．(0,9] D．∪(3，＋∞)
A [函数的定义域为R，∵f(－x)＝(e－x－ex)(－x)2＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
又当x≥0时，f′(x)＝(ex＋e－x)x2＋(ex－e－x)·2x≥0，
∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则奇函数f(x)在R上为增函数，
∴f(log3 m)－f(logm)＝f(log3 m)－f(－log3 m)＝2f(log3 m)≤2f(1)，即f(log3 m)≤f(1)，∴log3 m≤1，解得0＜m≤3，故选A．]
3．(2018·广东省揭阳市高三学业水平考试)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x＋1|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则xi＝( )
A．0 B．n
C．2n D．4n
C [由f(x)＝f(4－x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且函数y＝|x2－4x＋1|的图象也关于直线x＝2对称，则两个函数图象的交点两两关于直线x＝2对称，故xi＝2n.故选C．]
[高考真题]
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
A B C D
D [当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±
，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1,1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
D [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0
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