2019届二轮复习事件的相互独立性课件（42张）

2019届二轮复习事件的相互独立性课件（42张）

事件 的相互独立性 学习目标 1. 在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 . 2 . 能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题 . 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 甲箱里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球， 2 个黑球 . 从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A 为 “ 从甲箱里摸出白球 ” ，事件 B 为 “ 从乙箱里摸出白球 ”. 思考 1 　事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 思考 2 　 P ( A ) ， P ( B ) ， P ( AB ) 的值为多少？ 答案　 不影响 . 知识点一　相互独立的概念 思考 3 　 P ( AB ) 与 P ( A ) ， P ( B ) 有什么关系？ 答案　 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 梳理　 P ( A ) P ( B ) 条件 设 A ， B 为两个事件，若 P ( AB ) ＝ __________ 结论 称事件 A 与事件 B 相互独立 知识点二　相互独立的性质 条件 A 与 B 是相互独立事件 结论 也 相互独立 A 与 B 与 与 1. 不可能事件与任何一个事件相互独立 .( 　　 ) 2. 必然事件与任何一个事件相互独立 .( 　　 ) 3. 如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P ( B | A ) ＝ P ( B ).( 　　 ) 4. “ P ( AB ) ＝ P ( A )· P ( B ) ” 是 “ 事件 A ， B 相互独立 ” 的充要条件 .( 　　 ) √ √ √ [ 思考辨析 判断正误 ] √ 题型探究 例 1 　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1) 甲组 3 名男生， 2 名女生；乙组 2 名男生， 3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛， “ 从甲组中选出 1 名男生 ” 与 “ 从乙组中选出 1 名女生 ” ； 类型一　事件独立性的判断 解答 解　 “ 从甲组中选出 1 名男生 ” 这一事件是否发生，对 “ 从乙组中选出 1 名女生 ” 这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件 . (2) 容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球， “ 从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球 ” 与 “ 从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球 ” ； 解答 若这一事件发生了， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响 ， 所以 两者不是相互独立事件 . (3) 掷一枚骰子一次， “ 出现偶数点 ” 与 “ 出现 3 点或 6 点 ”. 解答 解　 记 A ：出现偶数点， B ：出现 3 点或 6 点，则 A ＝ {2,4,6} ， B ＝ {3,6} ， AB ＝ {6} ， 所以 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ， 所以事件 A 与 B 相互独立 . 反思与感悟　 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1) 定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响 . (2) 公式法：检验 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 是否成立 . (3) 条件概率法：当 P ( A )>0 时，可用 P ( B | A ) ＝ P ( B ) 判断 . 跟踪训练 1 　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A ＝ { 一个家庭中既有男孩又有女孩 } ， B ＝ { 一个家庭中最多有一个女孩 }. 对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1) 家庭中有两个小孩； 解答 解　 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω ＝ {( 男，男 ) ， ( 男，女 ) ， ( 女，男 ) ， ( 女，女 )} ， 这时 A ＝ {( 男，女 ) ， ( 女，男 )} ， B ＝ {( 男，男 ) ， ( 男，女 ) ， ( 女，男 )} ， AB ＝ {( 男，女 ) ， ( 女，男 )} ， 由此可知 P ( AB ) ≠ P ( A ) P ( B ) ， 所以事件 A ， B 不相互独立 . (2) 家庭中有三个小孩 . 解　 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝ {( 男，男，男 ) ， ( 男，男，女 ) ， ( 男，女，男 ) ， ( 男，女，女 ) ， ( 女，男，男 ) ， ( 女，男，女 ) ， ( 女，女，男 ) ， ( 女，女，女 )}. 解答 这时 A 中含有 6 个基本事件， B 中含有 4 个基本事件， AB 中含有 3 个基本事件 . 从而事件 A 与 B 是相互独立的 . 例 2 　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7 ， 0.9 ，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响 . 求： (1) 这三列火车恰好有两列正点到达的概率； 类型二　求相互独立事件的概率 解答 解 　 用 A ， B ， C 分别表示这三列火车正点到达的事件， 则 P ( A ) ＝ 0.8 ， P ( B ) ＝ 0.7 ， P ( C ) ＝ 0.9 ， 由题意得 A ， B ， C 之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为 ＝ 0.2 × 0.7 × 0.9 ＋ 0.8 × 0.3 × 0.9 ＋ 0.8 × 0.7 × 0.1 ＝ 0.398. (2) 这三列火车至少有一列正点到达的概率 . 解 　 三列火车至少有一列正点到达的概率为 解答 ＝ 1 － 0.2 × 0.3 × 0.1 ＝ 0.994. 引申探究 1. 在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率 . 解　 恰有一列火车正点到达的概率为 解答 ＝ 0.8 × 0.3 × 0.1 ＋ 0.2 × 0.7 × 0.1 ＋ 0.2 × 0.3 × 0.9 ＝ 0.092. 2. 若一列火车正点到达计 10 分，用 ξ 表示三列火车的总得分，求 P ( ξ ≤ 20). 解　 事件 “ ξ ≤ 20 ” 表示 “ 至多两列火车正点到达 ” ， 其 对立事件为 “ 三列火车都正点到达 ” ， 所以 P ( ξ ≤ 20) ＝ 1 － P ( ABC ) ＝ 1 － P ( A ) P ( B ) P ( C ) ＝ 1 － 0.8 × 0.7 × 0.9 ＝ 0.496. 解答 反思与感悟　 明确事件中的 “ 至少有一个发生 ”“ 至多有一个发生 ”“ 恰好有一个发生 ”“ 都发生 ”“ 都不发生 ”“ 不都发生 ” 等词语的意义 . 一般地，已知两个事件 A ， B ，它们的概率分别为 P ( A ) ， P ( B ) ，那么： (1) A ， B 中至少有一个发生为事件 A ＋ B . (2) A ， B 都发生为事件 AB . 跟踪训练 2 　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别 为 ， 求两人破译时，以下事件发生的概率： (1) 两人都能破译的概率； 解答 解 　 记事件 A 为 “ 甲独立地破译出密码 ” ， 事件 B 为 “ 乙独立地破译出密码 ”. 两个人都破译出密码的概率为 (2) 恰有一人能破译的概率； 解答 解　 恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出， (3) 至多有一人能破译的概率 . 解答 解　 至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， 类型三　相互独立事件的综合应用 解答 (1) 假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ 解　 设 “ 甲获得合格证书 ” 为事件 A ， “ 乙 获得合格证书 ” 为事件 B ， “ 丙获得合格证书 ” 为事件 C ， 因为 P ( C )> P ( B )> P ( A ) ，所以丙获得合格证书的可能性最大 . 解答 (2) 这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率； 解　 设 “ 三人考试后恰有两人获得合格证书 ” 为事件 D ，则 解答 (3) 用 X 表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求 X 的分布列 . 解　 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以 X 的分布列为 反思与感悟　 概率问题中的数学思想 (1) 正难则反：灵活应用对立事件的概率关系 ( P ( A ) ＋ P ( ) ＝ 1) 简化问题，是求解概率问题最常用的方法 . (2) 化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系 . “ 所求事件 ” 分几类 ( 考虑加法公式，转化为互斥事件 ) 还是分几步组成 ( 考虑乘法公式，转化为相互独立事件 ). (3) 方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程 ( 组 ) ，通过解方程 ( 组 ) 使问题获解 . (1) 求乙投球的命中率 p ； 解　 设 “ 甲投一次球命中 ” 为事件 A ， “ 乙投一次球命中 ” 为事件 B . 解答 (2) 求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率 . 解答 故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 达标检测 1. 坛子里放有 3 个白球， 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A 1 表示第 1 次摸得白球， A 2 表示第 2 次摸得白球，则 A 1 与 A 2 是 A. 互斥事件 B . 相互独立事件 C. 对立事件 D . 不相互独立事件 答案 √ 1 2 3 4 5 解析 解析　 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A ， C 错 . 而事件 A 1 的发生对事件 A 2 发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件 . 答案 解析 2. 打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 3. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是 p 1 ，乙解决这个问题的概率是 p 2 ，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 A. p 1 p 2 B. p 1 (1 － p 2 ) ＋ p 2 (1 － p 1 ) C.1 － p 1 p 2 D.1 － (1 － p 1 )(1 － p 2 ) 解析　 恰好有 1 人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为 p 1 (1 － p 2 ) ＋ p 2 (1 － p 1 ) ，故选 B. √ 1 2 3 4 5 解析 4. 在某道路的 A ， B ， C 三处设有交通灯，这三盏灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、 35 秒、 45 秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 1 2 3 4 5 答案 √ 解答 解 　 设 A i ＝ { 第 i 次拨号接通电话 } ， i ＝ 1,2,3. 1 2 3 4 5 5. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1) 第 3 次拨号才接通电话； 解答 解　 拨号不超过 3 次而接通电话可表示 为 1 2 3 4 5 (2) 拨号不超过 3 次而接通电话 . 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提 . 相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的 .( 列表比较 ) 规律与方法   互斥事件 相互独立事件 定义 不可能同时发生的两个事件 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 概率 公式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B )