2019届二轮复习(理)2-4-2-1数列大题课件（27张）

2019届二轮复习(理)2-4-2-1数列大题课件（27张）

4.2 　数列大题 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - 1 . 由递推关系式求数列的通项公式 (1) 形如 a n+ 1 =a n +f ( n ), 利用累加法求通项 . (2) 形如 a n+ 1 =a n f ( n ), 利用累乘法求通项 . (3) 形如 a n+ 1 =pa n +q , 等式两边同时 加 转化 为等比数列求通项 . - 6 - 2 . 数列求和的常用方法 (1) 公式法 : 利用等差数列、等比数列的求和公式 . (2) 错位相减法 : 适合求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 S n , 其中 { a n },{ b n } 一个是等差数列 , 另一个是等比数列 . (3) 裂项相消法 : 即将数列的通项分成两个式子的代数和 , 通过累加抵消中间若干项的方法 . (4) 拆项分组法 : 先把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ), 再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列 , 最后分别求和 . (5) 并项求和法 : 把数列的两项 ( 或多项 ) 组合在一起 , 重新构成一个数列再求和 , 适用于正负相间排列的数列求和 . 4.2.1 　等差、等比数列的综合问题 - 8 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 等差 ( 比 ) 数列的判断与证明 ( 1) 求 a 1 , a 2 ; (2) 求数列 { a n } 的通项公式 , 并证明数列 { a n } 是等差数列 ; (3) 如果数列 { b n } 满足 a n = log 2 b n , 试证明数列 { b n } 是等比数列 , 并求其前 n 项和 T n . - 9 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 - 10 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 1 . 判断和证明数列是等差 ( 比 ) 数列的三种方法 . (1) 定义法 : 对于 n ≥ 1 的任意自然数 , 验证 a n+ 1 -a n 为 同一常数 . (2) 通项公式法 : 若 a n =kn+b ( n ∈ N * ), 则 { a n } 为等差数列 ; 若 a n =pq kn+b ( n ∈ N * ), 则 { a n } 为等比数列 . (3) 中项公式法 : 若 2 a n =a n- 1 +a n+ 1 ( n ∈ N * , n ≥ 2), 则 { a n } 为等差数列 ; 若 = a n- 1 · a n+ 1 ( n ∈ N * , n ≥ 2), 则 { a n } 为等比数列 . 2 . 对已知数列 a n 与 S n 的关系 , 证明 { a n } 为等差或等比数列的问题 , 解题思路是 : 由 a n 与 S n 的关系递推出 n+ 1 时的关系式 , 两个关系式相减后 , 进行化简、整理 , 最终化归为用定义法证明 . - 11 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 1 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 S 2 = 2, S 3 =- 6 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 S n , 并判断 S n+ 1 , S n , S n+ 2 是否成等差数列 . - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 等差数列的通项及求和 例 2 (2018 北京卷 , 文 15) 设 { a n } 是等差数列 , 且 a 1 = ln 2, a 2 +a 3 = 5ln 2 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解 : (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , ∵ a 2 +a 3 = 5ln 2 . ∴ 2 a 1 + 3 d= 5ln 2, 又 a 1 = ln 2, ∴ d= ln 2 . ∴ a n =a 1 + ( n- 1) d=n ln 2 . (2) 由 (1) 知 a n =n ln 2 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 已知等差数列前几项或者前几项的关系 , 求其通项及前 n 项和时 , 只需利用等差数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 2 (2018 全国卷 2, 理 17) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 a 1 =- 7, S 3 =- 15 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 S n , 并求 S n 的最小值 .   解 : (1) 设 { a n } 的公差为 d , 由题意得 3 a 1 + 3 d=- 15 . 由 a 1 =- 7 得 d= 2 . 所以 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n- 9 . (2) 由 (1) 得 S n =n 2 - 8 n= ( n- 4) 2 - 16 . 所以当 n= 4 时 , S n 取得最小值 , 最小值为 - 16 . - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 等比数列的通项及求和 例 3 (2018 全国卷 3, 理 17) 等比数列 { a n } 中 , a 1 = 1, a 5 = 4 a 3 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 记 S n 为 { a n } 的前 n 项和 , 若 S m = 63, 求 m. 解 : (1) 设 { a n } 的公比为 q , 由题设得 a n =q n- 1 . 由已知得 q 4 = 4 q 2 , 解得 q= 0( 舍去 ), q=- 2 或 q= 2 . 故 a n = ( - 2) n- 1 或 a n = 2 n- 1 . (2) 若 a n = ( - 2) n- 1 , 则 . 由 S m = 63 得 ( - 2) m =- 188, 此方程没有正整数解 . 若 a n = 2 n- 1 , 则 S n = 2 n - 1 . 由 S m = 63 得 2 m = 64, 解得 m= 6 . 综上 , m= 6 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 已知等比数列前几项或者前几项的关系 , 求其通项及前 n 项和时 , 只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 3 (2018 北京朝阳期末 , 理 15) 已知由实数构成的等比数列 { a n } 满足 a 1 = 2, a 1 +a 3 +a 5 = 42 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 a 2 +a 4 +a 6 + … +a 2 n . - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 等差、等比数列的综合问题 例 4 (2018 北京海淀模拟 , 理 15) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n , 且 a 2 = 5, S 3 =a 7 . (1) 数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 b n = , 求数列 { a n +b n } 前 n 项和 . - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解题心得 对于等差、等比数列的综合问题 , 解决的思路主要是方程的思想 , 即运用等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式将已知条件转化成方程或方程组 , 求出首项、公差、公比等基本量 , 再由基本量求出题目要求的量 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 对点训练 4 已知等差数列 { a n } 的公差不为零 , a 1 = 25, 且 a 1 , a 11 , a 13 成等比数列 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五 解 : (1) 设 { a n } 的公差为 d. 由题意 , 得 = a 1 a 13 , 即 ( a 1 + 10 d ) 2 =a 1 ( a 1 + 12 d ) . 于是 d (2 a 1 + 25 d ) = 0 . 又 a 1 = 25, 所以 d= 0( 舍去 ) 或 d=- 2 . 故 a n =- 2 n+ 27 . (2) 令 S n =a 1 +a 4 +a 7 + … +a 3 n- 2 . 由 (1) 知 a 3 n- 2 =- 6 n+ 31, 故 { a 3 n- 2 } 是首项为 25, 公差为 - 6 的等差数列 . - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差、等比数列的问题 例 5 (2018 山东潍坊三模 , 理 17) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 1, a n , S n 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若数列 { b n } 满足 a n · b n = 1 + 2 na n , 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解 : (1) 由已知 1, a n , S n 成等差数列 , 得 2 a n = 1 +S n , ① 当 n= 1 时 ,2 a 1 = 1 +S 1 = 1 +a 1 , ∴ a 1 = 1 . 当 n ≥ 2 时 ,2 a n- 1 = 1 +S n- 1 , ② ① - ② , 得 2 a n - 2 a n- 1 =a n , ∴ a n =a 1 q n- 1 = 1 × 2 n- 1 = 2 n- 1 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 无论是求数列的通项还是求数列的前 n 项和 , 通过变形、整理后 , 能够把数列转化为等差数列或等比数列 , 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 5 (2018 河北唐山三模 , 理 17) 已知数列 { a n } 是等差数列 ,{ b n } 是等比数列 , a 1 = 1, b 1 = 2, a 2 +b 2 = 7, a 3 +b 3 = 13 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五