高中数学选修2-2课件3_阶段复习课

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阶段复习课 第 三 章 【 核心解读 】 1. 复数的分类 对复数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 当 b ＝ 0 时， z 为实数；当 b≠0 时， z 为虚数； 当 a ＝ 0 ， b≠0 时， z 为纯虚数． 2. 复数中的两种思想 (1) 函数思想：求复数模的最值时，需转化为关于复数 z=x+yi(x,y∈R) 的实部 x 或虚部 y 的二次函数讨论求最值 . (2) 方程思想：由复数的代数形式利用复数相等的条件得到 方程 ( 组 ) ，解决问题 . 3. 复数的运算技巧 (1) 化复为实 : 设 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化，是解决复数问题的常用方法． (2) 类比实数：在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化． 4. 复数中的两种对应关系 (1) 复数与复平面上点的对应 . (2) 复数与以坐标原点为起点的向量的对应 . 利用对应点可以把复数问题转化为几何问题、向量问题 . 主题一 复数的概念 【 典例 1】 复数 z=log 3 (x 2 -3x-3)+ilog 2 (x-3) ，当 x 为何实数时， (1)z∈R. (2)z 为虚数 . 【 解题指南 】 利用复数分类求 x. 【 自主解答 】 (1) 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0 ， x 2 -3x-3>0 ， (i) 所以 log 2 (x-3)=0 ， (ii) x-3>0.(iii) 由 (ii) 得 x=4 ，经验证满足 (i)(iii) 式． 所以当 x=4 时， z∈R. (2) 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0 ， x 2 -3x-3>0 ， (i) 所以 log 2 (x-3)≠0 ， (ii) x-3>0.(iii) 由 (i) 得 或 由 (ii) 得 x≠4 ，由 (iii) 得 x>3 ． 所以当 且 x≠4 时， z 为虚数 . 【 延伸探究 】 若把本题 (2) 结论改为 z 为纯虚数，则 x 的范围如何 ? 【 解析 】 因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 ，且虚部不为 0 ， 所以 此方程组无解． 所以复数 z 不可能是纯虚数． 【 方法技巧 】 复数的有关概念 (1) 正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 ( 如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模 ) 的前提． (2) 两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义 . 【 补偿训练 】 (1)(2013· 陕西高考 ) 设 z 是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若 z 2 ≥0 ，则 z 是实数 B. 若 z 2 <0 ，则 z 是虚数 C. 若 z 是虚数，则 z 2 ≥0 D. 若 z 是纯虚数，则 z 2 <0 (2)(2013· 上海高考 ) 设 m∈R ， m 2 +m-2+(m 2 -1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m=________. 【 解析 】 (1) 选 C. 设 z=a+bi ， a ， b∈R ⇒ z 2 =a 2 -b 2 +2abi. 对选项 A ：若 z 2 ≥0 ，则 b=0 ⇒ z 为实数，所以 z 为实数正确 . 对选项 B ：若 z 2 <0 ，则 a=0 ，且 b≠0 ⇒ z 为纯虚数，所以 z 为虚数正确 . 对选项 C ：若 z 为纯虚数，则 a=0 ，且 b≠0 ⇒ z 2 <0 ，所以 z 2 ≥0 错误 . 对选项 D ：若 z 为纯虚数，则 a=0 ，且 b≠0 ⇒ z 2 <0 ，所以 z 2 <0 正确 . (2)m 2 +m-2+(m 2 -1)i 是纯虚数 ⇒ ⇒ m=-2. 答案： -2 主题二 复数的四则运算 【 典例 2】 (1) 已知 i 是虚数单位，复数 (1+bi)(2+i) 是纯虚数， 则实数 b 的值为 ( ) A.-2 B.- C. D.2 (2) 已知 z 是纯虚数 , 是实数 , 那么 z 等于 ( ) A.2i B.i C.-i D.-2i 【 自主解答 】 (1) 选 D. 因复数 (1+bi)(2+i) ＝ 2-b+(2b+1)i 是 纯虚数，所以 2-b=0, 且 2b+1≠0, 得 b=2. (2) 选 D. 设纯虚数 z=bi(b∈R), 代入 由于其为实数，所以 b=-2. 所以 z=-2i. 【 方法技巧 】 复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算， 注意把 i 看作一个字母 (i 2 =-1), 除法运算注意应用共轭的性质 z · 为实数 . 【 拓展延伸 】 复数运算的考查点 复数的四则运算是本章的重点，复数的乘法、除法是高考的热点，考题呈现以下特点： (1) 复数的乘除运算 . (2) 与复数的有关概念、复数的几何意义相结合 . (3) 与两复数相等的充要条件结合． 【 补偿训练 】 (2014· 大同高二检测 ) 复数 =( ) 【 解析 】 选 C. 依题意得 选 C. 主题三 复数的几何意义 【 典例 3】 在复平面内，复数 z=i(1+2i) ，对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【 自主解答 】 选 B. 因为 z=i(1+2i)=i+2i 2 =-2+i ，所以复数 z 所对应的点为 (-2 ， 1) ，故选 B. 【 方法技巧 】 数形结合 复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法 (1) 复数的几何表示法：即复数 z=a+bi(a ， b∈R) 可以用复平面内的点 Z(a ， b) 来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) 求解． (2) 复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变． 【 补偿训练 】 (2014· 兰州高二检测 ) 复数 m(3+i)-(2+i)(m∈R ， i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点不可能位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【 解析 】 选 B. 因为 m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i ，设复数 m(3+i)-(2+i)(m∈R ， i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点 M 的坐标为 (x ， y) ，则 消去 m 得： x-3y-1=0 ，因为直线 x-3y-1=0 经过第一、三、四象限，所以，复数 m(3+i)-(2+i)(m∈R ， i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选 B. 【 拓展类型 】 共轭复数、复数的模 【 备选例题 】 (1)(2013· 新课标全国卷 Ⅱ) =( ) (2)(2013· 新课标全国卷 Ⅰ) 若复数 z 满足 (3 － 4i)z=|4+3i| ， 则 z 的虚部为 ( ) 【 解题指南 】 (1) 先化简 然后计算模 . (2) 首先设 z=a+bi(a,b∈R), 利用复数的运算法则进行化简 , 然后利用复数相等列出关于 a,b 的方程组，求出 b 的值 . 【自主解答】 (1) 选 C. 所以 选 C. (2) 选 D. 设 z=a+bi(a,b∈R) ，则 (3 － 4i)z=(3 － 4i)(a+bi)=5 ， 化简得 3a+4b+(3b － 4a)i=5 ，所以 解得 即 所以 z 的虚部为 【 方法技巧 】 化复为实 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题． 【 补偿训练 】 把复数 z 的共轭复数记作 已知 (1+2i)+ =4+3i ，则 【 解析 】 (1+2i)+ =4+3i ＝ 3+i ，从而有 z=3 － i ， 所以 答案： 【 强化训练 】 1.(2014· 江西高考 ) 若复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位 ) ，则 |z|=( ) A.1 　　　 B.2 　　　 C. 　　　 D. 【 解题指南 】 运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算 . 【 解析 】 选 C. 　 2.(2014· 湖南高考 ) 满足 =i(i 为虚数单位 ) 的复数 z=( ) 【 解题指南 】 先解关于 z 的方程，再用复数的除法法则进行 运算 . 【 解析 】 选 B. 因为　　 =i ， 所以 z+i=zi, 3.(2014· 北京高考 ) 若 (x+i)i=-1+2i(x∈R) ，则 x= _____ . 【 解题指南 】 展开后利用复数相等列式求解 . 【 解析 】 由已知得 -1+xi=-1+2i ，所以 x=2. 答案： 2 4. 设 (1+i)sin θ-(1+icos θ) 对应的点在直线 x+y+1=0 上， 则 tan θ 的值为 _______. 【 解析 】 由题意，得 sin θ － 1 ＋ sin θ － cos θ ＋ 1 ＝ 0 ， 所以 tan θ ＝ 答案： 5. 实数 m 分别取什么数时，复数 z=(1+i)m 2 +(5 － 2i)m+6 － 15i 是： (1) 实数 .(2) 虚数 .(3) 纯虚数 .(4) 对应点在第三象限 .(5) 对应点在直线 x+y+5=0 上 .(6) 共轭复数的虚部为 12. 【 解析 】 z=(1+i)m 2 +(5 － 2i)m+6 － 15i =(m 2 +5m+6)+(m 2 － 2m － 15)i. 因为 m∈R, 所以 z 的实部为 m 2 +5m+6, 虚部为 m 2 － 2m － 15. (1) 若 z 是实数，则 (2) 若 z 是虚数，则 m 2 － 2m － 15≠0 m≠5 且 m≠ － 3. (3) 若 z 是纯虚数，则 (4) 若 z 的对应点在第三象限，则 (5) 若 z 对应的点在直线 x+y+5=0 上，则 (m 2 +5m+6)+(m 2 － 2m － 15)+5=0 (6) 若 z 的共轭复数的虚部为 12 ，则－ (m 2 － 2m － 15)=12 m= － 1 或 m=3.