2020届二轮复习数列学案(全国通用)

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文档介绍

2020届二轮复习数列学案(全国通用)

高考冲刺:数列 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ ‎1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中与之间的互化关系是高考解答题的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.‎ ‎【知识升华】‎ ‎1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、(或),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意和两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.‎ ‎7.数列应用题也是命题点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.‎ ‎8.本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:正确理解和运用数列的概念与通项公式 例1.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .‎ 第1行      1 1‎ 第2行 1 0 1‎ 第3行 1 1 1 1‎ 第4行 1 0 0 0 1‎ 第5行 1 1 0 0 1 1‎ ‎…… …………………………………‎ ‎【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。‎ ‎【解析】第1次全行的数都为1的是第=1行,‎ 第2次全行的数都为1的是第=3行,‎ 第3次全行的数都为1的是第=7行,‎ ‎······,‎ 第次全行的数都为1的是第行;‎ 第61行中1的个数是=32.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知数列的前项和为,且满足 ‎(1)证明:数列为等差数列; ‎ ‎(2)求及. ‎ ‎【解析】(1)当时, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴是以为首项,2为公差的等差数列 ‎ ‎(2),∴‎ 当时, ‎ ‎∴ ‎ 考点二:数列递推关系式的理解与应用 例2.数列满足,,….若,则( )‎ ‎(A) (B) 3 (C) 4 (D) 5‎ ‎【思路点拨】对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用.‎ ‎【解析1】,.‎ 相叠加得.‎ ‎, .‎ ‎,, ,.‎ ‎【解析2】由得:‎ ‎,‎ ‎,因为,所以.‎ ‎【解析3】由得:‎ 从而;;…;.‎ 叠加得:.‎ ‎,‎ ‎, 从而.‎ ‎【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。‎ 对连续两项递推,可转化为;‎ 对连续三项递推的关系,如果方程有两个根,则上递推关系式可化为或.‎ 举一反三 ‎【变式1】设有唯一解,‎ ‎(1)问数列是否是等差数列?‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由,‎ 由已知得,∴‎ ‎∴‎ 又因为.‎ ‎∴数列是首项为1002,公差等于的等差数列.‎ ‎ (2)由(1)知∴‎ 考点三:数列的通项与前n项和之间的关系与应用 例3(2017 沈阳一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+3,则S4=  .‎ ‎【思路点拨】转化为只含或者只含的递推关系式.‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】∵an+1=2Sn+3,‎ ‎∴an=2Sn﹣1+3(n≥2),‎ 可得an+1﹣an=2an,即an+1=3an,n≥2,‎ ‎∴数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列,a2=5,‎ ‎∴=66.‎ 举一反三 ‎【变式1】(2017 广州模拟)设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有4Sn=an2+2an,其中Sn为数列{an}的前n项和,则数列{an}的通项公式为an=  .‎ ‎【答案】2n ‎【解析】当n=1时,由4S1=a12+2a1,a1>0,得a1=2,‎ 当n≥2时,由4an=4Sn﹣4Sn﹣1=(an2+2an)﹣(an﹣12+2an﹣1),‎ 得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,‎ 因为an+an﹣1>0,所以an﹣an﹣1=2,‎ 故an=2+(n﹣1)×2=2n.‎ 考点四:数列中与n有关的等式的理解与应用 例4.已知数列满足()‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足(),证明:是等差数列;‎ ‎【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。‎ ‎【解析】(I)解:∵ ,∴‎ ‎ 是以为首项,2为公比的等比数列。‎ ‎ ∴ 即 ()‎ ‎ (II)证法一:∵,‎ ‎ ∴即 ‎ ∴        ①‎ ‎     ②‎ ‎ ②-①,得,‎ 即  ③‎ ‎  ④‎ ‎  ③-④,得  , 即 故是等差数列.‎ 举一反三 ‎【变式1】设正项数列{an}的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对所有正整数n,t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等。‎ ‎(1)求证数列{}为等差数列;‎ ‎(2)求{an}通项公式.‎ ‎【解析】(1)由题意:即 ‎ 当n=1时, ∴‎ 当n≥2时,‎ ‎∴。‎ 因为{an}为正项数列,故Sn递增,不能对正整数n恒成立,‎ ‎∴,即数列{}为等差数列,公差为 ‎(2),‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考点五:等差、等比数列前n项和的理解与应用 例5.已知数列和满足:且是以q为公比的等比数列.‎ ‎ (Ⅰ)证明:;‎ ‎ (Ⅱ)若证明数列是等比数列;‎ ‎ (Ⅲ)求和:.‎ ‎【思路点拨】本小题主要考查等比数列的定义,通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力.‎ ‎【解析1】(I)证:由,有,‎ ‎.‎ ‎(II)证:,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴是首项为5,以为公比的等比数列.‎ ‎(III)由(II)得,,于是 ‎.‎ 当时,.‎ 当时,‎ ‎.‎ 故 ‎【解析2】(I)同解法1(I).‎ ‎(II)证:,‎ 又,‎ 是首项为5,以为公比的等比数列.‎ ‎(III)由(II)的类似方法得,‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎.下同解法1.‎ 举一反三 ‎【变式1】某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加 , 因此,历年所交纳的储备金数目, , … 是一个公差为 的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利. 这就是说,如果固定年利率为(),那么, 在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变成,……. 以表示到第年末所累计的储备金总额.‎ ‎(Ⅰ)写出与()的递推关系式;‎ ‎(Ⅱ)求证,其中{}是一个等比数列,{}是一个等差数列.‎ ‎【解析】(I)我们有 ‎ (II),对反复使用上述关系式,得 ‎=…= ①‎ 在①式两端同乘1+r,得 ‎ ②‎ ‎②-①,得 即 记,,则 ‎,其中{}是等比数列,且首项为,公比为;是等差数列,且首项为,公比为.‎ 考点六:数列与函数的迭代问题 等差、等比数列369154 例2】‎ 例6.已知函数,数列是公差为d的等差数列,数列是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若,,,。‎ ‎(1)求数列、的通项公式;‎ ‎(2)设数列对任意自然数n都有成立,求的值;‎ ‎(3)比较的大小。+‎ ‎【解析】(1),‎ 所以 解得 所以 ‎,‎ 所以 解得 所以 ‎(2)时 ‎,‎ 两式相减并整理,得 所以 ‎(3)比较的大小。+‎ ‎,‎ 时,‎ 时,,所以.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知各项全不为零的数列的前k项和为,且(),其中 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (II)对任意给定的正整数 ,数列满足.‎ 求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当,由及,得.‎ 当时,由,得.‎ 因为,所以.从而 ‎,.故.‎ ‎(Ⅱ)因为,所以.‎ 所以 故 考点七:数列综合应用与创新问题 例7.设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数,都有,且.‎ ‎(Ⅰ)求,并求的值;‎ ‎(Ⅱ)令,证明数列是等差数列;‎ ‎(Ⅲ)设是曲线在点处的切线的斜率(),数列的前项和为,求证:.‎ ‎【思路点拨】根据已知条件求出函数的关系式,求出的递推关系式然后可求解题中要求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)取,;‎ 再取,则,‎ 即,‎ ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴,解得,或(舍去).‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ 再令,则,‎ 即 ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴,即,解得:或,‎ 又,则,,‎ 由,所以是等差数列. ‎ ‎(3)由(2)得,,则 所以;‎ 又当时,,‎ 则,‎ 故. ‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】在()个不同数的排列中,若时(即前面某数大于后面某数),则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.则= ,= ,的表达式为 ;‎ ‎【解析】由已知得,,.‎ ‎【变式2】已知函数,是方程的两个根,是的导数;设,(n=1,2,……)‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:对任意的正整数n,都有;‎ ‎(3)记(n=1,2,……),求数列{}的前n项和.‎ ‎【解析】(1)∵,是方程的两个根,‎ ‎∴,.‎ ‎ (2), ‎ ‎,∵,‎ ‎∴由基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴‎ 同样,…,(n=1,2,……).‎ ‎ (3),‎ 而,即, ,‎ 同理,,‎ 又,‎ ‎.‎
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