甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高一上学期段考数学试题

甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高一上学期段考数学试题

武威六中2019-2020学年度第一学期第二次学段考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.‎ ‎【详解】，则 ‎【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.‎ ‎2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2‎ 这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式的性质和二次根式性质求解即可 ‎【详解】要使函数有意义，则应满足，解得 故选：D ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题 ‎4.函数的零点所在区间为（ ）‎ A. （-1,0） B. （0,1） C. （1,2） D. （2,3）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，求得，根据函数的零点的存在定理，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 可得，所以，‎ 根据函数的零点的存在定理，可得函数在区间内有零点.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记函数的零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5. 如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）‎ ‎①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A. ④③② B. ②①③ C. ①②③ D. ③②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图能判断甲是圆柱，乙是三棱锥，丙是圆锥.‎ 考点：空间几何体的三视图.‎ ‎6.已知函数则的值是(　　)‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. －‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数自变量取值范围再代入分段函数解析式求解.‎ 详解】∵.‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎7.已知，，，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数性质求得 ，，再由对数函数的性质求得，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，，‎ 由对数函数的性质，可得，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知奇函数的定义域为，当时，，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,将函数写为分段函数形式得, ,即可得到的图象,再利用函数是奇函数得到另一半的图象即可 ‎【详解】由题,当时, ‎ 在上单调递减,且当时,函数的变化越来越平缓，图象为向上凸； ‎ 在上单调递增,且当时,函数的变化越来越平缓, 图象为向上凸；‎ 又是奇函数,关于原点对称,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查分段函数,考查对数函数的图象 ‎9.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为（ ）‎ A. （1，+） B. （-， ］ C. （，+） D. （-， ］‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ，所以当时， ‎ 当时，，即递减区间为（1，+），选A.‎ 点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.‎ ‎10.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为( ) ‎ A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其底面是腰长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点，由底面是腰长为6的等腰直角三角形知其底面积是×6×6=18，又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，， 所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高5，故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为，×4×6=12另两个侧面三角形的面积都是×6×5=15，故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12故选A 点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于函数在上单调递增，所以，解得.‎ 考点：函数的单调性.‎ ‎12. 若直角坐标平面内的亮点P，Q满足条件： P，Q都在函数y=f(x)的图像上， P，Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”)。‎ 已知函数，则此函数的“友好点对”有( )‎ A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为根据新定义可知，作图可知函数，则此函数的“友好点对”有2对，选C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.‎ ‎【详解】设，由于图象过点,‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，故答案为3.‎ ‎【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎14.函数的图像必经过定点__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令代入函数解析式即可求解 ‎【详解】令，解得，代入得，‎ 则函数的图像必经过定点 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数过定点的求法，熟记恒过定点，再采用整体代换法求解对应对数型函数即可，如本题中令，属于基础题 ‎15.方程的解的个数为____________个．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用数形结合法，先去绝对值，再画出函数图像，观察交点个数即可 ‎【详解】，‎ 令，画出函数图像，如图：‎ 观察可知，与有两个交点，故方程的解的个数为2个 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查方程零点个数的求解，数形结合思想与构造函数法的应用，属于中档题 ‎16.若函数，若，则实数的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确函数的奇偶性与单调性，化抽象不等式为具体不等式，解之即可.‎ ‎【详解】函数为奇函数，且在在上单调递增，‎ 则可化为：‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴或 ‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是把抽象不等式转化为具体不等式，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1) ；(2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：‎ 原式.‎ ‎（2）根据对数运算性质，可得：‎ 原式.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.设全集，集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若函数的定义域为集合，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先化简集合，再根据集合的交并补运算求解即可；‎ ‎（2）函数定义域对应集合可化简为，又，故由包含关系建立不等式即可求解；‎ ‎【详解】（1）由题知，，‎ ‎（2）函数的定义域为集合，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题 ‎19.如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：，取，结果精确到)‎ ‎【答案】需要油漆约.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图确定建筑物为圆锥和长方体组合而成，需涂漆部分为圆锥的侧面，长方体的侧面，圆锥的底面除去一个边长为的正方形的剩余部分，结合线段关系和面积公式求解即可 ‎【详解】油漆粉刷部位有三部分组成，一是圆锥的侧面(面积记为)，二是长方体的侧面(面积记为)，三是圆锥的底面除去一个边长为的正方形(面积记为)，‎ 则，‎ ‎，‎ 记油漆粉刷面积为，则 记油漆重量为,则 答：需要油漆约 ‎【点睛】本题考查由三视图还原立体图形，实际问题中的表面积求法，属于中档题 ‎20.某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，．今将120万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元．‎ ‎（Ⅰ）设对乙产品投入资金万元，求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；‎ ‎（Ⅱ）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）当对甲产品投入资金84万元，对乙产品投入资金万元时，所得总利润最大，最大利润为71万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题得，再求函数的定义域；（Ⅱ）令，则，则原函数化为关于的函数： ‎ 再利用二次函数求最大利润.‎ ‎【详解】(Ⅰ)对乙产品投入资金万元，则对甲产品投入资万元；‎ 所以， ‎ ‎，‎ 由，解得，所以其定义域为.‎ ‎ (Ⅱ)令，则，则原函数化为关于的函数： , ‎ 所以当，即时，（万元），‎ 答：当对甲产品投入资金84万元，对乙产品投入资金万元时，所得总利润最大，最大利润为71万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求法和定义域的求法，考查函数最值的计算和函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数的最小值记为.‎ ‎（1）求解析式；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据函数的图象的对称轴在所给区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得，综合可得结论；（2）根据函数的解析式，画出函数的图象，数形结合求得函数取得最大值.‎ 试题解析：（1），函数图象对称轴为，当时，的最小值在处取得；当时，的最小值在处取得，当时，的最小值在处取得 综上，。‎ ‎（2）根据，作出函数图像，如图 当时，的最大值为1.‎ 点睛：本题主要考查了二次函数的单调性及解关于分段函数对应的方程，较基础；对于含有参数的一元二次函数，常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论，分为等于0，大于0，小于0；2、对函数的对称轴和所给区间进行讨论；或者利用数形结合思想；解出分段函数形式的方程，主要注意定义域.‎ ‎22.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）用定义法证明函数在定义域的单调性；‎ ‎（3）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数性质由，可求得，再结合，令可求得；‎ ‎（2）结合定义法证明即可；‎ ‎（3）由（2）得函数为减函数，则可转化为，即，变形成关于的一元二次不等式恒成立问题求解即可 ‎【详解】，即，解得 又 即，解得 ‎（2）由（1）知，‎ 设，是上任意两个实数，且，则 ‎，，‎ 又，‎ 即 在上是减函数 ‎（3）由（2），为上的减函数和奇函数 故不等式可化为 ‎，即原问题转化为对任意的有恒成立，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查由函数的奇偶性求解具体的解析式，函数单调性的证明，由奇偶性和增减性解不等式，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题