陕西省西安中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

西安中学高2020届高三第一次月考 理科数学试题 一、选择题 ‎1.已知集合，则正确的是（ ）‎ A. 0⊆A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解.‎ ‎【详解】对A，,故A错误；‎ 对B，，故B错误；‎ 对C，空集是任何集合的子集，即，故C错误；‎ 对D，由于集合是集合A的子集，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题.‎ ‎2.已知函数的导函数,且满足，则＝(　　)‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解。‎ ‎【详解】对函数进行求导，得把代入得，‎ 直接可求得。‎ ‎【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题。本题值得注意的是是一个实数。‎ ‎3.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合不等式，指数函数以及对数函数性质判断即可得出答案.‎ ‎【详解】对A，当时，，故A错误；‎ 对B，当时，，则，故B错误;‎ 对C，因为在上是增函数，，所以，故C正确；‎ 对D，当时，，故D错误；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断不等式的恒成立问题，可以通过举反例，从而得到不等式成立或不成立.‎ ‎4.设（其中为自然对数的底数），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎5.‎‎2018年9月24日 ‎，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论。若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，，计算结果取整数)‎ A. 768 B. ‎144 ‎C. 767 D. 145‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据，得到估计1000以内的素数的个数为为，根据对数的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，小于数字的素数个数大约可以表示为，则估计1000以内的素数的个数为为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算及其应用，同时考查了数学文化的应用，其中解答中认真审题，合理利用对数的换底公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎6.下列大小关系正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.‎ 考点：指数函数与对数函数的值域 点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。‎ ‎7.下列说法正确的是 （ ）‎ A. 命题“若，则”否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题。‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确;再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确;对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，B不正确;选项D由原命题正确可得其逆否命题正确，故选D 考点：本题考查了简易逻辑知识 点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面 ‎8.函数图象是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．‎ ‎【详解】令y=（2x﹣1）ex=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，‎ 当x→﹣∞时，ex→0，所以y→0，故排除B，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.‎ ‎9.定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 则，且，‎ 由于，故，‎ 据此可得：，.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10.已知点满足x+y≤6，y>0，x-2y≥0，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 0 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】结合线性规划图像可知，不等式表示的区域为三角形区域，那么所求解的是区域内点（x,y）到(0,4)两点的连线的斜率的范围，结合图像可知A（4，2）点与点(0,4)‎ 的斜率最大值为，选A ‎11.若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足=,则有 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足=,‎ 所以=,‎ 所以,且为增函数.‎ ‎.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查函数解析式的求法，函数奇偶性的应用，单调性的应用.‎ 通过函数的奇偶性构建.的方程组，进而求解方程组得函数解析式.‎ 通过函数的单调性的性质，由增函数减去减函数为增函数易知函数为增函数，即可比较大小.‎ ‎12.若函数有极值点，，且，则关于 的方程 的不同实根个数是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，根据单调性作出函数的草图，由图象可得答案.‎ ‎【详解】有极值点，‎ ‎，且，是方程的两根 由，则有两个使等式成立， ‎ 不妨设 当时，或 当时，‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 故函数的草图如下图所示 故时，与交于两点；‎ 时，，与交于一点；‎ 即关于 的方程的不同实根个数是3‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数极值，方程的根与函数零点的关系,属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式转化为，化简即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，对于型的分式不等式一般转化为，且来求解.‎ ‎14.已知函数在上不单调，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据题意得出必有两个不等实根，结合判别式即可得出的取值范围.‎ 详解】‎ 因为函数在上不单调 所以必有解 当只有一个解时，‎ 得出函数在上单调递增，与题干矛盾，故必有两个不等实根 则，解得或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数知识的运用，考查函数的单调性，属于中等题.‎ ‎15.对于函数，部分和的对应关系如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎4‎ 数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上，则______.‎ ‎【答案】7569‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得,代值计算可得.‎ ‎【详解】数列满足：，且对于任意的，点都在函数的图像上 由图表可得,, , ，‎ 数列是周期为4的周期数列 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数和数列的关系,涉及周期性,属基础题.‎ ‎16.狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函数”‎ ‎，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：______.‎ ‎①的定义域为，值域是 ②具有奇偶性，且是偶函数 ‎③是周期函数，但它没有最小正周期 ④对任意的，‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实数分为有理数和无理数以及函数值域的定义,可知结论①正确;由偶函数定义可证明结论②正确;由函数周期性定义可判断结论③正确;将代入，可判断④正确.‎ ‎【详解】因为中自变量的取值为有理数和无理数，所以的定义域为 当自变量为有理数时，函数值为1‎ 当自变量为无理数时，函数值为0，则值域为，故①正确；‎ ‎，是偶函数，故②正确；‎ 当为有理数时，，所以任何一个有理数都是的周期，即是周期函数，且没有最小正周期，故③正确；‎ 对任意的，等于1或0，不管是1还是0都为有理数，则，故④正确；‎ 故答案为：①②③④‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，定义域，值域，奇偶性，周期性等，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.在平面直角坐标系中，以 轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知点，的横坐标分别为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角函数的定义得到，，结合平方关系得到的值；‎ ‎(2)利用诱导公式将所求式子化简，代入(1)中的值即可求出答案.‎ ‎【详解】解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，，，‎ 因为为锐角，故，从而 因为为锐角，故，从而；‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数之间的基本关系等，计算时要仔细，属于基础题.‎ ‎18.设函数.‎ ‎（1）画出函数的图像；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)去掉绝对值，再根据解析式画出图像即可.‎ ‎(2)根据题意，将不等式的解集非空，转化为有解，由三角不等式求出的最小值，解不等式，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1） 函数 当时，‎ 当时，‎ 则函数的图像如图所示：‎ ‎（2）由题不等式，‎ 即有解.‎ 所以 又 ‎（当取等号）‎ 所以 则 可得 ‎【点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，一般地，对含有绝对值的函数，采用零点分段法，即可把绝对值去掉，属于中档题.‎ ‎19.‎ 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：f(x)≤2x-2。‎ ‎【答案】（I）a＝－1，b＝3. （II）见解析 ‎【解析】‎ 详解】试题分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.‎ 由已知条件得即 解得a＝－1，b＝3. ‎ ‎(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.‎ 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 g′(x)＝－1－2x＋＝－. ‎ 当00；当x>1时，g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ‎ 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. ‎ 考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明。‎ 点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设出点P的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的参数方程，再将参数方程化为普通方程;‎ ‎(2)根据(1)求出曲线,的极坐标方程,分别求出射线与的交点A的极径为,以及射线与的交点B的极径为,最后根据求出所求.‎ ‎【详解】解:（1）设，则由条件知 由于点在上，‎ 所以，即 从而的参数方程为（为参数）‎ 所以曲线的方程为 ‎（2）因为曲线的参数方程为 所以曲线的普通方程为，则 即曲线的极坐标方程为 同理可得曲线的极坐标方程为 射线与的交点的极径为 射线与的交点的极径为 所以 ‎【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.‎ ‎21.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析，定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦距和离心率求出，根据椭圆的性质求出,即可写出椭圆的方程.‎ ‎(2)将直线代入椭圆方程，利用韦达定理求出，结合直线的方程，求出，,将表示为坐标形式，化简求出的值，根据直线方程的性质即可得到直线过定点的坐标.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为，则 故，所以椭圆的方程为 ‎（2）设，，‎ 联立，消去整理可得 所以，，‎ 所以 因为，‎ 所以 所以 整理可得 解得或（舍去）‎ 所以直线过定点 ‎【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎22.已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两个极值点为，且，证明：.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由导数与极值的关系知题目可转化为方程在 有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，从而讨论求解；‎ ‎(2) 问题等价于，令，则，所以，设，，根据函数的单调性即可证明结论.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，函数的定义域为，‎ 方程在有两个不同根；‎ 即方程在有两个不同根；‎ 转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．‎ 可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．‎ 令切点，‎ 故，又 故，解得，，‎ 故，故的取值范围为 ‎(2)由(1)可知分别是方程的两个根，‎ 即， ，作差得，即 对于，取对数得，即 又因为，所以，得 令，则，，即 设， ，，所以函数在上单调递增，‎ 所以，‎ 即不等式成立，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎【点睛】本题重点考查了导数在研究函数极值问题中的应用以及导数与函数的单调性，问题(2)中运用了 分析法的思想，属于难题.‎