内蒙古师范大学锦山实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）

内蒙古师范大学锦山实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）

期中考试 高二数学（文科）试卷 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题:（本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.设集合则=（ ）‎ ‎ A. [0,2) B. [0,2] C. (2,3] D. [2,3]‎ ‎2．若复数满足，则复数（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设则是的 ( ) ‎ ‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 ‎ C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4．已知向量＝(2，2)，2＋＝(4，2)，则向量，的夹角的余弦值为(　　)‎ ‎ A. B．－ C. D．－‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ ‎ A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 ‎ C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 ‎6．已知一个空间几何体的三视图如右图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )‎ ‎ A．2 ‎ ‎ B．4 ‎ ‎ C．8 ‎ ‎ D．16‎ 8． 已知实数，若， ‎ ‎ 则的最小值是（ ）‎ ‎ A.12 B. 6 C. D.‎ ‎9．在等比数列中，已知，，则 A、9 B、48 C、65 D、99‎ ‎10．函数 的图象大致是（ ）‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D 11． 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.7 ‎ ‎12．是定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，不等式的解集是（ ）‎ ‎ A. B． C． D． ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分。）‎ ‎13．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为90的样本，其中高一年级抽40人，高三年级抽20人．‎ 则该校高二年级学生人数为_________．‎ ‎14．已知变量满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎15．设曲线在x=1处的切线方程是，则________；‎ ‎16．已知直线与圆相交，弦长为2，则____________．‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本题10分）己知函数 ‎（1）求函数的最小正周期。‎ ‎（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，,b=1,c=，求a的值．‎ ‎18．（本题12分）已知公差不为0的等差数列 中 ，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）试推导数列的前项和的表达式。‎ ‎19．（本题12分）某大学高等数学老师这学期分别用两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：‎ 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 ‎（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？‎ ‎（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；‎ ‎（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”‎ 下面临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ （参考公式：其中）‎ ‎20．（本题12分）如图，在三棱柱中， 底面， ， 为线段的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎21．（本题12分）已知椭圆C:(a>b>0)上的点M与两个焦点构成的三角形周长为，椭圆C的离心率为 ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)已知点Q(),动直线过右焦点,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:为定值.‎ ‎22．（本题12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数的取值范围。‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】∵M={x|（x+4）（x-2）＜0}=（-4，2）‎ N={x|0≤x≤3}=[0，3]，‎ ‎∴M∩N=[0，2）‎ 故选A ‎2．C ‎【解析】‎ 试题分析：.选C.‎ ‎3．B ‎【解析】p真：;q真：,显然是的充分不必要条件.‎ ‎4．D ‎【解析】由已知条件求得＝(0，-2)，所以cos〈，〉＝＝.‎ ‎5．B ‎【解析】由函数，所以只需把函数的图象沿着x轴向左平移个单位而得到，故选B.‎ ‎6．D ‎【解析】该几何体下方是一个圆柱，上面是半球组合成的，圆柱的高是1，半径是1，球的半径是1，表面积为 ‎7．C ‎【解析】‎ 试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出 ‎8．A ‎【解析】实数，‎ 则,当且仅当时取等号.‎ 故本题正确答案是 A ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，故。选C。‎ ‎10．B ‎【解析】特值法：特殊点 ‎11．A ‎【解析】略 ‎12．D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，不等式即为，所以；当时，，所以 ‎，当时，，由可得，不等式可转化为即，所以，综上所述：不等式的解集是，故选D.‎ ‎13．300‎ ‎【解析】由题意得高二年级应抽取30人，则高二年级学生人数为300，故答案为300.‎ ‎14．3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可行域知直线过点（2,1）时取得最大值3.‎ ‎15． -2‎ ‎【解析】因为，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率3+a=1，解之得a=-2 。‎ 16． 试题分析：圆心到直线距离为 ，所以 ‎17．（1）；（2）的值为或.‎ ‎【解析】（1）利用两角和差的正余弦公式化简；（2）利用正弦定理.‎ 解：（1） ‎ 所以函数的最小正周期为. ……6分 ‎（2）由，得,即.‎ 又因为，所以.所以，即. ……8分 因为，所以由正弦定理，得. ……9分 又 故或. ……10分 当时，，从而；‎ 当时，，又，从而. ……11分 故的值为或. ……12分 ‎18．（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）设等差数列的公差为.‎ 因为，‎ 所以. ①‎ 因为成等比数列，‎ 所以. ②‎ 由①，②可得：.‎ 所以. (6分)‎ ‎（2）由可知：‎ 所以 ‎ 所以 ‎.‎ 所以数列的前项和为. （12分）‎ 考点：等比数列 ‎19．（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高.‎ ‎（Ⅱ） ;‎ ‎（Ⅲ）在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高 3分 ‎（Ⅱ）记成绩为86分的同学为，其他不低于80分的同学为 ‎“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：‎ 一共15个，‎ ‎“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：共9个， 5分 故 7分 ‎（Ⅲ）‎ 甲班 乙班 合计 优秀 ‎3‎ ‎10‎ ‎13‎ 不优秀 ‎17‎ ‎10‎ ‎27‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎9分 ‎，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 12分 考点：茎叶图，古典概型概率的计算，卡方检验。‎ ‎20．（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题解析：（1）连接交于点，连接，‎ 在中， 为中点， 为中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，‎ 平面 所以平面.‎ ‎（2）因为底面，所以为三棱锥的高，‎ 所以 ‎ ‎21．(1) +y2=1 (2)见解析 ‎【解析】(1)根据椭圆的定义得:‎ 又离心率 解得a=，c=1,所以b2=2-1=1,‎ 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),‎ 则·=(-,0)·(--,0)=-.‎ 当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为 x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由可得(t2+2)y2+2ty-1=0.‎ 显然Δ>0.所以 因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,‎ 所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)‎ ‎=(ty1-)(ty2-)+y1y2‎ ‎=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+ ‎=-(t2+1)·+t·+ ‎=+=-.‎ 即·=-,为定值.‎ ‎22．（1）当时，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域为，分和两种情况分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）由（1）知时，不成立，故，又由（1）知的最大值为，只需即可，即可求解.‎ 试题解析：（1） 函数的定义域为，‎ 当时，在上是增函数，‎ 当时，若时，有，‎ 若时，有，则在上是增函数，在 上是减函数. ‎ ‎（2）由（1）知时，在上是增函数，而不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可，‎ 即，得.‎