2018届二轮复习不等式选讲专题突破讲义学案文（全国通用）
第 2 讲 不等式选讲
本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式
中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及
基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力
及数形结合思想、分类讨论思想.
热点一 含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a 或 f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)⇔－a1 的解集；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数 m 的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝|x＋2|－|x－1|
＝Error!
当 x≤－2 时，f(x)＝－3<0，不合题意．
∴当－21，得 01 恒成立，得 x≥1.
故不等式 f(x)>1 的解集为(0，＋∞)．
(2)由(1)可知，f(x)的最大值为 3，
故 f(x)＋4 的最大值为 7.
若关于 x 的不等式 f(x)＋4≥|1－2m|有解，
只需 7≥|1－2m|，
即－7≤2m－1≤7，求得 m 的取值范围为[－3,4]．
思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，
注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，
又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练 1 (2017 届河北省石家庄二中三模)已知不等式|x－a|＋|2x－3|>
a2
2 .
(1)已知 a＝2，求不等式的解集；
(2)已知不等式的解集为 R，求 a 的取值范围．
解 (1)当 a＝2 时，可得|x－2|＋|2x－3|>2，
当 x≥2 时，由 3x－5>2，得 x>
7
3，
当 x<
3
2时，由－3x＋5>2，得 x<1，
当
3
2≤x<2 时，由 x－1>2，得 x∈∅，
综上所述，不等式的解集为Error!.
(2)∵f(x)＝|x－a|＋|2x－3|的最小值为
f(a)或 f (3
2 )，
∵f(a)＝2|a－
3
2 |，f (3
2 )＝|a－
3
2 |，
∴f(x)min＝|a－
3
2 |，令|a－
3
2 |>
a2
2 ，
则
3
2－a>
a2
2 或
3
2－a<－
a2
2 ，
可得－30)，且 f(x＋
1)≥0 的解集为[－3，3]．
(1)求 m 的值；
(2)若正实数 a，b，c 满足
1
a＋
1
2b＋
1
3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.
(1)解 因为 f(x＋1)＝m－|x|，
所以 f(x＋1)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集为[－m，m](m>0)，
又由 f(x＋1)≥0 的解集为[－3,3]，故 m＝3.
(2)证明 由(1)知
1
a＋
1
2b＋
1
3c＝3，
又因为 a，b，c 是正实数，
所以 a＋2b＋3c＝
1
3(a＋2b＋3c)(1
a＋
1
2b＋
1
3c)
≥
1
3( a·
1
a＋ 2b·
1
2b＋ 3c·
1
3c)2＝3.
当且仅当 a＝1，b＝
1
2，c＝
1
3时等号成立，
所以 a＋2b＋3c≥3.
思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子
与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a21＋a22＋…＋a2n)( 1
a21＋
1
a22＋…＋
1
a2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边
为常数且应注意等号成立的条件．
跟踪演练 3 (2017 届江西省重点中学盟校联考)若关于 x 的不等式|ax－2|<6 的解集为
Error!.
(1)求 a 的值；
(2)若 b＝1，求 －at＋12＋ 3bt的最大值．
解 (1)依题意知－
4
3和
8
3是方程|ax－2|＝6 的两个根，则Error!
∴Error!
∴a＝3.
(2) －3t＋12＋ 3t＝ 3( 4－t＋ t)
≤ 3 (1＋1)(4－t＋t)＝2 6，
当且仅当 4－t＝ t，即 t＝2 时等号成立．
所以 －at＋12＋ 3bt的最大值为 2 6.
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．
解 (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当 x<－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1 时，①式化为 x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当 x>1 时，①式化为 x2＋x－4≤0，
从而 10，b>0，a3＋b3＝2，证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋
3(a＋b)2
4 (a＋b)
＝2＋
3(a＋b)3
4 ，
所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
押题预测
1．已知函数 f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)≥4；
(2)若∃x0，使 f(x0)＋|x0－2|<3 成立，求 a 的取值范围．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”
所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．
解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.
由 f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当 x≥2 时，不等式等价于 x－2＋2x＋1≥4，
解得 x≥
5
3，所以 x≥2；
当－
1
24，即实数 a 的取值范围是(4，＋∞)．
(2)当 x＝
7
2时，f(x)＝5，
则 g(7
2 )＝－
7
2＋a＋2＝5，解得 a＝
13
2 ，
∴当 x<2 时，g(x)＝x＋
9
2，
令 g(x)＝x＋
9
2＝4，得 x＝－
1
2∈(－1,3)，
∴b＝－
1
2，则 a＋b＝6.
2．(2017 届辽宁省锦州市质检)已知函数 f(x)＝|x－a|.
(1)若对 x∈[0,4]不等式 f(x)≤3 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)当 a＝2 时，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解 (1)由 f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得 a－3≤x≤a＋3，
∴不等式 f(x)≤3 的解集 M＝[a－3，a＋3]，
根据题意知[0,4]⊆M，∴Error!∴1≤a≤3.
(2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|，
设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)，
∴g(x)的最小值为 5，
因此，若 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 对 x∈R 恒成立，
则实数 m 的取值范围是(－∞，5]．
3．(2017 届安徽省蚌埠市教学质检)已知 x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.
(1)解不等式 f(x)≥(m＋n)x；
(2)设 max{a，b}＝Error!求 F＝max{|x2－4y＋m|，|y2－2x＋n|}的最小值．
解 (1)f(x)≥(m＋n)x⇔|x－1|－|x＋1|≥7x，
当 x≤－1 时，2≥7x，恒成立，
当－10，
∴
1
a3＋
1
b3＋
1
c3＋3abc
≥33 1
a3·
1
b3·
1
c3＋3abc
＝
3
abc＋3abc≥2
3
abc·3abc＝6，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号，
∴|x－1|－|x＋5|≤
1
a3＋
1
b3＋
1
c3＋3abc.
7．(2017 届四川省成都市二诊)已知函数 f(x)＝4－|x|－|x－3|.
(1)求不等式 f (x＋
3
2 )≥0 的解集；
(2)若 p，q，r 为正实数，且
1
3p＋
1
2q＋
1
r＝4，求 3p＋2q＋r 的最小值．
解 (1)f (x＋
3
2 )＝4－|x＋
3
2 |－|x－
3
2 |≥0，
根据绝对值的几何意义，得|x＋
3
2 |＋|x－
3
2 |表示点(x,0)到 A(－
3
2，0)，B (3
2，0 )两点的距
离之和．
接下来找出到 A，B 距离之和为 4 的点．
将点 A 向左移动
1
2个单位长度到点 A1(－2,0)，
这时有|A1A|＋|A1B|＝4；
同理，将点 B 向右移动
1
2个单位长度到点 B1(2,0)，
这时有|B1A|＋|B1B|＝4.
∴当 x∈[－2,2]时，|x＋
3
2 |＋|x－
3
2 |≤4，
即 f (x＋
3
2 )≥0 的解集为[－2,2]．
(2)令 a1＝ 3p，a2＝ 2q，a3＝ r，
由柯西不等式，得
[( 1
a1 )2＋( 1
a2 )2＋( 1
a3 )2]·(a21＋a22＋a23)
≥( 1
a1·a1＋
1
a2·a2＋
1
a3·a3)2
即( 1
3p＋
1
2q＋
1
r)(3p＋2q＋r)≥9，
∵
1
3p＋
1
2q＋
1
r＝4，∴3p＋2q＋r≥
9
4.
上述不等式当且仅当
1
3p＝
1
2q＝
1
r＝
4
3，
即 p＝
1
4，q＝
3
8，r＝
3
4时取等号．
∴3p＋2q＋r 的最小值为
9
4.
8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数 f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|.
(1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)≥
1
2；
(2)若对任意 a∈[0,1]，不等式 f(x)≥b 的解集不为空集，求实数 b 的取值范围．
解 (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥
1
2等价于|x＋1|－|x|≥
1
2，
①当 x≤－1 时，不等式化为－x－1＋x≥
1
2，无解；
②当－1
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