甘肃省临泽县第一中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题

甘肃省临泽县第一中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题

临泽一中2018—2019学年上学期期中试卷 高三数学（理）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分式不等式解法，化简集合，再进行交集的运算求出即可.‎ ‎【详解】由集合得，解得或，‎ 又，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义以及交集的运算，考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎2.如图，墙上挂有一个由正三角形和其外接圆组成的标靶，在不脱靶的情况下恰好击中三角形阴影区域的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三角形的边长为，分别表示出三角形与圆的面积，再根据几何概型中面积型的计算公式求解即可.‎ ‎【详解】设三角形的边长为，记三角形面积为，圆面积为，‎ 则，，‎ ‎∴在不脱靶的情况下恰好击中三角形阴影区域的概率为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型中的面积型计算公式，属于基础题.‎ ‎3.下面是关于复数的四个命题：‎ ‎：；：；：的共轭复数为；：的虚部为.‎ 其中的真命题为（ ）‎ A. ， B. ，， C. ， D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的模的计算公式、复数的乘法运算法则、共轭复数的定义以及复数的虚部求解并判断即可.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，∴是真命题；‎ ‎∵，∴是假命题；‎ ‎∵，∴是假命题；‎ ‎∵的虚部为，∴是真命题.‎ 综上所述，真命题共有2个：，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假的判断与应用，考查了复数的模、复数乘法运算法则、共轭复数以及复数虚部的概念，属于基础题.‎ ‎4.设等差数列的前项和为，且.若，则（ ）‎ A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值.‎ ‎【详解】由已知，得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以等差数列为递增数列.‎ 又，即，‎ 所以，，‎ 即数列前7项均小于0，第8项大于零，‎ 所以的最小值为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n项和最值的判断，属于中档题.‎ ‎5.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给函数式子，结合对称性可判断函数在上是减函数；由对称性可知，结合单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，可知函数在上是减函数，‎ 而，‎ ‎，，‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数对称性与单调性的综合应用，比较抽象函数值大小，属于基础题.‎ ‎6.在的展开式中，记项的系数为，则（ ）‎ A. 80 B. ‎8 ‎C. 40 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意依次求出与项的系数，求和即可.‎ ‎【详解】在的展开式中，‎ 项的系数为，，‎ 项的系数为，，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎7.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三视图还原为空间几何体，根据几何关系再补全为棱柱，其四棱锥的外接球即为棱柱的外接球.由长方体的对角线为球的直径，即可由勾股定理求得球的半径，进而得球的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥，如下图所示：‎ 其底为边长为4的正方形，高为2，‎ 其中平面平面，‎ 可知，‎ 故可补全为以，，为棱的长方体，如下图所示：‎ 设四棱锥的外接球的半径为，‎ 故，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三视图还原空间几何体的应用，棱锥补全为棱柱的应用，棱柱外接球的性质及球的体积求法，属于中档题.‎ ‎8.如图，程序输出的结果，则判断框中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环体，可知输出的表示从10开始的逐渐减小的若干个连续整数的乘积，由输出的即可得判断框的内容.‎ ‎【详解】由循环体可知，表示从10开始的逐渐减小的若干个连续整数的乘积，由于，‎ 故此循环体需要执行两次，‎ ‎∴每次执行后的值依次为10，9，当的值为9时，就应该结束循环，B符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了循环结构程序框图的意义理解，完善程序框图，注意输出值与程序的关系，属于常考题.‎ ‎9.已知函数，若函数向右平移（）个长度单位后，图象的一个对称中心为，则的值为（ ）‎ A. B. 3‎ C. 4 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过辅助角公式将整理成的形式，利用图象的平移得到平移后的解析式，再由对称中心在图象上，求出的值即可.‎ ‎【详解】由题得，‎ 向右平移个长度单位后的解析式为，‎ 平移后图象的一个对称中心为，‎ ‎，即 ‎，，即，，‎ 又，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及正弦型函数的性质，考查了转化能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则（ ）‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设交轴于,分别过，作于，于,根据抛物线的定义可得，，结合已知中的可得，即可得，，即可求出.‎ ‎【详解】如图，设交轴于,分别过，作于，于,‎ 由题可知，焦点 ,准线方程为， ,‎ 故，‎ 由抛物线的定义知：，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ ‎∴‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数形结合思想，考查了转化能力，属于中档题.‎ ‎11.设均为正数，且，，. 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为 所以,可得 ；因为 所以,可得 ；因为 所以,可得,所以，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质与对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎12.数列中，，则数列的前8项和等于（ ）‎ A. 32 B. ‎36 ‎C. 38 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给数列表达式，递推后可得.并将原式两边同时乘以后与变形后的式子相加，即可求得，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.‎ 详解】由已知，①‎ 得，②‎ 由得，‎ 取及，易得，，，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知实数，满足线性约束条件，则目标函数取最小值时有无数个最优解，则实数的取值是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形为，要使得取最小值时有无数个最优解，则目标函数需与其中一条直线平行，结合图象求出即可.‎ ‎【详解】如图所示，不等式组表示区域为以、、三点构成的三角形区域（包含边界），‎ 将目标函数变形为，取最小值即为直线在轴上截距最小，‎ 当时，显然不满足；‎ 当时，‎ 结合图象可知，使得取最小值时有无数个最优解，直线与直线平行，‎ 此时；‎ 当时，‎ 结合图象可知，使得取最小值时有无数个最优解，直线与直线平行，‎ 此时，‎ 综上所述，或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的应用以及根据最优解求参数问题，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，考查了转化能力，属于中档题.‎ ‎14.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,‎ 解方程组得：，所以点的坐标为,‎ 抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,‎ 所以，.‎ 所以，.‎ 考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.‎ ‎15.设非零向量的夹角是，且，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由平面向量的数量积运算及模的运算可得，再结合二次函数的最值的求法求解即可.‎ ‎【详解】解：∵非零向量的夹角是，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最小值，最小值是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及模的运算，重点考查了二次函数的最值的求法，属中档题.‎ ‎16.某工厂拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元（为圆周率）.该蓄水池的体积最大时______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为元，构造方程并整理，可将用表示，从而可表示成的函数，结合实际求出的范围，利用导数求出的最大值，计算最大时的值.‎ ‎【详解】蓄水池侧面的总成本为元，底面的总成本为元，‎ 蓄水池的总成本为元.‎ 又根据题意得，‎ ‎，从而.‎ 因，又由可得，‎ 函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，解得或（因，舍去）.‎ 当时，，故在上为增函数；‎ 当时，，故在上为减函数.‎ 由此可知，在处取得最大值，此时.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱的侧面积与体积公式，考查了函数模型的应用以及利用导数解决最值问题，解决实际问题时需注意函数的定义域应有实际意义，考查了函数与方程思想，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.数列是等比数列，前项和为.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是以3为首项、1为公差的等差数列，求数列前项的和.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得数列的首项，由即可求得数列的通项公式，进而代入求得的值.‎ ‎（2）先求得数列的通项公式，由数列是等差乘等比形式，结合错位相减法即可求得前n项和.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 当时，.‎ 又是等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）.‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列定义及通项公式求法，错位相减法求数列前n项和的应用，属于常考题.‎ ‎18.如图，在三棱锥中，，为的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等腰三角形的性质得到，由勾股定理逆定理得，由线面垂直的判定定理即可证明；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，分别求出面与面的法向量，利用向量的夹角公式计算法向量夹角，从而可得二面角的平面角的正弦值.‎ ‎【详解】解：（1）连接，设，则，‎ ‎，为的中点 ‎，‎ ‎，为的中点 ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由（1）知，，，，即，，两两垂直，‎ 如图，以为原点，以，，所在射线为，，‎ 轴正半轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则，，，，，‎ ‎∴，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ ‎，‎ 取，则，，‎ ‎，‎ ‎，，，平面，平面，‎ 面，‎ 可取向量为平面的法向量，‎ ‎，‎ 二面角的平面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及空间角的向量求法，考查了转化能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题.‎ ‎19.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:‎ 年入流量 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 发电量最多可运行台数 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.‎ ‎（1）依题意，，‎ ‎，，‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：‎ ‎.‎ ‎（2）记水电站年总利润为（单位：万元）‎ ‎①安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，‎ 对应的年利润，.‎ ‎②安装2台发电机 当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 因此.由此得的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎4200 ‎ ‎10000 ‎ ‎ ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.8 ‎ 所以.‎ ‎③安装3台发电机.‎ 依题意，当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此；‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 此时，‎ 当时，三台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 由此得的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎34 ‎ ‎9200 ‎ ‎15000 ‎ ‎ ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.8 ‎ ‎0.1 ‎ 所以.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.‎ 考点：二项分布，随机变量的均值.‎ ‎20.已知椭圆：的左焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，，，再结合求出，即可得椭圆的离心率；‎ ‎（2）设，由求出直线方程，设，，联立直线与椭圆的方程并消元，由韦达定理得到根与系数的关系，由四边形是平行四边形得到，从而解出，即可计算四边形的面积.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，，‎ 又由，，解得，‎ 椭圆的离心率.‎ ‎（2）设点的坐标为，‎ 则直线的斜率，‎ 当时，直线的斜率，直线的方程是.‎ 当时，直线的方程是，也满足方程，‎ 设，，‎ 将直线方程与椭圆的方程联立，得，‎ 消去，得，‎ 其判别式，‎ ‎，，，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平行四边形的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系以及平行四边形的面积计算公式，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）若时,,求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ 而，‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设函数，‎ ‎．‎ 由题设可得，即，‎ 令得, ．．（6分）‎ ‎①若，则，∴当时，‎ ‎，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，‎ 而．‎ ‎∴当时，，即恒成立． ．（8分）‎ ‎②若，则，‎ ‎∴当时，，∴在单调递增，‎ 而，∴当时，，即恒成立，‎ ‎③若，则，‎ ‎∴当时，不可能恒成立． ．（10分）‎ 综上所述，的取值范围为．（12分）‎ 考点：用导数研究函数的性质．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可.‎ ‎（2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于的一元二次方程.根据参数方程的几何意义，即可求得.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 等式两边同时乘以，可得.‎ ‎∴，‎ 即.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程.‎ 得，即.‎ 由于，‎ 故可设，是方程的两实根，‎ 所以.‎ 又直线过点，‎ 故由上式及的几何意义得.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属于中档题.‎ ‎23. 选修4－5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）如果，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）当 时，利用零点分段法，分 三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式 ，令最小值 求的取值范围.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）当时，.‎ 由得.‎ 当时，不等式可化为，即，其解集为；‎ 当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；‎ 当时，不等式可化为，即，其解集为. ‎ 综上所述，的解集为.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴要，成立.‎ 则，∴或.‎ 即的取值范围是.‎