2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条条
【答案】A
【解析】若，则，从而;
若，则，解得或.
所以，前者是后者的充分分不必要条件. 选A.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点
B．“，”是“”的充分必要条件
C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数过定点判断A;利用基本不等式判断B,利用逆否命题判断C,构造函数判断D
【详解】
对A,因为恒过（0,1），故函数的图象恒过定点，故A错误；
对B, 的充分必要条件是，故B错误；
对C, 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故C错误；
对D,令，则，易得函数为单调递减函数，故，则D正确
故选：D
【点睛】
本题考查命题真假，熟练掌握函数单调性，基本不等式，逆否命题等知识是关键，是中档题
3．若，，且，则的取值集合为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
现化简求解集合，对于集合需要分类讨论，再根据，即可求出实数的值.
【详解】
由题意，集合，
对于，
当，此时，此时满足，即；
当，此时，要使得，即，
则或，解得或，
综上可得实数m的值为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了集合的运算，及利用集合的包含关系求解参数的取值问题，其中解答中要认真审题，仔细解答，同时注意分类讨论的应用，忽视集合的分类讨论是解答的一个易错点，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
4．4．若集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∪N等于（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【答案】D
【解析】试题分析：两集合的并集为两集合的所有的元素构成的集合，因此M∪N={﹣1，0，1， 2}
考点：集合的并集
5．已知集合A={x|x2−4x+3>0}, B={x|xx−2≤0}, 则A∩B=（ ）
A．{x|1
3}
C．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x<1 或 x>3}
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，，故A∩B=
考点：集合的运算
6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
原不等式化为 ，故选B.
7．已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解A,B，再由并集运算求解即可
【详解】
=，则
故选：C
【点睛】
本题考查二次不等式的解法和对数不等式求解，考查集合运算，准确计算是关键，是基础题
二、填空题
8．点在不等式组表示的平面区域内，到原点的距离的最大值为，
则的值为 ．
【答案】3.
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，不等式组表示的平面区域如下图：
当点在点时，到原点的距离最大为5，则，解得.
9．不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法即可求得结果.
【详解】
由得：，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查分式不等式的求解问题，易错点是忽略分母不为零，造成增根.
10．已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是错误的，则实数a的取值范围是__________．(用区间表示)
【答案】(1，＋∞)
【解析】
由题意知，恒成立，∴关于的方程的根的判别式，∴，∴实数的取值范围是，故答案为.
11．不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
，根据绝对值的性质可知，解该分式不等式，得到答案.
【详解】
因为
所以根据绝对值的性质，正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，
所以可得
解得
故解集为.
【点睛】
本题考查绝对值的性质，解分式不等式，属于简单题.
12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：当时，不等式变形为，解集为，符合题意；
当时，依题意可得，
综上可得．
考点：一元二次不等式．
【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．
13．已知变量、满足则的最大值为
__________．
【答案】2
【解析】
作出不等式注所表示平面区域，如图阴影部分所示，
令， 由图象可知当直线经过点时，
直线的纵截距最大， 此时取得最大值，
由，解得，即，
则的最大值为，代入，得的最大值为．
14．已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．
【答案】5
【解析】
作出可行域如图：
由 解得，由得，平移直线
，结合图象知，直线过点A时，，故填5.
16．若，则,,,按由小到大的顺序排列为 .
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，由于，那么可知，，那么根据不等式的性质可知，真分数越加越大，假分数越加越小，那么，故答案为．
考点：不等式的比较大小
点评：主要是考查了作差法比较大小的运用，属于基础题．
三、解答题
17．已知命题p：直线3x+4y﹣m＝0与圆x2+y2﹣4x+3＝0有公共点；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得p、q为真时m的范围，由p∧q为真命题，得p与q均为真命题，对m的范围取交集即可；
【详解】
解：若p真，则圆心(2，0)到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝
≤1，解得1≤m≤11． 若q真，则2m＋6＞12－m＞0，解得2＜m＜12．由p∧q为真命题，得p与q均为真命题，得2＜m≤11，
所以实数m的取值范围是2＜m≤11．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系和椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是基本知识的考查．
18．（本题满分12分）已知全集，，
求：（1）；（2）；（3）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，并集是由两集合的所有元素构成的集合，补集为在全集中且不在集合中的其余元素构成的集合
试题解析：（1）
（2）
（3）∵
∴
考点：集合的交并补运算
19．设命题函数的定义域为；命题不等式,对上恒成立,如果命题“”为真命题,命题“”为假命题,求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
【详解】
试题分析：由真则且,得到;
若真则,对上恒成立,在上是增函数，此时,得到；
“”为真命题,命题“”为假命题,等价于,一真一假.故．
考点：简单逻辑联结词，函数的单调性，不等式恒成立问题的解法.
20．已知方程有两个不相等的实数根，设的取值集合为，设关于的不等式的解集为，求及．
【答案】或，或或.
【解析】
【分析】
由可得出集合，解不等式可得出集合，然后利用交集与补集的定义可得出集合及．
【详解】
由于方程有两个不相等的实数根，则，
即，解得或，或.
解不等式，得或或，
或或，则或，
，所以，或或.
【点睛】
本题考查集合的运算，考查一元二次方程根的个数的判断以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
21．求证：无论实数取何值，关于的方程总有两个不相等的实数根．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
总有两个不相等的实数根等价于，解出即可得证。
【详解】
，所以方程总有两个不相等的实数根
【点睛】
本题考查根据一元二次不等式根的个数，求参数的取值范围，属于基础题。
22．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【答案】4,6．
【解析】
【分析】
设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z＝x+0.5y．利用线性规划或不等式的性质求最值即可．
【详解】
解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，
设z＝x+0.5y＝0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18＝7，
当即时，z取最大值7万元
答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．
【点睛】
本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力．
