2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.‎ 详解：由诱导公式可得，，，故选A.‎ 点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.‎ ‎2．若, ,则的终边所在的象限为( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.‎ ‎【考点】三角函数 ‎3．已知向量，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．‎ ‎【详解】‎ 向量，， 解得， ∴， 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．‎ ‎4．如图，，下列等式中成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，即，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题。‎ ‎5．在中，角的对边分别是，已知，则（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B ‎【考点】正弦定理 ‎6．在中，若，那么是（ ）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】由tanAtanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，‎ ‎∴tan（A+B）0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，‎ C为锐角，故△ABC是锐角三角形，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键．‎ ‎7．将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 令y＝f（x）＝sin（2x+），‎ 则f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），‎ ‎∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴＝kπ，‎ ‎∴＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴当k＝0时，．‎ 故的一个可能的值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题．‎ ‎8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。‎ 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。‎ ‎9．函数的部分图象如图，则（）（ ）‎ A．0 B． C． D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出与 的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 因为y＝tan（x）＝0⇒xkπ⇒x＝4k+2，由图得x＝2；故A（2，0）‎ 由y＝tan（x）＝1⇒xk⇒x＝4k+3，由图得x＝3，故B（3，1）‎ 所以（5，1），（1，1）．‎ ‎∴（）5×1+1×1＝6．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查了利用正切函数值求角的运算，解决本题的关键在于求出A，B两点的坐标，属于基础题．‎ ‎10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（）（ ）‎ A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．24平方米 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据已知数据分别计算弦和矢的长度，再按照弧田面积经验公式计算，即可得到答案.‎ 详解：由题可知，半径，圆心角，‎ ‎ 弦长：，弦心距：，所以矢长为.‎ ‎ 按照弧田面积经验公式得，面积 故选C.‎ 点睛：本题考查弓形面积以及古典数学的应用问题，考查学生对题意的理解和计算能力.‎ ‎11．已知，，点在内，且，设，则等于（ ）‎ ‎ ‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据,可得,又因为，,所以可得:在轴方向上的分量为，在轴方向上的分量为,又根据,可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，， ，‎ ‎， 在轴方向上的分量为， 在轴方向上的分量为， ， ，， 两式相比可得:.故选B.‎ ‎【点睛】‎ ‎.‎ 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．‎ ‎12．已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③. 若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据条件确定函数图像，再根据过定点（1，0）的直线与图像关系确定实数k的取值范围.‎ 详解：因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为 ,‎ 选D.‎ 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量、 的夹角为，且，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量的数量积的应用进行转化即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，与的夹角为，‎ ‎∴•||||cos4，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．‎ ‎14．已知方程的两根分别为、、且，且__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．‎ ‎【详解】‎ 方程两根、，‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，结合，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．‎ ‎15．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-6.‎ ‎【解析】分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．‎ 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 易知当时，取得最小值.‎ 故答案为－6．‎ 点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数的最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．‎ ‎16．当函数取得最大值时，=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；‎ ‎（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，||＝5，||，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，‎ ‎∴，．‎ 则sin2α．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．‎ ‎18．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小； ‎ ‎（Ⅱ）设，，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，‎ 又．‎ 可得，‎ ‎∴sinBcosBsinB，‎ 则．‎ 又∵B∈（0，π），可得．‎ ‎（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，‎ ‎∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最值以及相应的x的取值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，取得最大值2；时，取得最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）利用x∈[，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为函数f（x）＝4cosxsin（x）1．‎ 化简可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1‎ sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）‎ 所以的最小正周期为．‎ ‎(Ⅱ)因为，所以．‎ 当，即时，f（x）取得最大值2；‎ 当，即时，f（x）取得最小值-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎20．设平面向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求时，函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若锐角满足，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，求得时函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若锐角α满足，可得cos的值，然后求的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 由得，‎ 其中单调递增区间为，‎ 可得，‎ ‎∴时f（x）的单调递增区间为．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵α为锐角，∴．‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，考查了二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数（其中）的图象如图所示：‎ ‎（1）求函数的解析式及其对称轴的方程；‎ ‎（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围，并求此时的值.‎ ‎【答案】（1），；（2），.‎ ‎【解析】（1）根据图像得A=2,利用，求ω值，再利用时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由得，方程f（x）＝2a﹣3有两个不等实根转为f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围，利用图像的性质可得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图知，,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ),‎ 当时，函数取得最大值，可得，即，‎ ‎，解得 ，又所以，‎ 故，‎ 令则，‎ 所以的对称轴方程为；‎ ‎（2），‎ 所以方程有两个不等实根时，‎ 的图象与直线有两个不同的交点，可得 ‎,‎ 当时，，有，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．‎ ‎22．已知向量 ，其中．函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为4．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）计算的值；‎ ‎（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间 [0，3] 上的零点个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得ω，再由函数f（x）的图象过点B（1，2）列式求得．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，可得f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．‎ 进一步可得结论；‎ ‎（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），‎ ‎∴f（x）cos2（ωx+）＝1﹣cos2（ωx+）），‎ ‎∴f（x）max＝2，则点B（1，2）为函数f（x）的图象的一个最高点．‎ ‎∵点B与其相邻的最高点的距离为4，∴，得ω．‎ ‎∵函数f（x）的图象过点B（1，2），∴，即sin2φ＝1．‎ ‎∵0＜，∴．‎ ‎∴f（x）＝1﹣cos2（）＝1+sin，‎ 由，得，．‎ 的单调递减区间是，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝1+sin，‎ ‎∴f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1．‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4．‎ 而2017＝4×504+1，‎ ‎∴f（1）+f（2）+…+f（2017）＝4×504+2＝2018；‎ ‎（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣1，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，‎ 即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．‎ 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：‎ ‎①当m＞1或m＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；‎ ‎②当﹣1≤m＜0或m＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；‎ ‎③当0≤m＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．‎ 综上，当m＞1或m＜﹣1时，函数g（x）在[0，3]上无零点；‎ ‎②当﹣1≤m＜0或m＝1时，函数g（x）在[0，3]内有1个零点；‎ ‎③当0≤m＜1时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎