2020届二轮复习微专题8　解析几何中最值与取值范围的问题课件（22张）（江苏专用）

2020届二轮复习微专题8　解析几何中最值与取值范围的问题课件（22张）（江苏专用）

微专题 8 解析几何中最值与取值范围的问题 微专题8　解析几何中最值与取值范围的问题 题型一　利用图形的性质求解 例1     (2017江苏无锡期末)已知椭圆   +   =1,动直线 l 与椭圆交于 B , C 两点.若 点 B 的坐标为   ,求△ OBC 面积的最大值. 解析 　由已知得,直线 OB 的方程为 y =   x ,即3 x -2 y =0.设经过点 C 且平行于直线 OB 的直线 l '的方程为 y =   x + b ( b ≠ 0),则当 l '与椭圆只有一个公共点时,△ OBC 的 面积最大.由   消去 y 并整理,得3 x 2 +3 bx + b 2 -3=0.由 Δ =9 b 2 -12( b 2 -3)=0, 解得 b = ± 2   .当 b =2   时, C   ;当 b =-2   时, C   . 所以△ OBC 面积的最大值为   ×   ×   =   . 【方法归纳】　圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距 离公式转化为在某区间 的二次函数的最值问题解决 , 有时也用圆锥曲线的参 数方程 , 化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和 ( 或差 ) 与第三边的 不等关系求解 . 圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平 行切线法 . 1-1 　设 P 是椭圆   +   =1上一点, M , N 分别是两圆:( x +4) 2 + y 2 =1和( x -4) 2 + y 2 =1上 的点,则| PM |+| PN |的最小值、最大值分别为 　　　     、 　　　     . 答案 　8;12 解析 　由椭圆及圆的方程可知,两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.设椭圆的 左、右焦点分别为 A , B ,由椭圆的定义知,| PA |+| PB |=2 a =10.连接 PA , PB ,分别与 圆相交于 M , N 两点,此时| PM |+| PN |最小,最小值为| PA |+| PB |-2=8;连接 PA , PB 并 延长,分别与圆相交于 M , N 两点,此时| PM |+| PN |最大,最大值为| PA |+| PB |+2=12. 综上,| PM |+| PN |的最小值和最大值分别为8,12. 1-2     (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知 B , C 为圆 x 2 + y 2 =4上两点,点 A (1,1),且 AB ⊥ AC ,则线段 BC 的长的取值范围是 　　　　　　　     . 答案 　[   -   ,   +   ] 解析 　设 BC 的中点为 D ,连接 AD , OD .由 AB ⊥ AC ,得 BC =2 AD , OD ⊥ BC , OD 2 + DC 2 = OC 2 ,即 OD 2 + AD 2 = OC 2 .设 D ( x , y ),则 x 2 + y 2 +( x -1) 2 +( y -1) 2 =4,化简,得   +   =   ,此即为点 D 的轨迹方程,圆心   与点 A (1,1)之间的距离为   ,则   -   ≤ AD ≤   +   .所以 BC =2 AD ∈[   -   ,   +   ]. 题型二　利用不等式求解 例2 　如图,已知动直线 l : y = kx + m 与椭圆   + y 2 =1交于 A , B 两个不同点. (1)若动直线 l : y = kx + m 又与圆 x 2 +( y -2) 2 =1相切,求 m 的取值范围; (2)若动直线 l : y = kx + m 与 y 轴交于点 P ,满足   =2   ,点 O 为坐标原点.求△ AOB 面积的最大值,并指出此时 k 的值. 解析 　把 y = kx + m 代入椭圆方程 x 2 +4 y 2 -4=0,整理得 (4 k 2 +1) x 2 +8 kmx +4 m 2 -4=0.① (1) Δ =(8 km ) 2 -4(4 k 2 +1)(4 m 2 -4)>0, 即4 k 2 - m 2 +1>0.② ∵直线 l 与圆 x 2 +( y -2) 2 =1相切, ∴   =1,∴ k 2 = m 2 -4 m +3,③ 把③代入②得:3 m 2 -16 m +13>0, 解得 m >   或 m <1. (2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), ∵ P (0, m ),   =2   ,∴2 x 1 + x 2 =0, 由①式得: x 1 + x 2 =   ,∴ x 1 =-( x 1 + x 2 )=   . 又∵ x 1 是方程①的根, ∴(4 k 2 +1)   +   +4 m 2 -4=0, ∴ m 2 =   ,由题意得 k ≠ 0, 显然满足 Δ =(8 km ) 2 -4(4 k 2 +1)(4 m 2 -4)>0, ∵| x 1 - x 2 |=|3 x 1 |=   , ∴ S △ AOB =   | x 1 - x 2 || m |=   =   =   ≤ 1,当且仅当9| k |=   ,即 k = ±   (符 合题意)时取等号, ∴当 k = ±   时,△ AOB 的面积取最大值1. 【方法归纳】　圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的 表达式,然后利用基本不等式等进行求解. 2-1     (2018盐城中学高三数学阶段性检测)在平面直角坐标系中,中心在原点, 对称轴为坐标轴的椭圆,点 F 1 (0,1)是它的一个焦点. A , B 分别为上顶点和右顶 点,原点 O 到线段 AB 的距离为   . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过原点 O 的直线与线段 AB 交于点 D ,与椭圆交于 E , F 两点,求四边形 AEBF 面 积的最大值. 解析 　(1)   +   =1. (2)设 EF 的方程为 y = kx ( k >0). 由   得4 x 2 +3 k 2 x 2 =12.所以   =   ,   =   . 所以| EF |=2| OE |=2   =2   . 又点 A , B 到 EF 的距离为 h 1 =   , h 2 =   , 所以四边形 AEBF 的面积为 S =   . 又因为(2+   k ) 2 ≤ 2(4+3 k 2 ),所以   ≤   ,所以 S ≤ 2   . 故四边形 AEBF 面积的最大值为2   . 题型三　利用函数的方法求解 例3     (2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,18)如图, F 1 、 F 2 分别为椭圆   +   =1( a > b >0)的焦点,椭圆的右准线 l 与 x 轴交于 A 点, F 1 (-1,0),且   =2   . (1)求椭圆的方程; (2)过 F 1 、 F 2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P 、 Q 、 M 、 N 四点,求四边 形 PMQN 面积的取值范围. 解析 　(1)由 F 1 (-1,0)得 c =1,∴ A 点坐标为( a 2 ,0). ∵   =2   ,∴ F 2 是 AF 1 的中点, ∴ a 2 - c =2 c ,∴ a 2 =3,∴ b 2 =2. ∴椭圆的方程为   +   =1. (2)当直线 MN 与 PQ 之一与 x 轴垂直时,四边形 PMQN 的面积 S =   | MN |·| PQ |=4. 当直线 PQ , MN 均与 x 轴不垂直时, 不妨设 PQ : y = k ( x +1)( k ≠ 0), 联立   消去 y 得(2+3 k 2 ) x 2 +6 k 2 x +(3 k 2 -6)=0. 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . ∴| PQ |=   | x 1 - x 2 |=   . 同理| MN |=   . ∴四边形 PMQN 的面积 S =   | MN || PQ |=   . 令 u = k 2 +   ,则 u ≥ 2, S =   =4-   , 易知 S 是以 u 为变量的增函数. ∴当 u =2,即 k = ± 1时, S 取最小值, S min =   ,∴   ≤ S <4. 综上可知,四边形 PMQN 面积的取值范围为   . 【方法归纳】　解决有关范围、最值问题时,首先要恰当地引入变量(如点的 坐标、角、斜率等),建立目标函数,然后通过求这个函数的值域解决问题.圆 锥曲线中的范围与最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以 及与之相关的一些问题;二是求直线与圆锥曲线中几何元素的范围与最值,以 及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. 3-1     (2019泰州期末,18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :   +   =1( a > b > 0)的左顶点为 A ,点 B 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任一点, P 是 AB 的中点,过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于点 Q ,已知椭圆 C 的离心率为   ,点 A 到右准 线的距离为6. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 Q 的横坐标为 x 0 ,求 x 0 的取值范围. 解析 　(1)依题意,有   =   ,即 c =   a , 又 a +   =6,所以 a +   =6, 解得 a =2,则 c =1, b =   =   , 所以椭圆 C 的标准方程为   +   =1. (2)由(1)知, A (-2,0),设 AB 的方程为 x = my -2, m ≠ 0, 则   ⇒   即 B   ,则 P   , 则 k OP =-   ,直线 OP 的方程为 y =-   x ; k BQ =- m ,直线 BQ 的方程为 y =- mx +   . 由   ⇒ x 0 =   =8-   ∈(4,8). 故 x 0 的取值范围是(4,8).