【数学】2020届一轮复习人教A版第8课函数的性质(2)作业（江苏专用）
随堂巩固训练(8)
1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋2x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x3＋2x－1__．
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x3＋2x＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x＋1＝－x3－2x＋1，所以－f(x)＝－x3－2x＋1，所以f(x)＝x3＋2x－1.
2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中结论正确的个数是__1__．
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，④错误．
3. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x＋3)＝f(x)，当x∈(－3，0)时，f(x)＝3x，则f(2 018)＝____．
解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x∈(－3，0)时，f(x)＝3x，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝.
4. 定义两种运算：ab＝，ab＝，则函数f(x)＝是__奇__函数(填“奇”或“偶”)．
解析：由题意，得f(x)＝，由4－x2≥0且2－≠0，得－2≤x<0或0
0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝____．
解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝.
6. 已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．
解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.
7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0恒成立，则实数b的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1＝，即a＝2.因为对称轴为直线x＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝b2－b－2>0，解得b<－1或b>2，故实数b的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
9. 对于函数y＝f(x)(x∈R)，给出下列命题：
①在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于直线x＝0对称；
②若f(1－x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若f(1＋x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)是周期函数；
④若f(1－x)＝－f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．
其中正确命题的序号是__③④__．
解析：y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，①错；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1－1)＝f(x)，函数y＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x－1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．
10. 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__2__．
解析：f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
11. 设函数f(x)＝(a>0，b>0)．
(1) 当a＝b＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；
(2) 设函数f(x)是奇函数，求a与b的值；
(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－的解集．
解析：(1) 当a＝b＝2时，f(x)＝，
所以f(－1)＝，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．
(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－对定义域内任意实数x都成立，化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)＝0对定义域内任意实数x都成立，
所以解得或
因为a>0，b>0，所以经检验符合题意．
故a与b的值分别为1，2.
(3) 由(2)可知f(x)＝＝(－1＋)．
设x1，x2∈R，且x1f(x2)，所以函数f(x)在R上是减函数．
由f(1)＝－，f(x)>－，得f(x)>f(1)．
由函数f(x)在R上是减函数可得x<1，
所以不等式f(x)>－的解集为(－∞，1)．
12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且2f(x)＋f＝x，试判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．
解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且2f(x)＋f＝x， ①
所以2f＋f(x)＝.②
由①②解得f(x)＝.
因为定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝是奇函数．
(2) 因为定义域关于原点对称，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1) 求证：函数f(x)是偶函数；
(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(3) 解不等式：f(2x2－1)<2.
解析：(1) 令x1＝x2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.
令x1＝x，x2＝－1，所以f[x×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2) 设x1>x2>0，则
f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f(x2)＋f－f(x2)＝f.
因为x1>x2>0，所以>1.
因为当x>1时，f(x)>0，所以f>0，所以f(x1)－f(x2)>0，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
(3) 令x1＝x2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2.
因为f(2x2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以解得－
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