2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（十三）数列中的基本量计算

2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（十三）数列中的基本量计算

课时达标训练(十三) 数列中的基本量计算 A组 ‎1．(2018·南京三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．‎ 解析：由S6＝(a1＋a2＋a3)＋a1q3＋a2q3＋a3q3＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3)＝(1＋q3)S3＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2019·苏北三市一模)在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，由a5＝，8a6＋2a4＝a2，得 解得所以S6＝6a1＋d＝.‎ 答案： ‎3．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为________．‎ 解析：由S12＝4S6，当q＝1，显然不成立，所以q≠1，则＝4，因为≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.‎ 答案：2或6‎ ‎4．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；‎ b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.‎ 所以a2＝－1＋3＝2，‎ b2＝－1×(－2)＝2，‎ 所以＝1.‎ 答案：1‎ ‎5．(2019·无锡期末)设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________．‎ 解析：设数列{an}的公差为d，d≠0，因为a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，所以(a2－1)2＝(a1－1)(a4－1)，即(6－d)2＝(6－2d)(6＋d)，化简得3d2－6d＝0，因为d≠0，所以d＝2，所以a10＝a3＋7d＝7＋14＝21.‎ 答案：21‎ ‎6．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．‎ 解析：依题意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因为an>0，所以a3≥，所以a3的最小值为.‎ 答案： ‎7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．‎ 解析：在等差数列{an}中，设公差为d，因为“an－Sn＝a1＋(n－1)d－＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次项系数为1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n项和Sn＝13n＋×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k＝7.‎ 答案：7‎ ‎8．(2019·苏锡常镇四市一模)中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为________．‎ 解析：由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{an}，易知公比q＝，则S7＝＝2a1＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q6＝700×‎ eq f(64,127)×＝，所以这匹马最后一天行走的里程数为.‎ 答案： ‎9．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a，则S3＝________．‎ 解析：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，且a1>0，由4a4，a3，6a5成等差数列，得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝.又由a3＝3a，解得a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.‎ 答案： ‎10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．‎ 解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.‎ 答案：200‎ ‎11．(2018·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．‎ 解析：令a1＋a2＝t(t>0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq2－2t＝6(其中q为公比)，所以t＝(q＞)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6 ‎≥6＝48(当且仅当q＝2时等号成立)．‎ 答案：48‎ ‎12．(2019·苏州中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2n－1an)an＋1，n∈N*.设数列的前n项和为Tn，则＝________．‎ 解析：∵(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2n－1an)an＋1，∴anSn＋1－an＋1Sn＝2n－1an＋1an，又an≠0，∴－＝2n－1.则－＝1，－＝2，…，－＝2n－2(n≥2，n∈N*)．以上各式相加，得－＝1＋2＋…＋2n－2(n≥2，n∈N*)．∵＝1，∴－1＝2n－1－1，∴Sn＝2n－1an(n≥2，n∈N*)．∵n＝1时上式也成立，∴Sn＝2n－1an(n∈N*)．∴Sn＋1＝2nan＋1.两式相减，得an＋1＝2nan＋1‎ ‎－2n－1an，即(2n－1)an＋1＝2n－1an，则＝，∴Tn＝1＋＋＋…＋＝2－，∴＝Tn＋＝2.‎ 答案：2‎ ‎13．(2019·海安中学模拟)记min {a，b}＝设数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a1＝0，b1＝1，cn＝min {an，bn}，n∈N*，若数列{cn}中存在连续三项成等比数列，则d的最小值为________．‎ 解析：法一：由题意知an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，bn＝2n－1.数列{cn}中存在连续三项成等比数列，不可能是等差数列{an}中连续的三项，理由：假设是等差数列{an}中连续的三项，分别记为(k－1)d，kd，(k＋1)d，k≥2，k∈N*，则k2d2＝(k－1)d·(k＋1)d，得d＝0，an＝0，所以cn＝0，与题意不相符．‎ 又数列{an}中的项为0，d，2d，3d，…，数列{bn}中的项为1，2，4，8，…，所以当d≤2时，cn＝an，不满足题意；当21，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为________．‎ 解析：由a2a4＝a3得a＝a3，又{an}的各项均为正数，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，‎ 当n＝6时，T6＝T5·a6，又公比q>1，a3＝1，故a6>1，T6>1.‎ 答案：6‎ ‎3．已知正项数列{an}满足an＋1＝＋＋＋…＋＋1，其中n∈N*，a4＝2，则a2 020＝________．‎ 解析：an＋1＝＋＋…＋＋1，所以n≥2时，an＝＋＋…＋＋1，两式相减得an＋1－an＝(n≥2)，所以a－a＝1(n≥2)，a＝a＋(2 020－4)×1＝2 020，所以a2 020＝.‎ 答案： ‎4．(2018·南京考前模拟)数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：(1，3)，(5，7，9，11)，(13，15，17，19，21，23)，…，则第n组中各数的和为________．‎ 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n，2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n组中各数的和为Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3.‎ 答案：4n3‎ ‎5．(2019·南通等七市二模)已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，B＝{x|x＝8k－8，k∈N*}，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合B中取出n个不同元素，其和记为T.若S＋T≤967，则m＋2n的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意可得S＝＝m2，T＝＝4n2－4n，则S＋T＝m2＋4n2－4n≤967，即m2＋(2n－1)2≤968，由基本不等式可得≤ ≤ ＝22，则m＋(2n－1)≤44，当且仅当m＝2n－1＝22时取等号，但此时n＝∉N*，所以等号取不到，则当m＝22，n＝11时，m＋2n取得最大值44.‎ 法二：由题意可得S＝＝m2，T＝＝4n2－4n，则S＋T＝m2＋4n2－4n≤967，即m2＋(2n－1)2≤968，令m＝cos θ，2n－1＝sin θ，则m＋2n＝cos θ＋sin θ＋1＝sin＋1≤44＋1＝45，当且仅当m＝22，2n－1＝22时取等号，但此时n＝∉N*，所以等号取不到，则当m＝22，2n－1＝21，即n＝11时，m ‎＋2n取得最大值44.‎ 答案：44‎ ‎6．(2018·江苏高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．‎ 解析：所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，S4＝10<12a5＝60，不符合题意；……；当n＝26时，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合题意；当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合题意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.‎ 答案：27‎