江苏省泰州中学江都中学宜兴中学2020届高三上学期11月月考数学试题

江苏省泰州中学江都中学宜兴中学2020届高三上学期11月月考数学试题

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学 ‎2019-2020学年度高三年级第一学期第一次联合测试试卷 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1.已知集合，，若，则的取值范围为：_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,列式解得.‎ ‎【详解】因为，，且,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.‎ ‎2.若幂函数的图像过点，则____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解得,由此可得,然后可得.‎ ‎【详解】因为幂函数的图像过点,‎ 所以,即,‎ 所以,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.‎ ‎3.函数的最小正周期是______．‎ ‎【答案】p ‎【解析】‎ ‎，周期.‎ ‎4.已知角的顶点在原点，始边为轴非负半轴，则“的终边在第一象限”是“”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第一象限角,轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得.‎ ‎【详解】由的终边在第一象限可以推出,‎ 由,可以推出的终边在第一象限或者在轴非负半轴上或者在第二象限,‎ 所以“的终边在第一象限”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为: 充分不必要.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.‎ ‎5.已知向量、的夹角为，，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可得.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.‎ ‎6.已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案.‎ ‎【详解】由三角函数的定义可知，解得，‎ 又由，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.曲线在点处的切线的斜率为，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，利用导数的几何意义计算即可。‎ ‎【详解】解：‎ 则 所以 故答案为-3.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。‎ ‎8.函数,若，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.‎ ‎【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略 ‎(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。‎ ‎(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。‎ ‎(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。‎ ‎9.平行四边形中，已知，，，则__________.‎ ‎【答案】-30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行四边形和向量的线性运算将和表示为和后相乘可得.‎ ‎【详解】如图:‎ ‎.‎ 因为四边形为平行四边形,所以,,,‎ 所以.‎ 故答案为:-30.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积,属于中档题.‎ ‎10.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，‎ ‎，则当时，的最小值为_________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据推出周期为4,再根据奇函数推出时的表达式,再根据周期性推出时的表达式,再用二次函数求最小值,‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 所以函数是以4为周期的周期函数,‎ 设,则,‎ 所以,‎ 因为函数是定义在上的奇函数,‎ 所以,‎ 所以当时,,‎ 所以,‎ 所以当时,函数取得最小值.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.‎ ‎11.如图，在四边形中，，，，，是的角平分线，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出，根据，利用余弦定理建立等式解出，再求出的值，在中利用余弦定理，解出的值。‎ ‎【详解】设，则,,‎ 又是的角平分线，即,‎ ‎,‎ 即，，，‎ 故填 ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题。‎ ‎12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(0,1)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，‎ 由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．‎ ‎13.已知函数，若，且，则的最小值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.‎ ‎【详解】因为函数在上递增,在上也递增,且时,,‎ 所以,所以,,‎ 所以,即,‎ 所以,,‎ 令,‎ 则,‎ 当时,,当时,,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以时,取得最小值.‎ 即的最小值是:.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.‎ ‎14.在中，最大值为：____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据积化和差公式得,再化成辅助角的形式可解得最大值.‎ 详解】由积化和差公式可得,‎ ‎ ‎ ‎,当且仅当时,等号成立,‎ 所以 ‎ ‎ ‎,‎ 令,,则,取,‎ 所以 ,‎ 当,时,等号成立.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）‎ ‎15.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】(1) T＝＝;(2) 取值范围为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,‎ ‎(2)根据的范围,求出4＋的范围,然后结合三角函数的图象解答.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意知,＝cos 4-cos＝cos 4＋sin 4＝2sin,‎ ‎∴函数的最小正周期T＝＝‎ ‎(2)∵-≤≤,‎ ‎∴-≤4＋≤,‎ ‎∴≤sin≤1,‎ ‎≤2sin≤2,‎ ‎∴函数的取值范围为.‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎16.在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由 和可得sinA和cosA，再由二倍角公式即得cos2A；（2）由面积公式，可得的值，再由和正弦定理可知b和c的值，用余弦定理可计算出a，即得的周长。‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，. ‎ 因，所以，， ‎ 则. ‎ ‎（2）由题意可得，的面积为，即. ‎ 因为，所以，所以，. ‎ 由余弦定理可得. ‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型。‎ ‎17.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值及函数的值域；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于函数是定义在上的奇函数，故可根据求得的值.再利用指数函数的值域，来求得的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由解得，反之时， ‎ ‎，符合题意，故 据此，，即值域为 ‎⑵在显然是单调增函数，为正数，‎ 所以，故，‎ 令，则 随的增大而增大，‎ 最大值为，所求范围是 ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在处有定义，则必有，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.‎ ‎18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．‎ ‎（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本 ‎（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）‎ ‎【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜7和当x≥7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式； （2）当0＜x＜7时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可．‎ ‎【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.‎ 依题意得，当时，‎ ‎， ‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时，的最大值为（万元）. ‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，取最大值（万元），‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，取得最大值万元，‎ 即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.‎ ‎【点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 ‎19.设二次函数，集合．‎ ‎（1）若，，且方程的两根都小于-1，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的最大值（结果用表示）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,可得,由二次函数的图象列式可解得;‎ ‎(2)根据,可得,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.‎ ‎【详解】（1）因为，所以1和2是两根，‎ 所以由韦达定理得，解得，‎ 因为，所以，即，‎ 此时 ,‎ 又因为方程的两根都小于-1，所以，‎ 将代入得，所以 ,‎ 解得；‎ ‎（2）因为，所以有两个相等的两根2，‎ 故，解得，‎ 此时 ,‎ 所以，对称轴为，‎ ‎①当时，则，在上单调递增，所以；‎ ‎②当时，则，；‎ ‎③当时，则，，‎ 综上：．‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的极小值；‎ ‎（2）设函数，讨论函数在上的零点的个数；‎ ‎（3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后,利用导数可求得极小值;‎ ‎(2)转化为讨论在上的解的个数,再利用导数可解决;‎ ‎(3) 转化为对任意的，不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得,‎ ‎【详解】（1），.‎ 则，‎ 令，得；令，得或（或列表求）‎ ‎∴函数在单调减，在单调增，在上单调减，‎ ‎∴函数在处取得极小值；‎ ‎（2），‎ ‎∵，∴，‎ 设，则，令，则.‎ ‎∴上单调减，在上单调增，且，，，.‎ ‎∴当或时，有1解，‎ 即在上的零点的个数为1个；‎ 当时，有2解，即在上的零点的个数为2个；‎ 当时，有0解，即在上的零点的个数为0个．‎ ‎（3）∵，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立.‎ ‎∵，∴对任意的，不等式恒成立.‎ 即对任意的，不等式恒成立．‎ 设，，‎ ‎∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ 则在上单调减，在上单调增，‎ 当时，在上递减,所以恒成立；‎ 当时，在上递减,在上递增,所以，因为， ，而；所以在上不恒成立,‎ ‎∴正整数的最大值为4．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎