2013-2017高考数学分类汇编-第八章第4节 直线、平面平行的判定与性质

2013-2017高考数学分类汇编-第八章第4节 直线、平面平行的判定与性质

第四节 直线、平面平行的判定与性质 题型95 证明空间中直线、平面的平行关系 ‎2013年 ‎1．（2013广东文8）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎2. （2013浙江文4）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，‎ ‎ A.若，，则 B.若，，则 ‎ ‎ C.若，，则 D.若，，则 ‎3. （2013山东文19） 如图，四棱锥中，，，，‎ ‎，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面 ‎4. （2013江苏16）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎（2）.‎ ‎5.（2013辽宁文18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设为的中点，为的重心，求证：平面.‎ ‎6. (2013陕西文18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，‎ ‎.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求三棱柱的体积.‎ ‎2014年 ‎1.（2014山东文18）如图所示，四棱锥中 分别为线段的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎2.（2014安徽文19） 如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若，求四边形的面积.‎ ‎2015年 ‎1.（2015广东文18）如图所示， 所在的平面与长方形所在的平面垂直，‎ ‎，，．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：；‎ ‎(3)求点到平面的距离．‎ ‎1. 解析 （1）因为四边形是长方形，所以.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为四边形是长方形，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.因为平面，所以.‎ ‎（3）解法一：取的中点，连接和，如图所示.‎ 因为，所以.在中，.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.‎ 由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因为平面，所以.‎ 设点到平面的距离为，因为，‎ 所以，即，‎ 所以点到平面的距离是.‎ 解法二：过点作交的延长线于点，取的中点，连接 ‎，如图所示.‎ 由（2）知平面，由（1）知，所以平面.‎ 又平面，所以. 因为，所以平面.‎ 则的长度即为点到平面的距离.‎ 因为，所以.‎ 在与中，，所以，所以.‎ 在中，.‎ 则，得.故点到平面的距离为.‎ ‎2.（2015江苏16）如图所示，在直三棱柱中，已知，．‎ 设的中点为，．‎ 求证：（1）平面；（2）．‎ ‎2.解析 （1）因为四边形是矩形，所以是的中点. 又是的中点，‎ 因此是的中位线，故.‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）因为平面，平面，所以，又，，从而平面.‎ 因为平面，所以．‎ 因为，为的中点，所以.‎ 因为，所以平面.‎ 又因为平面，所以．‎ ‎2016年 ‎1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.‎ ‎2.(2016上海文16)如图所示，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）.‎ A.直线 B.直线 ‎ C.直线 D.直线 ‎2.D 解析 易知与在两个平行平面内，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理与也不可能相交；与均在平面内，且与不平行，故相交，其交点如图所示.故选D.‎ ‎3.（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎3.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又因为平面，且，故平面.‎ ‎（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，‎ 故.又，且，平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以.‎ 又因为，，且平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以平面平面.‎ ‎4.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎4.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.‎ 在中，因为是的中点，所以且.‎ 又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面 ‎（2）在中，，，.由余弦定理可得，进而可得，即.‎ 又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.‎ 过点作于点，连接，如图所示.‎ ‎ ‎ 又因为平面平面，由（2）知平面，‎ 所以直线与平面所成角即为.‎ 在中，.‎ 由余弦定理可得，所以，‎ 因此.‎ 在中，，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎5（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.‎ ‎（1）已知，. 求证：；‎ ‎（2）已知分别是和的中点.求证：平面.‎ ‎5. 解析 （1）因为，所以与确定一个平面，连接，如图（1）所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以.‎ ‎（2）设的中点为，连接，如图（2）所示. ‎ 在中，是的中点，所以.又，所以；在中，是的中点，所以.‎ 又，，所以平面平面.‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎ （1） (2)‎ ‎6.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎6.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎(2)由(1) 平面.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国1文6）如图所示，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）.‎ ‎1.解析 由选项B，，则直线平面；由选项C，，则直线平面；由选项D，，则直线平面.故选项A不满足.故选A.‎ ‎2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，‎ ‎，.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若面积为，求四棱锥的体积.‎ 解析 （1）在平面内，因为，所以.‎ 又平面，平面，故平面.‎ ‎（2）取的中点，联结，.‎ 由，及，，得四边形为正方形，则.‎ 因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.‎ 设，则，，，.‎ 取的中点，联结，则，所以.‎ 因为的面积为，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱锥的体积.‎ ‎3.（2017山东文18）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设是的中点，证明：平面平面.‎ 解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，‎ 所以，，因此四边形为平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.‎ 又 面，平面，所以.‎ 因为 ，所以.‎ 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.‎ 解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，‎ 所以，，因此四边形为平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.‎ 又 面，平面，所以.‎ 因为 ，所以.‎ 又平面，，所以平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎4.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中，，， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）．‎ 解析 （1）在平面内，因为，，且点与点不重合，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面， ‎ 平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以.‎ 题型96 与平行有关的开放性、探究性问题 ‎2014年 ‎27.（2014四川文18）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.‎ ‎（1）若，求证：直线平面；‎ ‎（2）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论.‎ ‎2015年 ‎1.（2015陕西文18）如图1所示，在直角梯形中，，，‎ ‎，是的中点，是与的交点，将沿折起 到图2中的位置，得到四棱锥时，四棱锥的体积为，‎ 求的值.‎ ‎1.解析 (1)在图1中，因为，是的中点，，且所以四边形是正方形，故.‎ 又在图2中，，，从而平面.‎ 又 且，所以，即可证得平面；‎ ‎(2)由已知，平面平面，且平面平面.‎ 又由(1)知，，所以平面，即是四棱锥的高，‎ 且.平行四边形面积，‎ 从而四棱锥的体积，‎ 由，得.‎ ‎2016年 ‎1.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥中，，，，.‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； ‎ ‎（2）证明：平面平面 ‎ ‎1.解析（1）取棱的中点平面，点即为所求的一个点.‎ 证明如下：因为，所以，且 所以四边形是平行四边形，从而 又平面，平面，‎ 所以平面 ‎ (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点). ‎ ‎（2）由已知，，因为，所以直线与相交，所以平面从而因为，所以，且 所以四边形是平行四边形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面 ‎2.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥中，平面，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.‎ ‎2.解析 （1）因为平面，所以.‎ 又因为，.所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，又，所以平面. ‎ 又平面，所以平面平面 ‎（3）棱上存在点，使得平面.证明如下.‎ 取中点，联结.又因为为的中点，所以.‎ 又因为平面，所以平面.‎