内蒙古自治区赤峰市赤峰二中呼市二中2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

内蒙古自治区赤峰市赤峰二中呼市二中2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

呼市赤峰2020届高三校级第一次联考 数学试卷（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ ‎3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式求得集合B,再进行补集交集运算 ‎【详解】由题 故，.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B是关键，是基础题 ‎2.复数（为虚数单位）等于（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的四则运算，化简 ，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，的夹角为，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用数量积定义求解即可 ‎【详解】由题，则.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查数量积的定义，是基础题 ‎4.已知，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分必要条件结合不等式性质即可得解 ‎【详解】∵，，∴，∵，∴，∴，反之，时，，∵，∴.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键 ‎5.观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数的值为（ ）‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由规律得再解方程即可 ‎【详解】由已知等式规律可知，当时，可得.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 ‎6.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将点代入，求得幂函数解析，再换元，转化为二次函数求最值即可 ‎【详解】设幂函数，图象过点，故 ‎ 故，，令，则，，‎ ‎∴时，.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围 ‎7.已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期性和奇偶性得，结合得a,b 的值即可求解 ‎【详解】由周期为2,则4也为周期 故，即 又，∴，，故.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意的应用 ‎8.在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连并延长到与相交于点,设正方形的边长为1,求得内切圆的半径为，再利用平面向量基本定理求解 ‎【详解】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.‎ 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理，数形结合思想的应用，考查推理能力，准确求得内切圆半径是关键，是中档题 ‎9.已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. -3 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论不成立，当直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式列式求出结果．‎ ‎【详解】由时，，故.∵，∴.又，解得，.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】输入的， ‎ 第一次循环， 满足 ‎ 第二次循环，满足 第三次循环，满足 第四次循环，满足 第五次循环，满足 第六次循环，不满足，退出循环，输出n=6‎ 故选C ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．‎ ‎11.在中，角，，所对的边分别为，，，若是和的等比中项，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 切化弦得，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可 ‎【详解】由题意有，.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题 ‎12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）‎ A. 65 B. ‎67 ‎C. 75 D. 77‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题将数列分组，得每组的和，推理的n的大致范围再求解即可 ‎【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，‎ 则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，‎ 时，，，‎ 时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z取得最大值求解即可 ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线为 ‎ 当直线平移过点A时，z取得最大值，联立直线得A（1,2），故 故答案为5‎ ‎【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题 ‎14.已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角和的余弦公式及二倍角公式求得转化为的齐次式求解即可 ‎【详解】由题 ‎.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题 ‎15.已知正实数、满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结合基本不等式求解即可 ‎【详解】由（当且仅当，时取“”）.‎ 故答案为10‎ ‎【点睛】本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基础题．‎ ‎16.已知函数，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，讨论图象与其相交的临界位置求解即可 ‎【详解】由，则函数简图如图所示：‎ 若函数恰有4个零点，则函数图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.‎ ‎（1）当函数处于①的位置时，点在函数的图象上，有，得；‎ ‎（2）当函数处于②的位置时，此时函数与直线相切，设切点的坐标为，有，解得：，由（1）（2）知实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得，由二倍角公式得，进而求得C;‎ ‎（2）利用面积公式得，结合余弦定理得，则可求 ‎【详解】（1）∵，∴，，.‎ ‎∵，故，，.‎ ‎（2）由的面积为，，知，∴，‎ 由余弦定理知，故，，‎ 解得.‎ ‎【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．‎ ‎18.已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1.‎ ‎（1）求函数的增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值、最小值及相应的的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）时，函数的最小值为-2；时，函数的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简，进而得及则解析式可求；‎ ‎（2）由得，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 ‎【详解】（1）由.‎ 由函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1，有，有，得，故.‎ 令，得.‎ 故函数的增区间为.‎ ‎（2）当时，.‎ 则当，即时，函数的最小值为2；‎ 当，即时，函数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．‎ ‎19.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，若数列的前项和为，求满足的正整数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）5‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用，当时，求得通项 ‎（2）由错位相减求和即可 ‎【详解】（1）由题.‎ 当时，.‎ 由符合，故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由，‎ 作差得：‎ 得：‎ 得：，又 故数列单调递增，且，‎ 故满足的正整数的值只有一个为5.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小整数值；‎ ‎（2）若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简方程得，问题转化为求的最小值，对 求导，分析导函数的正负得的单调性，从而得出的最小值，可得解；‎ ‎（2）分析函数的定义域和单调性，得出在的最小值和最大值，由已知建立不等式，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.‎ ‎【详解】（1）化为，‎ ‎，，．‎ 令，，则，．‎ 的单调减区间为，单调增区间为，．‎ ‎，，．‎ 的最小整数值为2．‎ ‎（2），，，．‎ ‎．，的定义域为，且在是增函数．‎ 则，在上的最大值为，最小值为．‎ 由题意知，．‎ ‎，‎ 令，．‎ 在上是减函数，最大值为．‎ ‎，，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，有2个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分离参数构造新函数，求导求最值即可得的取值范围 ‎（2）不等式，得，构造函数，求导讨论a的正负确定函数的最值即可求解 ‎【详解】（1）时，由得，‎ 令，则，‎ 时，，‎ 时，.‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，‎ 又，，，‎ ‎∴当时，在上有2个零点，‎ ‎∴.‎ ‎（2）因为不等式即为，‎ 得，‎ 设，则不等式等价于.‎ 从而，.‎ 当时，时，；时，，‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时.‎ 由题意，若恒成立，则，即，解得.‎ 所以；‎ 当时，存在使得.‎ 故不可能满足恒成立.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得即可得直角坐标方程；‎ ‎（2）直线的方程为，利用得求解即可 详解】（1）由，得，‎ 根据公式，得，‎ 故曲线的直角坐标方程是.‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为.‎ 而曲线：化为标准方程是，‎ 故圆心.‎ 因为恰好为线段的中点，‎ 所以.‎ 所以，即，解得.‎ 故直线的方程是，即.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据恰好为线段的中点转化为是关键，是基础题 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）先求得两函数的最值，转化为求解即可 ‎【详解】（1）由，得，‎ ‎①当时，，得；‎ ‎②当时，，得，即；‎ ‎③当时，，得；‎ 综上，不等式解集是.‎ ‎（2）若，都有恒成立，‎ 则，‎ 而，‎ 易知，当且仅当等号成立 则.‎ 则，解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题