【数学】2020届一轮复习人教A版第39课直线的倾斜角和斜率学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第39课直线的倾斜角和斜率学案（江苏专用）

‎____第39课__直线的斜率与倾斜角____‎ ‎1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，了解直线的倾斜角的取值范围．‎ ‎2. 理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能解决“直线的倾斜角”和“直线的斜率”相互转化问题．‎ ‎3. 能利用倾斜角和斜率反映直线倾斜程度的特性，培养数形结合思想.‎ ‎1. 阅读：必修2第77～79页．‎ ‎2. 解悟：①在平面直角坐标系中用什么量来刻画直线的倾斜程度？斜率的公式k＝(x1≠x2)，当x1＝x2时如何？这样的直线的斜率如何？这条直线有什么特征，怎样表示？②直线的倾斜角α的取值范围合理确定，直线倾斜角与斜率之间的关系如何？‎ ‎3. 践习：①按照第78页例2，画出符合要求的直线；②在教材空白处，完成第80页练习第1题(4) (5) (6)、3、6题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 下列命题：①根据直线倾斜角的大小不能确定直线的位置；②平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；③若直线的倾斜角为α，则sinα>0；④若直线的斜率为k＝tanα，则这条直线的倾斜角为α.其中正确的命题的个数为__1__．‎ 解析：根据直线倾斜角的大小不能确定直线的位置，①正确；平面内任何一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在，故②错；当α＝0时，sinα＝0，故③错；直线的斜率为k＝tanα，则α可以是任意角，只要tanα有意义，所以α可以不在倾斜角的范围，故④错．‎ ‎2. 经过两点A(0，0)，B(1，)的直线l的斜率k＝____，倾斜角α＝__60°__．‎ 解析：由题意得k＝＝，倾斜角α＝60°.‎ ‎3. 已知点P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ的斜率为1，则实数m的值为__1__．‎ 解析：由过两点的斜率公式可得k＝＝1，解得m＝1.‎ ‎4. 若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)在同一条直线上，则实数a＝__4__．‎ 解析：设直线AC的斜率为k，则k＝＝1.又因为点B在直线AC上，所以＝1，则a＝4.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 直线的倾斜角与斜率之间的关系 ‎　例1　若三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为__α1<α2<α3__．‎ 解析：设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，由tanα1＝k1＝1>0，所以α1∈.tanα2＝k2＝－<0，所以α2∈，所以α2>α1.又因为tanα3＝k3＝－<0，所以α3∈‎ ，所以α3>α1，而－<－，因为正切函数在上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.‎ 已知经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y的值为__－3__．‎ 解析：由＝＝y＋2＝tan，得y＋2＝－1，所以y＝－3.‎ 考向❷ 求直线倾斜角与斜率 例2　已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率．‎ 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，‎ 由题意可知tan2α＝，所以＝.‎ 整理得3tan2α＋8tanα－3＝0，‎ 解得tanα＝或tanα＝－3.‎ 因为tan2α＝>0，所以0°<2α<90°，‎ 所以0°<α<45°，所以tanα>0，‎ 故直线l的斜率为.‎ 如图，已知直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率．‎ 解析：直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝.‎ 因为直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，‎ 所以直线l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－.‎ 考向❸ 求直线的倾斜角与斜率的取值范围 ‎　例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．‎ ‎(1) 求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎(2) 求直线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解析：设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.‎ 如图，由题意可知，kPA＝＝－1，kPB＝＝1.‎ ‎(1) 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2) 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．‎ 又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，‎ 所以α的取值范围是[45°，135°]．‎ 已知两点A(－1，2)，B(m，3)．‎ ‎(1) 求直线AB 的斜率k；‎ ‎(2) 若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ 解析：(1) 当m＝－1时，直线AB的斜率k不存在；‎ 当m≠－1时，直线AB的斜率k＝.‎ ‎(2) ①当m＝－1时，直线AB的倾斜角α＝；‎ ‎②当m≠－1时，直线AB的斜率k＝，‎ 因为m∈，‎ 所以k＝∈(－∞，－]∪.‎ 由k＝tanα，α∈[0，π)得α∈[，)∪(，]．‎ 由①②可知，直线AB的倾斜角α的取值范围是.‎ ‎【备用题】 设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，求直线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解析：当cosθ＝0时，直线l的倾斜角为.‎ 当cosθ≠0时，直线l的斜率为k＝－.‎ 因为cosθ∈[－1，1]，‎ 所以－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 所以倾斜角α∈∪.‎ 综上，α∈.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 若α为直线l的倾斜角，且sinα＝，则直线l的斜率为__或－__．‎ 解析：因为α为直线l的倾斜角，所以α∈[0，π)．又因为sinα＝，所以tanα＝或－，即直线l的斜率为或－.‎ ‎2. 直线x－y＋a＝0的倾斜角为__60°__．‎ 解析：直线x－y＋a＝0的斜率k＝，所以倾斜角为60°.‎ ‎3. 若斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＝__4__，b＝__－3__．‎ 解析：由题意得解得 ‎4. 若直线的倾斜角α满足

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