2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题1 函数与导数2-1-高考小题 2

2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题1 函数与导数2-1-高考小题 2

第 2 课时　 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考向一　基本初等函数的图象与性质 ( 保分题型 考点 ) 【题组通关 】 1. 已知函数 f(x )= , 则 y=f(x ) 的图象大致 为 ( 　　 ) 2. 若函数 y=e x f(x)(e =2.718 28 … 是自然对数的底数 ) 在 f(x ) 的定义域上单调递增 , 则称函数 f(x ) 具有 M 性质 . 下列函数中具有 M 性质的是 ( 　　 ) A.f(x )=2 -x B.f(x )=x 2 C.f(x )=3 -x D.f(x)=cos x 3. 若方程 |3 x -1|=k 有两个解 , 则实数 k 的取值范围是 ________.  【解析 】 1. 选 B. 令 g(x )=ln(x+1)-x, 则 g′(x )= , 所以当 -10; 当 x>0 时 ,g′(x )<0, 所以 g(x) max =g(0)=0. 所以 f(x )<0, 排除 A,C. 又由 f(x ) 的定义域为 {x|x >-1 且 x≠0}, 可排除 D. 2. 选 A. 若 f(x ) 具有性质 M, 则 [e x f(x)]′=e x [f(x)+ f′(x )]>0 在 f(x ) 的定义域上恒成立 , 即 f(x)+f′(x )>0 在 f(x ) 的定义域上恒成立 . 对于选项 A,f(x)+f′(x )=2 -x -2 -x ln 2=2 -x (1-ln 2)>0, 符合题意 . 经验证 , 选项 B,C,D 均不符合题意 . 3. 曲线 y=|3 x -1| 与直线 y=k 的图象如图所示 , 由图象可知 , 如果 y=|3 x -1| 与直线 y=k 有两个公共点 , 则实数 k 应满足 00,b>0,c<0 B.a <0,b>0,c>0 C.a <0,b>0,c<0 D.a <0,b<0,c<0 (2) 已知函数 f(x)=a x +b(a >0,a≠1) 的定义域和值域都是 [-1,0], 则 a+b =________.  【解析 】 (1) 选 C. 由题图可知 , ① 当 x=0 时 ,y= >0, 所以 b>0; ② 当 y=0 时 , 即 ax+b =0. 又根据选项知 a≠0, 所以 x=- >0, 所以 a<0; ③ 根据函数定义域可得 c<0. 综上选 C. (2)① 当 a>1 时 ,f(x ) 在 [-1,0] 上单调递增 , 则 无解 . ② 当 00, f(3)=log 2 3- >1- = >0, 即 f(1) · f(2)<0, (2) 选 B. 令 f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x =2sin x(1-cos x)=0, 则 sin x=0 或 cos x=1, 又 x∈[0,2π], 所以 x=0,π,2π, 共三个零点 . 【拓展提升 】 判断函数零点个数的方法 (1) 直接法 : 解方程 f(x )=0, 方程有几个解 , 函数 f(x ) 就有几个零点 . (2) 图象法 : 画出函数 f(x ) 的图象 , 函数 f(x ) 的图象与 x 轴的交点个数即为函数 f(x ) 的零点个数 . (3) 将函数 f(x ) 拆成两个常见函数 h(x ) 和 g(x ) 的差 , 从而 f(x)=0⇔h(x)-g(x)=0⇔h(x)=g(x ), 则函数 f(x ) 的零点个数即为函数 y=h(x ) 与函数 y=g(x ) 的图象的交点个数 . (4) 二次函数的零点问题 , 通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断 . 角度 2 　根据函数的零点求参数的取值或范围 【例 2 】 (1) 已知函数 f(x)=ln +x 3 , 若函数 y=f(x ) +f(k-x 2 ) 有两个零点 , 则实数 k 的取值范围是 ( 　　 ) (2) 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件 :①P,Q 都在函 数 y=f(x ) 的图象上 ;②P,Q 关于原点对称 , 则称 (P,Q) 是 函数 y=f(x ) 的一个“伙伴点组” ( 点组 (P,Q) 与 (Q,P) 看 作同一个“伙伴点组” ). 已知函数 f(x )= 有两个“伙伴点组” , 则实数 k 的取 值范围是 ( 　　 ) A.(-∞,0) B.(0,1) C. D.(0,+∞) 【题型建模 】 (1) 建立不等式组求参数范围 . (2) 数形结合法求解 . 【解析 】 (1) 选 B. 因为 f(x ) 的定义域为 (-1,1), 所以 f(x)=ln +x 3 在区间 (-1,1) 上单调递增 , 且是 奇函数 ; 令 y=f(x)+f(k-x 2 )=0, 则 f(x )=-f(k-x 2 )=f(x 2 -k), 由函数 y=f(x)+f(k-x 2 ) 有两个零点 , 等价于方程 x 2 -x-k=0 在区间 (-1,1) 上有两个根 , 令 g(x )=x 2 -x-k, 则满足 解得 - 0) 的图象 , 使它与直线 y=kx-1(x>0) 的交点个数为 2 即可 . 当直线 y=kx-1 与 y=ln x 的图象相切时 , 设切点为 (m, ln m), 又 y=ln x 的导数为 y′= , 则 km-1=ln m,k = , 解得 m=1,k=1, 可得函数 y=ln x(x >0) 的图象过 (0,-1) 点的切线的斜率 为 1, 结合图象可知 k∈(0,1) 时两函数图象有两个交点 . 【拓展提升 】 已知函数有零点 ( 方程有根 ) 求参数值 ( 取值范围 ) 常用的方法 (1) 直接法 : 直接求解方程得到方程的根 , 再通过解不等式确定参数范围 . (2) 数形结合法 : 先对解析式变形 , 在同一平面直角坐标系中 , 画出函数的图象 , 然后数形结合求解 . (3) 分离参数法 : 先将参数分离 , 转化成求函数的值域问题加以解决 . 【变式训练 】 (1) 函数 f(x)=ln x+x - , 则函数的零点所在区间 是 ( 　　 ) A. B. C. D.(1,2) (2)(2019 · 浙江高考 ) 已知 a,b∈R , 函数 f(x )= 若函数 y=f(x)-ax-b 恰有三 个零点 , 则 ( 　　 ) A.a<-1,b<0 B.a <-1,b>0 C.a>-1,b>0 D.a >-1,b<0 【解析 】 (1) 选 C. 函数 f(x)=ln x+x - 的图象在 (0, +∞) 上连续递增 , 且 f(1)=ln 1+1- = >0, 故 f(x ) 的零点所在区间为 (2) 选 D.y=f(x)-ax-b = 求导 :y′= ① 当 a<-1 时 ,y′≥0(y′| x=0 =0) 所以 y=f(x)-ax-b 在 R 上是增函数 , 不会多于一个零点 , 故 A,B 两选项排除 . ② 当 a>-1 时 ,y=f(x)-ax-b 在 (0,a+1] 上 y′<0, 是减函数 , 在 (a+1,+∞) 上 y′>0, 是增函数 . 若 b>0,y=f(x)-ax-b 与 y 轴交点 (0,-b) 在 y 轴的负半轴上 , 其图象特征是 : 在 y 轴左侧为射线 , 起点 (0,-b), 在 y 轴右侧从 (0,-b) 开始 , 先减后增 , 从而至多出现两个零点 , 故 C 选项排除 . 考向三　函数的实际应用 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 某棵果树前 n 年的总产量 S n 与 n 之间的关系如图所示 . 从目前记录的结果看 , 前 m 年的年平均产量最高 ,m 的值为 ( 　　 ) A.5 B.7 C.9 D.11 2. 某地 2015 年年底人口为 500 万 , 人均住房面积为 6 m 2 , 如果该城市人口平均每年增长率为 1%, 为使 2025 年年底该城市人均住房面积增加到 7 m 2 , 平均每年新增住房面积至少为 (1.01 10 ≈1.104 6) ( 　　 ) A.90 万 m 2 B.87 万 m 2 C.85 万 m 2 D.80 万 m 2 【题型建模 】 1. 想到将实际问题转化成直线斜率问题求解 . 2. 想到建立指数函数模型进行求解 . 【解析 】 1. 选 C. 前 m 年的平均产量为 , 由各选项知 即求 的最大值 , 问题可转化为求图中 4 个点 A(5,S 5 ),B(7,S 7 ),C(9,S 9 ),D(11,S 11 ) 与原点连线的斜 率的最大值 . 由图可知 k OC = 最大 , 即前 9 年的年平均 产量最高 . 2. 选 B. 由题意得 ≈86.61( 万 m 2 )≈87( 万 m 2 ). 【拓展提升 】 　解决函数实际应用题的两个关键点 (1) 认真读题 , 缜密审题 , 准确理解题意 , 明确问题的实际背景 , 然后进行科学地抽象概括 , 将实际问题归纳为相应的数学问题 . (2) 要合理选取变量 , 设定变量之后 , 就要寻找它们之间的内在联系 , 选用恰当的代数式表示问题中的关系 , 建立相应的函数模型 , 最终求解数学模型使实际问题获解 . 【变式训练 】 (1)(2019 · 北京高考 ) 在天文学中 , 天体的明暗程度可 以用星等或亮度来描述 . 两颗星的星等与亮度满足 m 2 - m 1 = , 其中星等为 m k 的星的亮度为 E k (k =1,2). 已知 太阳的星等是 -26.7, 天狼星的星等是 -1.45, 则太阳与 天狼星的亮度的比值为 ( 　　 ) A.10 10.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10 -10.1 (2) 一个容器装有细沙 a cm 3 , 细沙从容器底下一个细微 的小孔慢慢地匀速漏出 ,t min 后剩余的细沙量为 y= ae -b t (cm 3 ), 经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子 , 则再经过 ________min, 容器中的沙子只有开始时的八 分之一 .  【解析 】 (1) 选 A. 令 m 1 =-26.7,m 2 =-1.45, 则 m 2 -m 1 =-1.45-(-26.7)=25.25= , lg =10.1, =10 10.1 . (2) 依题意有 a · e -b×8 = a, 所以 b= , 所以 y=a · . 若容器中只有开始时的八分之一 , 则有 a · = a. 解得 t=24, 所以再经过的时间为 24-8=16(min). 答案 : 16