高中数学：2_2《等差数列》测试（新人教A版必修5）

高中数学：2_2《等差数列》测试（新人教A版必修5）

基础过关 第2课时 等差数列 ‎1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）．‎ ‎2．等差数列的通项公式：‎ ‎⑴ an＝a1＋ ×d ‎⑵ an＝am＋ ×d ‎3．等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝ ＝ ．‎ ‎4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．‎ ‎5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：‎ ‎⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)‎ ‎⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn ‎ ‎(a, b∈R)‎ ‎6．等差数列{an}的两个重要性质：‎ ‎⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．‎ ‎⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．‎ 典型例题 例1. 在等差数列{an}中，‎ ‎(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；‎ ‎(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；‎ ‎(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．‎ 解：(1)方法一：‎ ‎∴a60＝a1＋59d＝130． ‎ 方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．‎ ‎(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，‎ ‎∴ ‎ ‎∴Sn＝2n2－17n ‎∴S28＝2×282－17×28＝1092‎ ‎(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，‎ 又S6＝‎ ‎∴15＝即a1＝－5‎ 而d＝‎ ‎∴a8＝a6＋2 d＝16‎ S8＝‎ 变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．‎ ‎ 解：∵d＝a6－a5＝－5，‎ ‎∴a4＋a5＋…＋a10＝‎ 例2. 已知数列{an}满足a1＝‎2a，an＝‎2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．‎ ‎⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎⑵ 求数列{an}的通项公式．‎ 解：∵ ⑴ an＝‎2a－ (n≥2)‎ ‎∴ bn＝ (n≥2)‎ ‎∴ bn－bn－1＝ (n≥2)‎ ‎∴ 数列{bn}是公差为的等差数列．‎ ‎⑵ ∵ b1＝＝‎ 故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝‎ 即：＝ 得：an＝a(1＋)‎ 变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且， ‎ ‎（1）判断是何种数列，并给出证明；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和 解：1），即 为等差数列。‎ ‎（2）。‎ 例3. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．‎ 解：设{an}首项为a1公差为d，由 ‎∴ Sn＝ ‎ ‎∴ ∴Tn＝‎ 变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：B 解析：。‎ 例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：‎ ‎⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？‎ ‎⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？‎ ‎⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．‎ 问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？‎ 解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：‎ S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ‎ ＝500(n＋1)n S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ‎ ＝300(2n＋1)n 由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n 解得：n>2‎ ‎∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ‎ ‎⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000‎ S2＝300×10×21＝63000‎ ‎∴ S2－S1＝8000‎ ‎∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ‎ ‎⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．‎ 则＝an(2n＋1) n∈N*‎ ‎∴ a＞＝250＋≥250＋‎ ‎＝‎ 变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,‎ 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,‎ ‎(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?‎ ‎(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ 解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,‎ ‎ 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,‎ ‎ 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.‎ 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.‎ ‎(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,‎ 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.‎ ‎ 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ 归纳小结 ‎1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．‎ ‎2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．‎ ‎3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．‎ ‎4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．‎