2020届二轮复习基本量与方程学案（全国通用）

2020届二轮复习基本量与方程学案（全国通用）

2020 届二轮复习 基本量与方程 学案（全国通用） 基本量与方程 基本量与方程主要包括直线、圆、圆锥曲线的基本量与方程以及椭圆与双曲线的第二定义．  直线的基本量与方程 直线的倾斜角：当直线 与 轴相交时，我们取 轴作为基准， 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角．直线倾斜角 的取值范围为 ． 直线的斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率． 直线的方程包括：点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．  圆的基本量与方程 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长 是圆的半径． 圆的标准方程：以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 叫做圆的标准方程.圆的一般方程：形如 的方程叫做圆的一般方程，其中 为常数，且满足 .  椭圆的基本量与方程 椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆 的焦距． 椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴上的椭圆的标准方程： 其中 ，焦点坐标为 .（2）焦点在 轴上的椭圆的标准方程: 其中 ，焦点坐标为 .  双曲线的基本量与方程 双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值 等于常数(小于 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两 焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 双曲线的标准方程： （1）焦点在 轴上的双曲线的标准方程： 其中 ，焦点坐标为 . （2）焦点在 轴上的双曲线的标准方程： 其中 ，焦点坐标为 .  抛物线的基本量与方程 抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 ( )距离相等的点的轨迹是抛物线．点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线． 抛物线的标准方程： （1）焦点在 轴正半轴上的标准方程: 焦点坐标为 ，准线方程为 .（2）焦点在 轴负半轴上的标准方程: 焦点坐标为 ，准线方程为 .（3）焦点在 轴正半轴上的标准方程: 焦点坐标为 ，准线方程为 .（4）焦点在 轴负半轴上的标准方程: 焦点坐标为 ，准线方程为 .  椭圆与双曲线的第二定义 椭圆和双曲线除了有定义外，还具有第二定义．椭圆与双曲线 的第二定义与焦半径公式有密切的联系．第二定义明确地体现了准线和离心率之间的联系，是 研究焦点弦、极坐标方程等问题的重要依据. 直线的基本量与方程  直线的倾斜角 当直线 与 轴相交时，我们取 轴作为基准， 轴正向与直线 向上方向之间所成的 角 叫做直线 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角 的取值范围为 ．  直线斜率 ​ 直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率（slope）．斜率常用小写字母 表示，即 倾斜角是 的直线没有斜率．我们得到经过两点 ， 的直线斜率 公式  直线的方程 ​ （1）点斜式：直线 经过点 ，且斜率为 ，设点 是直线 上不同于 点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得 ，即 我们把个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form），当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．（2）斜截式：如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 ，代入直线的点斜式方程得 ，即 我们把直线 与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线 在 轴上的截距（intercept）．此 方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form）．当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．​ （3）两点式： 这是经过两点 ， （其中 ， ）的直线方程，我们把它叫做直线的 两点式方程，简称两点式（two-point form）．（4）截距式： ， 分别是直线在 轴， 轴上的截距，我们把此方程称之为直线的截距式方程，简称截距 式．（5）一般式：我们把关于 ， 的二元一次方程 （其中 ， 不同时为 ）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）． 圆的基本量与方程  圆的标准方程 在直角坐标系中，圆心 的位置用坐标 表示，半径 的大小等于圆上任意点 与圆心 的距离，圆心为 半径为 的圆就是集合 由两点间的距离公式，点 的坐标适合的条件可以表示为 两边同时平方，得 若点 在圆上，由上述可知，点 的坐标适合方程 ；反之，若点 的坐标适合 方程 ，这说明点 与圆心 的距离为 ，即点 在圆心为 半径为 的圆上．我们把方程 称为以 为圆心，以 为半径的圆的标准方程（standard equation of circle）．  ​ ​ 圆的一般方程 将方程 左边配方，并把常数项移到右边，得 1. ​ 当 时，比较方程 和圆的标准方程，可以看出 表示以 为圆心， 为半径长的圆； 2. 当 时，方程 只有实数解 ， ，它表示一个点 ； 3. 当 时，方程 没有实数解，它不表示任何图形．​ 因此，当 时，方程 表示一个圆，此方程叫做圆的一般式方程（general equation of circle）． 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点 与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系：​ 1. ​ 曲线上点的坐标都是这个方程的解； 2. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．​ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲 线叫做方程的曲线（curve）． 椭圆的基本量与方程  ​ 椭圆及椭圆的标准方程 ​ 平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆 （ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 以经过椭圆两焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系 ．设 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 （ ），那么焦点 ， 的坐标分 别为 ， ．又设 与 ， 的距离的和等于 ． 因为 由椭圆的定义得 所以 整理得 由椭圆的定义可知， ，即 ，所以， ．当点 的横坐标为 时，即点在 轴上，此时 ，令 ，那么 式就是 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ，以 方程 的解 为坐标的点到椭圆的两焦点 ， 的距离之和为 ，即以方 程 的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程 ​ 是椭圆的方程，我 们把它叫做椭圆的标准方程．​ 它的焦点分别是 ， ，这里 ． 若椭圆的焦点在 轴上，此时椭圆的方程是 ，这个方程也是椭圆的标准 方程．  ​ 椭圆的几何性质 我们利用椭圆的标准方程 来研究椭圆的几何性质．​ 1. ​ 范围：椭圆上的点横坐标的范围是 ，纵坐标的取值范围是 ． 2. 对称性：椭圆关于 轴、 轴都对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3. 顶点：椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．线段 ， 分 别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长． 4. 离心率：椭圆的焦距和长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 ，离心率的取 值范围为 ． 双曲线的基本量与方程  双曲线及双曲线的标准方程 把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零） 的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距． 以过焦点 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标 系． 设 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ，那么焦点 ， 的坐 标分别是 ， ．又设点 与 ， 的距离的差的绝对值等于常数 ．因为 所以 化简得 因为 ，所以 ，令 ​ ，则方程化为 因为双曲线上任意一点的坐标都满足方程 ，以方程 的解 为坐标的点到双曲线的两 个焦点 ， 的距离之差的绝对值​ 为 ，即以方程 的解为坐标的点都在双曲线上，故 由曲线与方程的关系可知，方程​ 是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程．它 表示焦点在 轴上，焦点分别是 ， 的双曲线，这里 ．​ 若焦点在 轴上，则双曲线的焦点坐标分别是 ， ，此时双曲线的方程 是 ，这个方程也是双曲线的标准方程．  ​ 双曲线的几何性质 我们利用双曲线的标准方程 来研究双曲线的几何性质． 1. ​ 范围：双曲线在不等式 与 所表示的区域内． 2. 对称性：双曲线关于 轴、 轴和原点都是对称的．坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 3. 顶点：双曲线与 轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，即 ， ．令 ，得 ，这个方程没有实数根，说明双曲线与 轴没有交点，但是我们也 把 ， 画在 轴上．线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 ， 叫做双曲线的实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 ， 叫 做双曲线的虚半轴长． 4. 渐近线：双曲线 的各支向外延伸时，它与 这两条直线逐渐接近，我们 把这两条直线叫做双曲线的渐近线．也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相 交． 特别地，若双曲线的实轴长和虚轴长相等，此时渐近线方程为 ，它们相互垂直，并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，这样的双曲线叫做等轴双曲线． 5. 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为 ，所以双曲 线的离心率 ． 由等式 得 可以看出 越大， 也越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从 扁狭逐渐变得开阔，即张口越来越大．当离心率 越小时， 也越小，渐近线的斜率的绝对值 越小，双曲线的张口也就越小，形状就越扁． 椭圆和双曲线的第二定义  ​ 圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上）的距离的比等于常数 的点的 轨迹． 当 时，它表示椭圆； 当 时，它表示双曲线； 当 时，它表示抛物线． 其中， 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准 线． 以上定义又称为椭圆和双曲线的第二定义． 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对称中心在原点，焦点在 轴上 的椭圆和双曲线，与焦点 ， 对应的准线方程分别为 ， ． 抛物线的基本量与方程  ​ 抛物线的定义 平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线 （parabola）．点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线． 取经过点 且垂直于直线 的直线为 轴，垂足为 ，并使原点与线段 的中点重合， 建立直角坐标系 ． 设 ，那么焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ．设点 是 抛物线上任意一点，点 到 的距离为 ．由抛物线的定义得 ， ，所以 ．将式子化简得 （ ） ． 抛物线上任意一点的坐标都满足方程 ；以方程 的解 ​ ​ 为坐标的点到抛物线 的焦点 ​ 的距离与到准线 的距离相等，即以方程​ 的解为坐标的点都 在抛物线上，这样，我们把方程 ​ 叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点 坐标是 ，准线方程是 ． 选择不同的坐标系，就得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有 种形式，如下： ①​ ​ 标准方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ． ②标准方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ． ③标准方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ． ④标准方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ．  抛物线的几何意义 若抛物线的标准方程为 （ ），则它的几何性质如下： ①范围 因为 ，由方程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也增大， 抛物线向右上方和右下方无限延伸，开口向右． ②对称性 以 代替 ，方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对 称轴叫做抛物线的轴． ③顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当 时， ，因此这条抛物 线的顶点就是坐标原点． ④开口大小 在 （ ）中，对于 一个确定的值， 越大，则 也越大，就是对应的点离 对称轴越远，也可以说开口越大，反之， 越小，开口也越小． 精选例题 基本量与方程 1. 在直角坐标系中，直线 的倾斜角 ． 【答案】 2. 设 是椭圆 上的点，若 、 是椭圆的两个焦点，则 ． 【答案】 3. 过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 ， 是另一个焦点，若 ，则双 曲线的离心率等于 ． 【答案】 4. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 在双曲线的右支上，且 ， 则此双曲线的离心率的最大值为 ． 【答案】 【分析】 因为 ， 所以 ． 而 ，故 ，即 ，因此 ， 故 ． 5. 方程 表示的曲线是 ． 【答案】 以点 为圆心， 为半径的半圆，位于直线 的右侧 6. 已知双曲线 的两焦点为 ， ，且 为双曲线上一点，又 ，求证： 的面积 ． 【解】 设 ，则 ． 设 ，则 ． 在 中，由余弦定理知 ， 所以 ． 因此 ． 7. 设曲线 的方程是 ，将 沿 轴， 轴正方向分别平移 个单位后得到 曲线 ． (1)写出曲线 的方程； 【解】 曲线 的方程为 ． (2)证明曲线 与 关于点 对称； 【解】 在曲线 上任意取一点 ，设 是点 关于点 的对称点， 则有 ， ， 所以 ， ， 代入曲线 的方程，得 ， 的方程： ，即 ， 可知点 是曲线 上， 这说明曲线 上的点关于点 对称后都在曲线 上． 同理可证，曲线 上的点关于点 对称后都在曲线 上． 因此，曲线 与 关于点 对称． (3)如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： ． 【解】 因为曲线 与 有且仅有一个公共点， 所以方程组 有且仅有一个解， 消去 ，整理得 ， 因为 ，这个关于 的一元二次方程有且仅有一个根（即两个相等的根）， 所以 ，即得 ， 所以 ． 8. 已知椭圆 ．求椭圆 的离心率． 【解】 由题意得，椭圆 的标准方程为 ． 所以 ， ，从而 ， 因此 ， ． 故椭圆 的离心率 ． 9. 抛物线 上有三点 ， ， ，它们到焦点的距离依次成 等差数列，且 ，求 ， ， 的值． 【解】 据题意，得 ， 解得 ． 由 ，解得 ， 则抛物线为 ． 又因 ， 在抛物线上， 所以 ， ， 从而 ， ． 10. 已知曲线 上第一象限内的点 ，直线 ，求 到 距离的最小 值，并求此时 的坐标． 【解】 设 ，如图所示， 因为 ， 所以 到 距离 ， 当且仅当 ，即 时， 到 距离最小，最小值为 ． 直线的基本量与方程 1. 平面直角坐标系中， ， ， 为坐标原点，则 的角平分线所在直线方程 是 ． 【答案】 【分析】 连接 ，交 的角平分线于点 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，则直线 的方程为 ． 2. 已知三点 ， ， 在同一条直线上，则实数 的值为 ． 【答案】 或 【分析】 因为 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，所以 或 ． 3. 已知直线 上存在点 满足与两点 ， 连线的斜率 与 之积为 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 4. 纵截距为 ，与两坐标轴围成三角形的面积为 的直线的一般式方程为 ． 【答案】 和 5. 若直线 经过第一、三、四象限，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 因为直线 经过第一、三、四象限， 所以直线 经过第一、三、四象限， 因为直线过定点 ， 所以结合图象可得 ． (1)经过两点 ， 的直线倾斜角的正切值为 ，求 的值； 【解】 因为 ， ， 所以 ． 又直线 的倾斜角的正切值为 ，所以 ． 即 ，解得 ． (2)求证： ， ， 三点共线． 【解】 因为 ， ， ， 所以 ， ． 所以 ． 因为直线 与直线 的倾斜角相同且过同一点 ， 所以直线 与 为同一直线． 故 ， ， 三点共线． 7. 若直线 与连接点 ，和 点的线段有公共点，求实数 的取值 范围． 【解】 从几何的特征来看，点 ，和点 分别在直线 所划分的平面区域的两 侧或落在直线 上． 因此，相对应的代数化就是将点 ，和点 的坐标代入到 的左 侧式子，得到的两个数值的乘积小于等于零， 即 ， 由此解得 或 ． 故 的取值范围是 ． 8. 已知直线 过点 ，且与以 ， 为端点的线段相交，求直线 的斜率 的取值范围． 【解】 如图， ， ，当直线 从直线 转到与 轴平行 的直线 位置时（转动时以点 为定点），直线 的斜率从 开始趋向于正无穷，即 ； 当直线 再由直线 转到直线 位置时（转动时以点 为定点），直线 的斜率从负无 穷开始趋向于 ，并在 位置达到 ，即 ． 故直线 的斜率 的取值范围为 ． 9. 过点 作直线 与 轴， 轴正半轴分别交于 ， 两点，求 面积的最小值及 此时直线 的方程． 【解】 解法一：设直线 的方程为 ， 分别求出 ， 两点坐标 ， ． 依题意， ， 是 与 轴， 轴正半轴的交点， 所以 ． 当且仅当 ， 即 时， 面积的最小值为 ． 此时直线 的方程为 ． 解法二：设直线 的方程为 ， 依题意， ， ， 所以 ， 当且仅当 ． 即 ， 时， 的面积 有最小值 ， 此时直线 的方程为 ． 10. 已知三角形 的三个顶点是 ， ， ． (1)求 边上的高所在直线的方程； 【解】 边所在直线的斜率为 ， 则 边上的高所在直线的斜率为 ． 由直线的点斜式方程可知直线 的方程为： 化简得： ． (2)求 边上的中线所在直线的方程． 【解】 设 的中点 ， 由中点坐标公式得 即点 ． 由直线的两点式方程可知直线 的方程为： ， 化简得： ． 圆的基本量与方程 1. 若圆 的圆心位于第三象限，那么直线 一定不经过 第 象限． 【答案】 四 【分析】 圆 的圆心为 ，则 ， ． 直线 ， ， ，直线不经过第四象限． 2. 圆 的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】 圆 ，即 ，故该圆的圆心为 ． 3. 已知圆的方程为 ．若该圆经过原点，则 ；若该圆 与 轴相切，则 ． 【答案】 ； 4. 圆的方程的一般形式是 ，其中圆心 为 ，半径为 ． 【答案】 ； 5. 圆心是 ，半径长为 的圆的方程为 ． 【答案】 6. 求过直线 与 的交点，且圆心为 的圆的方程． 【解】 由 ，求得 ，故两条直线的交点为 ， 故要求的圆的圆心为 ，半径为 ， 故要求的圆的方程为 ． 7. 求圆 关于直线 对称的圆的方程． 【解】 将已知圆的方程配方，得 ， 所以圆心的坐标为 ，半径 ． 设圆心 关于直线 的对称点为 ， 则 解得 所以所求圆的方程为 ，即 ． 8. A 已知 顶点的坐标分别为 ， ， ，求 外接圆的方程． 【解】 方法一： 设 外接圆的方程为 ． 由题意得 解得 所以 外接圆的方程为 ． 方法二： 根据圆的性质，可知 外接圆的圆心一定在三边垂直平分线的交点处， 易得 的垂直平分线的方程为 的垂直平分线的方程为 联立 ，得 解得 则所求圆的圆心为 ，半径 ， 所以所求圆的方程为 ． 9. 在平面直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切． (1)求圆 的方程； 【解】 依题设，圆 的半径 等于 到直线 的距离， 即 ， 所以圆 的方程为 ． (2)圆 与 轴相交于 ， 两点，圆内的动点 使 ， ， 成等比数列，求 的取值范围． 【解】 在 中，令 ，得 ，则 ， ． 设 ，由 ， ， 成等比数列， 得 ， 化简，得 ． 由点 在圆 内，得 由此得 ． 所以 的取值范围为 ． 10. 已知不同的两点 ， ，求证：以 为直径的圆的方程为 ． 【解】 设圆上任一点为 ，则 ， ． 因为 为直径，所以 ， 即 ． 曲线与方程的概念 1. 在曲线 上，则 的值为 ． 【答案】 或 2. 已知 ，点 在曲线 上，则 的值为 ． 【答案】 或 3. 方程 所表示的曲线为 ． 【答案】 直线 和射线 4. 曲线 经过 和坐标原点，则 ， ． 【答案】 ； 5. 方程 表示的曲线是 ． 【答案】 两条相交直线 和 6. 方程 表示什么曲线？它与两坐标轴有交点吗？如果有，求出交 点，如果没有，请说明理由． 【解】 方程左边配方可得 ，两非负数的和为零，则它们应同时为 零，故曲线为点 ． 显然，以方程的解为坐标的点就是 ，而点 也是这个方程的解． 所以这个方程表示的曲线是点 ，这个点不在坐标轴上， 所以曲线与坐标轴没有交点． 7. 判断 ， ， 是否在方程 所表示的曲线 上． 【解】 把点 的坐标代入方程 ， ， ，且点 的横 坐标满足 ，所以点 在方程 表示的曲线上． 把 代入 中， ， ， ，所以点 不在方程表示的曲线上． 点 中横坐标 不满足方程中 的条件，它不在曲线 上． 8. 已知 ，试讨论当 的值变化时，方程 所表示曲线的形状． 【解】 ① 当 时，方程表示两条平行直线 或 ； ② 当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆； ③ 当 时，方程表示圆； ④ 当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆； ⑤当 时，方程表示焦点在 轴上的双曲线． 9. 判断点 ， 是否在圆 上． 【解】 因为 ，即点 的坐标是圆的方程 的 解，所以该点在这个圆上． 因为 ，即点 的坐标不是圆的方程 的解，所以该点不在这个 圆上． 10. 设 ，曲线 和 有 个不同的交点． (1)求 的取值范围； 【解】 两曲线的交点坐标 满足方程组 即 有 个不同交点等价于 且 ，即 又因为 ，所以得 的取值范围为 ． (2)证明这 个交点共圆，并求圆半径的取值范围． 【解】 由（1）的推理知 个交点的坐标 满足方程 ， 即得 个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 ． 因为 在 上是减函数， 所以由 ， ，知 的取值范围是 ． 椭圆的基本量与方程 1. 点 是椭圆 上一点， ， 是其焦点，且 ，则 的面积 为 ． 【答案】 2. 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个 焦点，恰好得到一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【分析】 如图所示， 设 ， 是两个焦点， 是圆与椭圆的一个交点， 则由正六边形的性质知， 是一个直角三角形，且 ， 所以 ， ． 根据椭圆定义知 ， 即 ， 所以 ． 3. 一椭圆的短半轴长是 ，离心率是 ，焦点为 ， ，弦 过 ，则 的周长 为 ． 【答案】 4. 椭圆的两焦点为 ， ，点 在椭圆上，若 的面积的最大值为 ， 则椭圆的方程为 ． 【答案】 5. 在平面直角坐标系 中，过点 的椭圆 的左焦点为 ， 短轴端点分别为 ， ， ，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】 由题知，点 ， ， ，所以 ， ． 因为 ，所以 因为椭圆 过点 ，把点 代入椭圆方程得 由 解得 ， ，所以椭圆的方程为 ． 6. 已知直线 经过椭圆 的一个顶点 和一个焦点 ．求椭圆的离心率． 【解】 依题意知 ， ， 所以 ， ， 故 ， 所以椭圆的离心率 ． 7. 椭圆 的一个焦点 ，右焦点到直线 的距离为 ． (1)求椭圆 的方程； 【解】 由题意得 ， 得 ， ，所以所求椭圆方程为 ． (2)若 为直线 上一点， 为椭圆 的左顶点，连接 交椭圆于点 ，求 的取值范 围； 【解】 设 点横坐标为 ，则 ， 因为 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 ． (3)设椭圆 另一个焦点为 ，在椭圆上是否存在一点 ，使得 ， ， 成等差数 列？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【解】 ， ， ， ， 成等差数列， 即 ， 可化为： ， 所以 ． 结合 ，解得 ． 由对称性知 只能是短轴端点 ， ， 经验证此时满足 ． 故存在 或 满足题意． 8. 已知椭圆的两个焦点是 ， ，离心率 ． (1)求椭圆的方程； 【解】 因为 ， ， 所以 ， ， 所以椭圆的方程为 ． (2)若点 在椭圆上，且 ，求 的值． 【解】 因为 所以 ． 9. 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 倍，且过点 ； 【解】 设椭圆的标准方程为 或 ． 由已知可得 又椭圆过点 ， 所以有 或 由 ，得 或 ． 故所求椭圆的标准方程为 或 ． (2)在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为 ． 【解】 设椭圆的标准方程为 ． 由已知得 ， 所以 ． 故所求椭圆的标准方程为 ． 10. 如图，已知 是椭圆 的右焦点，圆 与 轴 交于 ， 两点，其中 是椭圆 的左焦点． (1)求椭圆 的离心率； 【解】 因为圆 过椭圆 的左焦点，把 代入圆 的方程， 得 ，所以椭圆 的离心率 ． (2)设圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 是点 关于 轴的对称点，试判断直线 与 圆 的位置关系； 【解】 在方程 中，令 得 ，可知点 为椭圆的上 顶点． 由（1）知 ，得 ， ，所以 ． 在圆 的方程中，令 ，可得点 的坐标为 ，则点 ． 于是可得直线 的斜率 ，而直线 的斜率 ． 因为 ，所以直线 与圆 相切． (3)设直线 与圆 交于另一点 ，若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程． 【解】 因为 是 的中线，所以 ， 所以 ，从而得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ． 双曲线的基本量与方程 1. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 的左支上一点，点 ，则 周 长的最小值为 ． 【答案】 2. 已知点 在双曲线 的渐近线上，过点 且方向为 的光线经过直线 反射后通过双曲线的左焦点，则此双曲线的实轴长 为 ． 【答案】 3. 若圆 过双曲线 的右焦点 ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限 的交点分别为 ， ，当四边形 为菱形时，双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】 依题意得 ．又因为四边形 OAFB 为菱形，所以 ，所以 ，所以 ． 4. 若 ，则“ ”是方程“ ”表示双曲线的 条件． 【答案】 充分不必要 5. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，离心率为 ，则双曲线的方程 为 ． 【答案】 【分析】 依题意设双曲线的方程为 ，则 ，得 ． 又 得 ，所以 ． 所以双曲线的方程为 ． 6. 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)双曲线上一点 到两焦点 ， 距离差的绝对值等于 ； 【解】 因为双曲线的焦点在 轴上，故设其标准方程为 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以双曲线的标准方程为 ． (2)双曲线经过两点 ， ． 【解】 因为题目为明确双曲线的焦点在哪个坐标轴上，故设其标准方程为 ，由于点 ， 在双曲线上， 所以 又 解之得 ， ， 所以双曲线的标准方程为 ． 7. 设 ， 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，若 ， 且 ，求此双曲线的离心率． 【解】 由题意可知 ， ． 因为 ， 所以 为直角三角形． 所以 ， 即 ． 即 ． 又因为 ， 所以 ． 解得 ． 而 ，所以 ． 8. 已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上． (1)求双曲线方程． 【解】 因为双曲线离心率 ， 设所求双曲线方程为 ， 由点 在双曲线上， 知 ， 所以双曲线方程为 ． (2)求证：点 在以 ， 为直径的圆上． 【解】 若点 在双曲线上，则 ， 所以 ． 由双曲线 知 ， ， 所以 ， 所以 ， 故点 在以 为直径的圆上． (3)求 的面积． 【解】 ． 9. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)过点 ， ，且焦点在坐标轴上； 【解】 依题意，可设所求双曲线的方程为 ， 则有 解得 故所求双曲线的方程为 ． (2)与双曲线 有相同焦点，且经过点 ． 【解】 依题意，可设所求双曲线的方程为 ， 将点 代入，解得 ． 故所求双曲线的方程为 ． 10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点 ， 且焦点在坐标轴上； 【解】 设双曲线的方程为 ． 因为 ， 两点在双曲线上， 所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 ． (2) ，经过点 ，焦点在 轴上； 【解】 因为焦点在 轴上， ， 所以设所求双曲线的方程为 （其中 ）． 因为双曲线经过点 ， 所以 ， 所以 或 （舍去）， 所以所求双曲线的标准方程是 ． (3)与双曲线 有相同的焦点，且经过点 ． 【解】 根据题意设所求双曲线的方程为 （ ）． 因为双曲线过点 ， 所以 ， 所以 或 （舍去）． 所以所求双曲线的标准方程为 ． 椭圆和双曲线的第二定义 1. 双曲线 上的点 到点 的距离为 ，则点 到左准线的距离为 ． 【答案】 2. 若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 ，则双曲线的离心率 是 ． 【答案】 3. 双曲线 的准线方程为 ． 【答案】 4. 已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 倍．则动点 的轨迹 的方程是 ． 【答案】 【分析】 点 到直线 的距离，是到点 的距离的 倍，则 ． 5. 若双曲线 右支上一点 到左焦点的距离是到右准线距离的 倍，则该双 曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 记双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，设点 到右准线的 距离为 ，则由题意得点 到左焦点的距离为 ， 由于 ， 所以 ，所以 ，所以 ． 又因为 ， 所以 解得此双曲线的离心率 的取值范围是 ． 6. 已知动点 到定直线 的距离和它到定点 的距离的比为 ，则点 的轨迹是什么曲线？ 【解】 当 不在直线 上时，点 的轨迹是椭圆；当 在直线 上时，点 的轨迹不存 在． 7. 已知 是椭圆 上的动点，椭圆内有一定点 ， 是椭圆的右焦点，试求 的最小值，并求这时点 的坐标． 【解】 如图所示，作 垂直于右准线 ，垂足为 ， 由椭圆第二定义，得 即 所以 易知当点 ， ， 三点共线时， 取最小值 ，这时点 的坐标为 ． 8. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ． (1)求椭圆的右焦点 到对应准线的距离； 【解】 右焦点 ，对应右准线 ．右焦点到对应准线的距离为 ． (2)如果椭圆上第一象限的点 到右准线的距离为 ，求点 到左焦点 的距离． 【解】 椭圆的离心率为 ，根据第二定义 根据第一定义 点 到左焦点 的距离为 ． 9. 如图，椭圆的中心为原点 ，离心率 ，一条准线的方程是 ． (1)求该椭圆的标准方程； 【解】 由 ， ，解得 故椭圆的标准方程为 (2)设动点 满足： ，其中 ， 是椭圆上的点，直线 与 的斜率之积为 ，问：是否存在定点 ，使得 与点 到直线 的距离之 比为定值？若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由． 【解】 设 ， ， ，则由 ，得 即 因为点 ， 在椭圆 上，所以 故 设 ， 分别为直线 ， 的斜率，由题设条件知 因此 ，所以 点 是椭圆 上的点，焦点 ，准线 ，离心率为 根据椭圆的第二定义， 与点 到直线 的距离之比为定值 ． 故存在点 ，满足 与点 到直线 的距离之比为定值． 10. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 ， 在 轴上，长轴 的长为 ，左准线 与 轴的交点为 ， ． (1)求椭圆的方程； 【解】 设椭圆的方程为 ，半焦距为 ，则 由题意，得 解得 ， ， ，故椭圆的方程为 ． (2)若直线 ， 为 上的动点，使 最大的点 记为 ，求点 的坐 标（用 表示）． 【解】 设 ， ． 当 时， ， 当 时， ， 只需求 的最大值即可． 设直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 当且仅当 时， 最大， ∴ ， ． 抛物线的基本量与方程 1. 抛物线方程为 ，则焦点坐标为 ． 【答案】 2. 已知 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为 ． 【答案】 【分析】 因为 ， 所以 ， 所以线段 的中点到 轴的距离为 ． 3. 已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上一点，直线 的斜率为 （ 为 坐标原点），且 到 的距离为 ，则 ． 【答案】 【分析】 设 ，则有 ，即 ， 所以 ，可得 ， 又因为 ， 所以 ． 4. 过直线 和圆 的交点，且对称轴是坐标轴的抛物线方程是 ． 【答案】 或 5. 抛物线 的焦点坐标是 ． 【答案】 6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 米，拱顶距离水面 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系 ，试求拱桥所在抛物线的方程． 【解】 设抛物线方程 ． 由题意可知，抛物线过点 ， 代人抛物线方程，得 ， 解得 ． 所以抛物线方程为 ． (2)若一竹排上有一个 米宽、 米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？ 【解】 把 代人，求得 ， 而 ， 所以木排能安全通过此桥． 7. 如图，探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆 的直径为 ，灯深为 ，求抛物线的标准方程和焦点位置． 【解】 在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反射镜的顶点（即抛物线的顶 点）与坐标原点重合， 轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程为 ， 由已知条件可得 点的坐标是 ， 代入方程得 ，即 ． 因此所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为 ． 8. 根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)焦点坐标是 ； 【解】 因为焦点在 轴的负半轴上，并且 ， ， 所以抛物线的标准方程是 ． (2)焦点在直线 上． 【解】 由题意，焦点应是直线 与 轴或 轴的交点，即 或 ． 当焦点为 点时，抛物线的方程是 ， 当焦点为 点时，抛物线的方程是 ． 9. 椭圆 的焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是 的焦点，中心在原点上，离心率 ． (1)求椭圆 的方程； 【解】 设椭圆 的方程为 ． 抛物线 的焦点坐标为 ，由已知 ． 因为 ，得 ． 所以椭圆 的方程为 ． (2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ，若 ， ，求 的值． 【解】 设 ， ， 坐标分别为 ， ， ． 由 ，知 ， 所以 ， ， 代入椭圆 的方程得 ， 整理得 ． 由 ，同理可得 ． 所以 ， 是方程 的两根， 因此 ． 10. 抛物线 上有点 ， 在 轴上的射影是 ， 是 的中点， 与 轴平行且 交抛物线于 ，直线 交 轴于 ，求 的值． 【解】 如图所示， 据方程设 ，则 ， ． 得 ． 设 则 ，即 ， 得 ． 所以 ， ，因此 ． 课后练习 1. 已知点 是椭圆 上一点， 到椭圆右焦点的距离为 ，则点 到椭圆的左准线的 距离为 ． 2. 是 表示椭圆的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、 既不充分也不必要） 3. 焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 的椭圆的方程为 ． 4. 已知 是椭圆 上的动点， ， 是椭圆的两个焦点，则 的取值范围 为 ． 5. 已知直线 的倾斜角 的范围是 ，则直线 的斜率 的范围是 ． 6. 经过点 ，在 轴、 轴上截距相等的直线方程是 ． 7. 已知无论 k 取任何实数，直线 必经过一定点，则该定 点坐标为 ． 8. 直线 过点 ，则该直线的倾斜角为 ． 9. 方程 表示圆，则 的取值范围是 ． 10. 圆 的圆心到直线 的距离是 ． 11. 圆心为点 ，且过点 的圆的方程为 ． 12. 圆 的圆心到直线 的距离为 ． 13. 若实数 ， 满足 ，则曲线 上的点 到原点距离的最大值 为 ，最小值为 ． 14. 直线 与曲线 的交点坐标为 ． 15. 若曲线 ，则当 时，曲线 经过点 ． 16. 关于 所表示曲线的描述： ①该曲线是中心对称图形； ②该曲线是轴对称图形； ③点 可能在该曲线外部； ④该曲线围成的图形的面积小于或等于 ； ⑤该曲线围成的图形的面积一定大于 ． 以上说法正确的是： （只需填上正确命题的题号）． 17. 椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 ， 的连线互相垂直，则 的面积 为 ． 18. 椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，弦 过点 ，若 的内切圆周长为 ， ， 两点的坐标分别为 ， ，则 ． 19. 已知椭圆 ，其弦 的中点为 ，若直线 和 的斜率都存在（ 为坐标原 点），则两条直线的斜率之积为 ． 20. 方程 是焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围 是 ． 21. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线相交于 ， 两点．若 的面积为 ，则双曲线的离心率为 ． 22. 以抛物线 的焦点为焦点，以直线 为渐近线的双曲线标准方程为 ． 23. 设 ，则双曲线方程 的焦点在 轴上，渐近线方程为 ． 24. 设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且 ， 则 ， ． 25. 双曲线 上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点 到左准线的距离 是 ． 26. 设椭圆的离心率为 ，两准线间的距离为 ，则椭圆的长轴长为 ． 27. 已知双曲线 ： 的右顶点、右焦点分别为 、 ，它的左准线与 轴的交点为 ，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率为 ． 28. 若椭圆 上一点到左准线的距离为 ，则该点到右焦点的距离为 ． 29. 若点为抛物线上一点 ，则抛物线 焦点坐标为 ；点 到抛物线的准 线的距离为 ． 30. 若抛物线 的焦点在直线 上，则实数 ；抛物线 的 准线方程为 ． 31. 已知 ，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ． 32. 顶点在原点，焦点在 轴上，且过点 的抛物线方程是 ． 33. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是 和 ，并且经过点 ； (2)经过两点 ， ． 34. 求以相交两圆 与 的公共弦为直径的圆 的方程． 35. 已知 的三个顶点 ， ， ，求： (1) 边上的高 所在直线的方程； (2) 的垂直平分线 所在直线的方程； (3) 边的中线的方程． 36. 双曲线 的两焦点是 ， ，以 为边作等边三角形，若双曲线恰好平分三角 形的另两边，求双曲线的离心率． 37. 如图，已知四边形 是矩形， 是坐标原点， ， ， ， 按逆时针排列， 的坐标 是 ， ． (1)求点 的坐标； (2)求 所在直线的方程． 38. 已知直线 的斜率为 ，且和两坐标轴围成三角形的面积为 ，求 的方程． 39. 经过两点 ， 的直线的斜率为 ，求 的值． 40. 如图所示，已知 中， ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ，求直线 的方程． 41. 若方程 表示圆，求实数 的取值范围，并求出半径最小的 圆的方程． 42. 试证明四点 ， ， ， 在同一个圆周上． 43. 已知平面区域 恰好被面积最小的圆 及其内部所覆 盖．试求圆 的方程． 44. 求与 轴相切，圆心在直线 上，且截直线 所得弦长为 的圆的方 程． 45. 自 引圆 的割线 ，求弦 中点 的轨迹方程． 46. 方程 表示的曲线是什么图形？ 47. 已知平面直角坐标系中点 和圆 ，动点 到圆 的切线长与 的比 等于常数 ，求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 48. 观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系： 49. 已知 ， 分别是 ， 轴正方向的单位向量，设 ， ，且满 足 ．求点 的轨迹 的方程． 50. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在 轴上，且经过两点 和 ； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点 ， ． 51. 在 中， ，如果一个椭圆通过 ， 两点，它的一个焦点为点 ，另 一个焦点在边 上，求这个椭圆的焦距． 52. 已知椭圆的两个焦点为 ， ，过 且与坐标轴不平行的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，如果 的周长等于 ，求这个椭圆的方程． 53. 已知双曲线 过点 ，且点 到双曲线的两条渐近线的距离 之积为 ，求此双曲线方程． 54. 设双曲线 两焦点分别为 、 ，点 在双曲线上．若 且 ，其中 ，求双曲线的离心率． 55. 在 中， ， ，直线 ， 斜率的乘积为 ，求顶点 的轨迹． 56. 求焦点在 轴上，焦距为 ，且过定点 的双曲线的标准方程． 57. 如图，椭圆的中心为原点 ，离心率 ，一条准线的方程为 ． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点 满足： ，其中 ， 是椭圆上的点，直线 与 的斜率之积为 ．问：是否存在两个定点 ， ，使得 为定值？若存 在，求 ， 的坐标；若不存在，说明理由． 58. 已知双曲线 上一点 到一个焦点的距离为 ，求点 到此焦点相应准线的距离． 59. 设椭圆 ，其相应于焦点 的准线方程为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)已知过点 且倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点，求证： ； (3)过点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 和 ，求 的最小值． 60. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率 ，右准线 为 ， 、 是 上的两个动点， ． (1)若 ，求 、 的值； (2)证明：当 取最小值时， 与 共线． 61. 已知抛物线 ． (1)设点 的坐标为 ，求抛物线上距 最近的点 的坐标及相应的距离； (2)设点 的坐标为 ，求曲线上点 到点 距离的最小值 ，并写出 的 函数表达式． 62. 已知曲线 上的任意一点到定点 的距离与到定直线 的距离相等． (1)求曲线 的方程； (2)若曲线 上有两个定点 ， 分别在其对称轴的上、下两侧，且 ， ，求 原点 到直线 的距离． 63. 抛物线 的一个内接三角形一个顶点在原点上，抛物线的焦点 又是这个三 角形的垂心，求此三角形外接圆的方程． 64. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为 ； (2)焦点为 ； (3)准线方程为 ； (4)焦点到准线的距离为 ． 基本量与方程-出门考 姓名 成绩 1. 抛物线 上点 到其焦点 的距离等于 ，则 点的横坐标为 ． 2. 已知双曲线的参数方程为 （其中 为参数， ），直线 过其左焦点 交 双曲线的左支于 、 两点，且 ，点 为双曲线右焦点， 的周长为 ，则 此双曲线的离心率为 ． 3. 已知双曲线的两条渐近线方程为 ，则其离心率为 ． 4. 经过 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 5. 和直线 垂直，并且在 轴上的截距是 的直线方程是 ． 6. 直线 上一点 的横坐标是 ，把已知直线绕点 按逆时针方向旋转 后所得的 直线方程是 ． 7. 点 和圆 的位置关系是 ． 8. 以 为圆心、 为半径的圆的标准方程为 ． 9. 以 ， 为直径两端点的圆的方程为 ． 10. 曲线 与曲线 的交点个数是 ． 11. 曲线 与曲线 的交点的个数是 ． 12. 已知两点 ， ，点 为坐标平面内的动点，满足 ，则动点 的轨迹方程为 ． 13. 椭圆 的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为 ． 14. 已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是 ． 15. 已知点 是椭圆 上一点， 为椭圆的一个焦点，且 ， ，（ 为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是 ． 16. 若双曲线 的右支上一点 到直线 的距离为 ，则 的值 是 ． 17. 已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程 为 ． 18. 双曲线的中心在坐标原点，离心率等于 ，一个焦点的坐标为 ，则此双曲线的渐近线 方程是 ． 19. 已知 为双曲线 的右支上一点， 到左焦点距离为 ，则 到右准线距离 为 ． 20. 设椭圆 恒过定点 ，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 是 ． 21. 双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ，则点 的横坐标是 ． 22. 已知抛物线 过点 ，那么抛物线上的点到此抛物线的焦点的最短距离 为 ． 23. 抛物线 的焦点为 ，准线为 ． 为抛物线 上一点，且 在第一象限， 交 于点 ，线段 与抛物线 交于点 ，若 ，则 的斜率为 ． 24. 设抛物线的顶点在原点，其焦点 在 轴上，抛物线上的点 与点 的距离为 ， 则抛物线方程为 ． 25. 已知直线 与 的交点 ，求满足下列条件的直线方程． (1)过点 且过原点的直线方程； (2)过点 且平行于直线 直线 的方程． 26. 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 倍，求椭圆的标准方程． 27. 已知椭圆的两个焦点为 ， ，且椭圆过点 ，求椭圆的标准方程． (1)已知直线 经过原点，且与以 ， 为端点的线段相交，试通过作图探索出直 线 的斜率范围． (2)已知直线 经过原点，且与以 ， 为端点的线段相交，试通过作图探索出 直线 的斜率范围． 试比较（1）和（2）两小题的结果有什么不同，你能从中总结出什么规律来吗？ 29. 已知直线 的倾斜角是 ，且 ，求直线 的斜率． 30. 过点 的直线 分别交 轴、 轴正半轴于 ， 两点，若 的面积为 ，求 直线 的方程． 31. 某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成（如图所示）．已 知隧道总宽度 为 ，行车道总宽度 为 ，侧墙 ， 高为 ，弧顶高 为 ． (1)建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少 要有 ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 32. 求过 ， ， 三点的圆的方程． 33. 判断方程 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半 径． 34. 已知方程 表示一个圆． (1)求实数 的取值范围； (2)求该圆的半径 的取值范围； (3)求圆心 的轨迹方程． 35. 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，求椭圆 的标准方 程． 36. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) ， ； (2) ， ，焦点在 轴上． (1)方程 是焦点在 轴上的椭圆方程，求实数 的取值范围； (2)方程 是椭圆方程，求实数 的取值范围； (3)方程 是椭圆方程，求实数 的取值范围． 38. 中心在原点，焦点在 轴上的双曲线，其右焦点为 ，过 以 为方向的直线 与 轴交于点 ， 与双曲线交于点 ，且 ，若 ，求双曲线离心率 的取值范 围． 39. 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在 轴上，虚轴长为 ，离心率为 ； (2)顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ． 40. 设点 是双曲线 上一点，过点 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，并且 ， 为坐标原点，求 的面积． 41. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，试在双曲线上求一点 ，使 的值最小，并求这个最小值． 42. 已知双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上，右准线为 ，一条渐近线的方程是 ．过双曲线 的右焦点 的一条弦交双曲线右支于 ， 两点， 是弦 的中点． (1)求双曲线 的方程； (2)若在 的左侧能作出直线 ： ，使点 在直线 上的射影 满足 ，当点 在曲线 上运动时，求 的取值范围． 43. 椭圆 的中心坐标为原点 ，焦点在 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为 ，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于相异两点 ， ，且 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若 ，求 的取值范围． 44. 求以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 45. 已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 且位于 轴上方的点， 到抛物线准线的距离等于 ，过 作 垂直于 轴，垂足为 ， 的中点为 ． (1)求抛物线方程； (2)过 作 ，垂足为 ，求点 的坐标． 46. 抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，它与圆 相交，公共弦 的长为 ， 求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标和准线方程．