2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合, 且当时，，则为（ ）‎ A．2 B．4 C．0 D．2或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】令取值，看是否符合即可得到答案 ‎【详解】‎ 集合中含有3个元素2，4，6，且当时，，‎ 当时，，则 当时，，则 当时，‎ 综上所述，故 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合中元素的性质，按照题目要求即可解得结果，较为基础 ‎2．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用诱导公式和特殊角的三角函数值即可化简求值 ‎【详解】‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了诱导公式和特殊角的三角函数值，熟练运用诱导公式是解题关键，较为基础 ‎3．下列函数中，不满足的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件中，分别代入四个选项进行验证 ‎【详解】‎ 项中，满足条件，但不符合题意 项中，,,,不满足条件，符合题意 项中，，满足条件，但不符合题意 项中，满足条件，但不符合题意 综上，故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了满足条件的函数解析式，只需代入条件进行验证即可得到结果，较为简单 ‎4．函数的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．均不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数周期的定义进行逐一判定 ‎【详解】‎ 因为，则，则是函数的周期；而，故也是函数的周期；则选项可以排除，又题目要求最小正周期，所以排除，综上选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的周期，可以根据三角函数周期的定义进行求解，本题也可以画出图像观察，较为基础 ‎5．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求含有根号的定义域则求解即可 ‎【详解】‎ 要求函数的定义域，则 ‎，即 则,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了具体函数的定义域问题，在含有根号的函数中找出其限制条件，令根号内大于或者等于零，然后求出关系正弦的不等式 ‎6．函数满足，则在（1,2）上的零点（ ）‎ A．至多有一个 B．有1个或2个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 ‎【答案】C ‎【解析】分类讨论的取值，结合函数零点的存在性定理进行判定零点个数 ‎【详解】‎ 若，则是一次函数 ‎，‎ ‎，可得其零点只有一个 若，则是二次函数 若在上有两个零点 则必有，与已知矛盾 故在上有且只有一个零点 综上所述，则在上的零点有且仅有一个 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点问题，运用零点存在性定理即可进行判定，较为基础 ‎7．已知向量，，且两向量夹1200，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】要求，由题意先计算出，然后由计算出结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，且两向量夹角为20‎ ‎，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了由向量坐标计算向量的模，熟练运用公式进行求解，较为简单 ‎8．将函数，（）的图像所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到一个奇函数的图像，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍得函数解析式为 ‎，再将所得到的图像向左平移个单位得函数解析式为，得到一个奇函数的图像，当时，,代入得，故 故选 ‎9．已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围（ ）‎ A．（0，） B．（） C．（1，） D．0,1‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数和程的图象，结合图象即可求得答案 ‎【详解】‎ 作出函数程和程的图象，如图所示 由图可知当方程有两不等实数根时，‎ 则实数的取值范围是0,1‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题。‎ ‎10．已知函数, 的图像，如图，则函数解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角函数图象得到周期计算出的值，然后代入求出的值 ‎【详解】‎ 由图可得 ‎,‎ 则 当时，‎ 代入可得 故 ‎，‎ ‎，当时，‎ 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式，由函数图象先求出周期，然后代入特殊点坐标求出的值，需要掌握解题方法 ‎11．当时，不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由不等式先分离参量，然后解不等式求出的取值范围 ‎【详解】‎ 当时，不等式可转化为 ‎，‎ 当时，‎ 解得 取不到，故 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了含有参量的恒成立问题，在求解过程中可以分离参量，然后解不等式，注意取等号时的条件 ‎12．在直角坐标系中，已知点、, 动点满足,且、 ，，则点所在区域的面积为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出动点满足的区域，然后计算出面积 ‎【详解】‎ 如图，动点满足，且、，的区域为 则点所在区域的面积为，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的线性表示，要求满足条件的点所在区域的面积则先画出满足的区域，然后再计算，需要理解题意 二、填空题 ‎13．函数恒过定点_____‎ ‎【答案】（1,2）‎ ‎【解析】根据指数函数的性质即可得到答案 ‎【详解】‎ 函数过定点（0，1）‎ 当时，‎ 此时 故过定点 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数恒过定点问题，结合函数特征即可计算出结果，本题属于基础题 ‎14．函数的单调递增区间为______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间 ‎【详解】‎ ‎，‎ 令 求得 则函数的单调递增区间为，‎ 故答案为，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数单调递增区间的求解，根据正切函数的性质是解决本题的关键。‎ ‎15．已知函数的值域为，则的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意中函数的值域为，先计算出时的值域，然后讨论的取值范围计算出结果 ‎【详解】‎ 当时，‎ 要满足值域为，‎ 则①若时，为单调减函数，不符合题意，故舍去 ‎②若时，，舍去 ‎③若时，为单调增函数，则有，‎ 即，‎ ‎，‎ 综上所述，则的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题结合分段函数考查了函数的值域问题，在解题时运用函数的单调性来求解，注意取值时的大小比较，本题难度一般。‎ ‎16．若函数为上的偶函数，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是偶函数，运用偶函数定义，代入求出的值 ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎，‎ 函数为上的偶函数，‎ ‎，‎ 即，‎ 故，‎ 化简得，‎ 则 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数奇偶性求参数的值，运用奇偶性的定义代入求解，考查了计算能力 三、解答题 ‎17．已知集合，若, 试求的取值范围 ‎【答案】或 ‎【解析】由题目中，先计算出集合的值，然后进行分类讨论 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，且 则①当时，，满足题意 ‎②当时，满足题意 综上，则的取值范围为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的运算，当两个集合的交集为空集时讨论参量的取值范围，较为基础 ‎18．已知向量、满足，且 ，（）‎ ‎（1）求关于的解析式 ‎ ‎（2）若且方向相同，试求的值 ‎【答案】（1），,（2）‎ ‎【解析】(1)由条件，两边同时平方，计算出结果 ‎(2)由条件推得，代入(1)中解关于的方程，求出的值 ‎【详解】‎ ‎（1），且，（）‎ 两边同时平方可得：‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，,‎ ‎（2）且方向相同，‎ 代入 可得解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量点乘运算、模的运算，熟练运用公式来解题是关键，较为基础 ‎19．沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式 ‎（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣 ‎ ‎（2）按购买两种商品的总费用90%付款若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款元关于的函数关系式，并讨论选择那种购买优惠方式更划算？‎ ‎【答案】（1），‎ 且 ‎，且 ‎（2）见解析 ‎【解析】(1)由不同的优惠方式求出实付款元关于的函数关系式 ‎(2)为了比较那种方案优惠，分别令，，三种情况讨论 ‎【详解】‎ ‎（1）由优惠活动方式（1）可得：‎ ‎，‎ 且 由优惠活动方式（2）可得：‎ ‎，且 ‎（2）由（1）可得：，‎ 令，即 解得 令，即 解得 令，即 解得 故当时用第一种方案，时两方案一样 时，采用第二种方案 ‎【点睛】‎ 本题考查了一次函数解答关于优惠方案的应用题，求解较为容易，一般采用“问什么，设什么，列什么”的方法来解题 ‎20．已知函数 ‎（1）设、为的两根，且，，试求的取值范围 ‎（2）当时，的最大值为2，试求 ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】(1)方程有两个根，结合根的范围来求解的取值范围 ‎(2)分两种情况讨论的取值范围，取到不同情况的最值，然后求出的值 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得、为的两根，且，，‎ 解得 故 ‎（2）当时，的最大值为2，‎ 由，可知抛物线开口向上，对称轴为 ‎①若，则当时取得最大值，即，‎ 解得 ‎②若，则当时取得最大值，即，‎ 解得 故或 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程根的问题，在求解过程中依据根的范围即可求出参量的值，遇到动轴定区间的问题时注意分类讨论，然后取到最值问题.‎ ‎21．已知函数2+1‎ ‎（1）求函数的对称轴，对称中心 ‎（2）求函数在上的单调区间 ‎（3）若对，不等式恒成立，试求的取值范围 ‎【答案】（1）对称轴，；对称中心（），‎ ‎（2））单增区间：，；单减区间： ‎ ‎（3）见解析 ‎【解析】(1)要求函数的对称轴、对称中心分别代入正弦函数的对称轴方程和对称中心来求解 ‎(2)先解出函数在上的单调增区间，然后求得减区间 ‎(3)运用分离参量的方法求出不等式恒成立时的范围 ‎【详解】‎ ‎（1）由2可得：‎ 其对称轴令 解得：，；‎ 故对称轴为，；‎ 对称中心，令，解得，；‎ 故对称中心为：（），‎ ‎（2）函数在上的单调区间 令，‎ ‎，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎，‎ 则单调增区间：，；单调减区间： ‎ ‎（3）2‎ ‎，‎ 故可化为 当取得最大值时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求正弦函数的对称轴、对称中心、单调区间，熟练运用正弦函数的性质来解题是关键，较为基础，在解答恒成立问题时可以采用分离参量的方法，求出结果 ‎22．函数的定义域为，①在上是单调函数，②在上存在区间，使在 上的值域为，那么称为上的“减半函数” ‎ ‎（1）若，（），试判断它是否为“减半函数”，并说明理由 ‎（2）若，（），为“减半函数”，试求的范围 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1)由新定义分别判定函数是单调增函数，而且存在区间满足在上的值域为 ‎(2)分类讨论时函数都为单调增函数，然后计算在上的值域为，转化为方程问题求解的范围 ‎【详解】‎ ‎（1）若，（），‎ 则为单调增函数 存在，，‎ 其值域为 满足“减半函数”‎ ‎（2）当，原函数为单调减函数 复合部分也为单调减函数 故此时，函数为单调递增函数 当时,‎ 为单调递增函数 复合部分也为单调增函数 故此时，函数为单调递增函数 故无论，还是，函数在定义域内为单调递增函数 可得：‎ ‎ ， ‎ 是方程的两个不同的根，令，‎ 则方程有两个不等的正根 即 解得 故，‎ 检验由知：满足题设要求。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义函数问题，依然在考查函数的单调性，以及值域问题，在解答此类题目时仅仅按照新定义来证明，抓住函数的本质