江西省分宜中学玉山一中等九校2020届高三联合考试数学（理）试题

江西省分宜中学玉山一中等九校2020届高三联合考试数学（理）试题

‎2020年江西省分宜中学玉山一中临川一中南城一中南康中学高安中学彭泽一中泰和中学樟树中学高三联合考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数，且，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在等比数列中，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下图的框图中，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．《算数书》竹简于上世纪八址年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用局胜制.在一局比赛中，先得分的运动员为胜方，但打到平以后，先多得分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知、两点是函数与轴的两个交点，且满足，现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左，右焦点分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．或 ‎12．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，向量，则______.‎ ‎14．已知抛物线过点，则抛物线的准线方程为______.‎ ‎15．已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足，且，，，则数列的第项的值为______.‎ ‎16．如图，四棱锥中，底面为四边形.其中为正三角形，又.设三棱锥，三棱锥的体积分别是，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是.对于以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确命题的序号为_____.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，若，，.‎ ‎（1）求边长；‎ ‎（2）已知点为边的中点，求的长度.‎ ‎18．已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.‎ ‎（1）求证：四点共面，并证明平面；‎ ‎（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.‎ ‎19．已知圆，圆，如图，分别交轴正半轴于点，.射线分别交于点，动点满足直线与轴垂直，直线与轴垂直.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作直线交曲线与点，射线与点，且交曲线于点.问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.‎ ‎20．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为.‎ ‎（1）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；‎ ‎（2）若，且游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时的值.‎ ‎21．已知函数，，其中.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线和曲线的一般方程；‎ ‎（2）若曲线上任意一点，过点作一条直线与曲线相切，与曲线交于点，求 的最大值.‎ ‎23．已知点的坐标满足不等式：.‎ ‎（1）请在直角坐标系中画出由点构成的平面区域，并求出平面区域的面积；‎ ‎（2）如果正数满足，求的最小值.‎ ‎2020届九校联考数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1．D【解析】，∵，∴，故选D.‎ ‎2．D【解析】，∴，∴，∴.故选D.‎ ‎3．C【解析】设等比数列公比为，则，所以.故选C.‎ ‎4．B ‎5．C【解析】，，，故选C.‎ ‎6．D ‎7．C【解析】设圆锥底面半径为，则，所以，.故选C.‎ ‎8．A【解析】∵，，∴，最小正周期 ‎，∴，，∴，故选A.‎ ‎9．C【解析】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为；‎ ‎②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为 所以，所求事件概率为：，故选C.‎ ‎10．A【解析】∵，∴周期，∴，‎ ‎∴，又∵新函数的图像关于轴对称，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎11．B【解析】由题可知，，，∵‎ ‎∴，∴‎ ‎∴渐近线方为：，故选B.‎ ‎12．D【解析】（1）当时，‎ ‎∴的对称轴为，开口向上 ‎①当时，在递减，递增 ‎∴当时，有最小值，即，∴‎ ‎②当时，在上递减 ‎∴当时，有最小值，即 ‎∴显然成立，此时.‎ ‎（2）当时，，∴‎ ‎①当时，在上递增 ‎∴，∴，∴此时 ‎②当时，在递减，递增 ‎∴，∴，∴此时.‎ 综上：，故选D.‎ 二、填空题 ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．【解析】易知，∵，，∴‎ 所以数列是常数列，得：，又数列，的最小公共周期为，所以，而，，所以.‎ ‎16．①⑤【解析】不妨设，又为正三角形，由，得，即有，所以 得，化简可以得，∴，易得，故，由于，所以与的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥，三棱锥的外接球相同，所以.‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由，，得，‎ 所以，‎ 由正弦定理，可得.‎ ‎（2），‎ 在 在中，由余弦定理得：‎ 所以，.‎ ‎18．解：（1）证法1：在棱分别取点，使得，易知四边形是平行四边形，所以，联结，则，且 所以四边形为矩形，故，同理，‎ 且，故四边形是平行四边形，所以，所以 故四点共面 又，平面，平面，‎ 所以平面.‎ 证法2：因为直棱柱的底面是菱形，∴，底面，设交点为，以为原点，分别以，及过且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.则有，，，，设，，则，，，，‎ ‎，，所以，故四点共面.又，平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）平面中向量，，设平面的一个法向量为，则，可得其一个法向量为.‎ 平面中，，，设平面的一个法向量为 ‎，则，‎ 所以取共一个法向量.‎ 若，则，‎ 即有，，‎ 解得，故不存在点使之成立.‎ ‎19．解：方法一：（1）如图设，则 ‎，所以，.‎ 所以动点的轨迹的方程为.‎ 方法二：（1）当射线的斜率存在时，设斜率为，方程为，‎ 由得，同理得，所以即有动点的轨迹的方程为.当射线的斜率不存在时，点也满足.‎ ‎（2）由（1）可知为的焦点，设直线的方程为（斜率不为时）且设点，，由得 所以，所以 又射线方程为，带入椭圆的方程得，即 ‎，‎ 所以 又当直线的斜率为时，也符合条件.综上，为定值，且为.‎ ‎20．解：（1）所求概率 ‎（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为 因为，所以 因，，所以，，又 所以，令，以，则 当时，他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足 由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.此时，‎ ‎21．解：（1）∵‎ ‎∴，∵，.‎ ‎∴①当时，的减区间为，没有增区间 ‎②当时，的增区间为，减区间为 ‎（2）原不等式.‎ ‎∵，，∴，‎ 令，‎ 令 在上递增；‎ ‎①当时，即，∵，所以时，，‎ ‎∴在上递增；∴.‎ ‎②当，即时，，∴在上递减；‎ ‎∴.‎ ‎③当时，在上递增；‎ 存在唯一实数，使得，则当时.‎ 当时 ‎∴.‎ ‎∴.此时.‎ 令在上递增，‎ ‎，∴.‎ 综上所述，.‎ ‎22．解：（1）曲线的一般方程是 ‎∵，且，，‎ ‎∴曲线的一般方程为 ‎（2）设点的坐标为 ‎，∵，‎ ‎∴，即时，‎ ‎23．解：（1）如图，平面区域平面区域由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为，，，，所以.‎ ‎（2）由（1），而都为正数，所以 当且仅当取得最小值.‎