高考数学 17-18版 第9章 第39课 课时分层训练39

高考数学 17-18版 第9章 第39课 课时分层训练39

课时分层训练(三十九)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ ‎①平行于同一个平面的两个平面相互平行；‎ ‎②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；‎ ‎③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；‎ ‎④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎①　[①不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；②③④是平面的基本性质公理．]‎ ‎2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为____________．‎ ‎1　[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．‎ 法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]‎ ‎3．(2016·南京模拟)下列命题中正确的是____________．(填序号)‎ ‎①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；‎ ‎②三个平面两两相交的三条交线必共点；‎ ‎③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎④平面α和平面β可能只有一个交点．‎ ‎①　[由公理3的推论1可知①正确；其余均错误．]‎ ‎4．已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是____________．(填序号)‎ ‎①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；‎ ‎②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；‎ ‎③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A.‎ ‎③　[由公理1及公理2可知①②正确，③错误．]‎ ‎5．如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A‎1A，C‎1C的中点．若∠BFC＝60°，则∠ED1D＝____________. ‎ ‎【导学号：62172216】‎ ‎60°　[∵BF∥D1E，DD1∥CF，‎ ‎∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°.]‎ ‎6．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D‎1F所成角的余弦值为____________．‎ 　[连结DF，‎ 则AE∥DF，‎ ‎∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．‎ 设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，‎ ‎∴cos ∠D1FD＝＝.]‎ ‎7.如图397所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：‎ 图397‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线MN与AC所成的角为60°.‎ 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)‎ ‎③④　[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．‎ 因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]‎ ‎8.如图398所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．‎ 图398‎ ‎60°　[取A‎1C1 的中点E，连结B1E，ED，AE，‎ 在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，‎ 设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.]‎ ‎9．如图399，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. ‎ ‎【导学号：62172217】‎ 图399‎ ‎4　[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]‎ ‎10.如图3910是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ 图3910‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是____________．‎ ‎②③④　[把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.]‎ 二、解答题 ‎11.如图3911，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.‎ 图3911‎ ‎(1)求AH∶HD；‎ ‎(2)求证：EH，FG，BD三线共点．‎ ‎[解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC，‎ ‎∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，‎ 平面EFGH∩平面ACD＝GH，‎ ‎∴EF∥GH，∴AC∥GH.‎ ‎∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1.‎ ‎(2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，‎ ‎∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．‎ 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，‎ 又P∈FG，FG⊂平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．‎ ‎12.如图3912，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形. 【导学号：62172218】‎ 图3912‎ 证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图．因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.‎ 又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，‎ 所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.‎ 又Q，F分别是D1D，C1C的中点，‎ 所以QD綊C1F，‎ 所以四边形DQC1F为平行四边形，‎ 所以C1Q綊DF.‎ 故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是____________．‎ ‎①若AC与BD共面，则AD与BC共面；‎ ‎②若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；‎ ‎③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC；‎ ‎④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC.‎ ‎③　[①中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；②中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.]‎ ‎2.如图3913，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．‎ 图3913‎ 　[取DE的中点H，连结HF，GH.‎ 由题设，HF綊AD，‎ ‎∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．‎ 在△GHF中，可求HF＝，‎ GF＝GH＝，‎ ‎∴cos∠GFH＝＝.]‎ ‎3．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．‎ 图3914‎ ‎[解]　如图，取AC的中点G，连结EG，FG，则EG綊AB，FG綊CD，‎ 由AB＝CD知EG＝FG，‎ ‎∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．‎ ‎∵AB与CD所成的角为30°，‎ ‎∴∠EGF＝30°或150°.‎ 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，‎ 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；‎ 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.‎ 故EF与AB所成的角为15°或75°.‎ ‎4．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为D‎1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A‎1C1∩EF＝Q.‎ 求证：(1)D，B，F，E四点共面．‎ ‎(2)若A‎1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．‎ ‎[证明]　(1)∵E，F分别为D‎1C1，C1B1的中点，‎ ‎∴连结D1B1(图略)，易知EF∥D1B1.‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.‎ 所以EF，BD确定一个平面．‎ 即D，B，F，E四点共面．‎ ‎(2)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，‎ 又设平面BDEF为β，‎ 因为Q∈A1C1，所以Q∈α.‎ 又因为Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，‎ 同理，P点也是α与β的公共点，‎ 所以α∩β＝PQ.‎ 又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C，‎ 则R∈α且R∈β，‎ 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．‎