2020届二轮复习二项式定理的应用证明整除或求余数教案（全国通用）

2020届二轮复习二项式定理的应用证明整除或求余数教案（全国通用）

证明整除或求余数 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 二项式定理的应用1证明整除或者求余数 【例1】 利用二项式定理证明：是64的倍数．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，‎ 为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．‎ ‎∵‎ 是64的倍数．‎ 【例2】 若，证明：能被整除．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．‎ ‎，‎ ‎∵，，，…均为自然数，‎ ‎∴上式各项均为的整数倍．‎ ‎∴原式能被整除．‎ 点评：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．‎ 【例3】 证明：能被整除．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】∵，‎ ‎∴只需证能被2整除．‎ 而能被2整除，‎ 因此能被整除．‎ 【例1】 证明：能被整除．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】．‎ 利用上一个变式的结论，只需证也能被整除．‎ 一样的道理，该式子可化为：‎ ‎，所以也只需证能被2整除即可．‎ 易知 综上可知原命题结论成立．‎ 【例2】 ‎⑴除以的余数________；‎ ‎⑵除以的余数是__________；‎ ‎⑶除以的余数是　　　　．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴将分解成含的因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数．‎ 又∵余数不能为负数，需转化为正数 ‎∴除以的余数为 ‎∴应填：‎ ‎⑵将写成，然后利用二项式定理展开．‎ 容易看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为．∴应填：．‎ ‎⑶，用二项式定理展开后，易知除了最后一项，其它都能被 整除．‎ 因此只需考虑除以的余数．‎ 只需考虑最后3项，不难算出余数为1‎ 【例1】 的末尾连续零的个数是（ ）‎ A．7 B．5 C．3 D．2‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】‎ 上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以的末尾连续零的个数是3．故选C．‎ ‎【答案】C