河北省邯郸市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

河北省邯郸市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

邯郸市2018--2019学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，B＝{x|x+2＞0}，则（∁RA）∪B＝（　 　）‎ A. （﹣2，4） B. [﹣2，+∞） C. （﹣2，+∞） D. [4，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定集合中的元素，再由集合的运算法则计算．‎ ‎【详解】由题意或，，‎ ‎，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，确定集合的元素是解题基础，掌握集合的运算法则是解题关键．‎ ‎2.已知f（x）＝ax3+bx+2，且f（2）＝4，那么f（﹣2）＝（　 　）‎ A. ﹣4 B. ﹣‎2 ‎C. 0 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，它是奇函数，由奇函数性质可求值．‎ ‎【详解】设，它是奇函数，，‎ ‎∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造奇函数，然后利用奇函数性质求值．‎ ‎3.设a＝Iog3，b＝log0.70.6，c，则a，b，c的大小关系是（　 　）‎ A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. c＜a＜b ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数函数与对数函数性质，借助于中间值0，1比较．‎ ‎【详解】，，，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，解题时需利用指数函数和对数函数的性质，借助中间值0，1比较大小．‎ ‎4.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据零点存在性定理，因，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 考点：零点存在性定理 ‎5.已知函数f（x）＝log2（2﹣ax）在区间[0，1]上单调递减，那么实数a的取值范围是（　 　）‎ A. （0，1] B. （1，2） C. （0，2） D. （0，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性进行推导，同时考虑函数的定义域．‎ ‎【详解】由题意在[0，1]上单调递减，∴，‎ 又在[0，1]上最小值，，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题根据是复合函数的单调性，特别要注意对数函数的定义域．‎ ‎6.下列命题中正确的是（ 　　）‎ A. 如果平面α⊥平面β，则α内任意一条直线必垂直于β B. 若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l C. 若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l D. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直的判定与性质、线面平行与垂直的判定定理进行判断．‎ ‎【详解】平面α⊥平面β，它们的交线在平面β内，不垂直于平面β，A错；‎ 当直线l在平面α内时，α内有无数条直线平行于直线l，B错；‎ 直线l不垂直于平面α，则α内与直线l在α内射影垂直的直线都与直线l垂直，C错；‎ 平面α内有直线垂直于平面β，由平面α⊥平面β，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质，考查线面平行、垂直的位置关系．掌握空间垂直、平行关系的判定定理和性质定理是解题基础．‎ ‎7.函数f（x）的定义域为{x|﹣1≤x≤3且x≠2}，值域为{y|﹣2≤y≤2且y≠0}，下列哪个图象不能作为f（x）的图象（　 　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义判断，特别是定义域和值域．‎ ‎【详解】观察四个图象，的取值范围是一致的，但的取值范围，只有A、B、D是符合的，但C中的取值范围是且且，不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义，考查函数的定义域与值域．属于基础题．‎ ‎8.若{x}表示大于x的最小整数，例如，{﹣3.5}＝﹣3，{2.1}＝3，定义在R上的函数g（x）＝{x}，A＝{y|y＝g（x），﹣2.5≤x≤1}，则A中元素的个数为（　 　）‎ A 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义确定函数值，注意区间端点处的函数值．‎ ‎【详解】由的定义知当时，，，所以当时，，即值域中有5个元素．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的值域．解题时需根据分段函数定义分段求值．‎ ‎9.在△ABC中，∠ACB，AB＝2BC，将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A的大小为θ（0＜θ＜π），PB与平面ABC所成角为α，则α的最大值为（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于旋转过程中垂直关系保持不变，于是平面，因此可得平面平面，只要作于，则有平面，则题中的都出现了，由图形中建立关系，可得的最大值．‎ ‎【详解】∵∠ACB，AB＝2BC，∴，‎ ‎∵，∴平面，就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，大小为θ，∴平面平面，作于，则有平面，就是PB与平面ABC所成角为α，易知，，‎ ‎∴，，∴，即的最大值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查二面角，考查直线与平面所成角，解题时需作出二面角的平面角，作出直线与平面所成的角，本题中得出平面平面是关键，这样可容易作出PB与平面ABC所成角．‎ ‎10.过点且与线段相交的直线倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出端点出的斜率，可得所求直线斜率范围，从而可得倾斜角的范围.‎ ‎【详解】线段的端点坐标为，‎ 直线与轴垂直，倾斜角为；‎ 直线的斜率为，倾斜角为，‎ 过点且与线段相交的直线斜率的取值范围是，‎ 斜率为非负数时，倾斜角范围，斜率为正数时，倾斜角范围，‎ 所以，过点且与线段相交的直线倾斜角的取值范围是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于基础题.本题的易错点是忘记讨论斜率正负两种情况.‎ ‎11.已知定义在R上的奇函数f（x），且对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．若存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，则实数a的取值范围是（　 　）‎ A. （﹣3，2） B. [﹣3，2] C. （﹣2，1） D. [﹣2，1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数性质不等式变为，条件（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0说明函数是减函数，从而得，即，只要小于的最大值即可．‎ ‎【详解】∵对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．∴函数是减函数，‎ 又是奇函数，∴不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0可变为，即，∴，即，‎ ‎∵存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，‎ 当x∈[﹣3，3]时，的最大值是6，∴，解是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式能成立问题．利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式的方法是：由奇偶性把不等式变为，由单调性得（或），然后再解不等式（或）即可．注意必须在函数的同一单调区间上。还要注意存在实数使不等式成立与对任意实数不等式恒成立是不一样的，一个要求函数的最大值，一个要求函数的最小值．‎ ‎12.已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x，那么函数g（x）＝f[f（x）]的零点个数为（　 　）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数性质作出函数的图象得出其值域，然后分析的零点．‎ ‎【详解】由于是偶函数，作出它的图象，如图所示，其值域中，‎ 令，，，由图象知有四个解，且，‎ 无解，有4个解，有2个解，有2个解，‎ 综上所述，有8个零点．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是问题转化，函数零点个数转化为方程解的个数，又转化为函数图象与直线的交点个数．解题时只要作出函数的图象及直线，观察它们交点个数就可以得出结论．题中用到了换元法．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则 ．‎ ‎【答案】23‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以．‎ 考点：幂函数的运算．‎ ‎14.已知点A（6，m）到直线x﹣y+2＝0的距离为，则m＝_____．‎ ‎【答案】6或10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到直线距离公式列式求解．‎ ‎【详解】由题意，解得或10．‎ 故答案为：6或10．‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎15.已知0≤x≤2，0≤y≤2，则最小值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中代数式的几何意义求解．‎ ‎【详解】代数式表示点与四个点的距离之和，如图由已知是边长为2的正方形，，当且仅当三点共线且三点共线，即为的交点时取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查两点间距离公式，题中求代数式的最小值，关键是用两点间距离公式解释其几何意义，由平面几何知识就可得解．‎ ‎16.如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ＝1时，S的面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ CQ＝1时，与重合，作出截面，计算其面积即可．‎ ‎【详解】CQ＝1时，与重合，取的中点，连接 ‎，由正方体的对称性，知四边形是菱形，其边长为，‎ ‎，菱形的中一对角线长为，‎ ‎∴截面的面积为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正方体的截面，解题关键是作出截面．这可利用正方体的性质作图，截面在正方体的上下两底面上的截线平行，在左右两侧面的截线也平行．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.求经过点P（﹣3，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．‎ ‎【答案】2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在两坐标轴上的截距互为相反数可分类：一类是过原点，设直线方程为，一类是不过原点，设直线方程为，代入点坐标可求得参数得直线方程．‎ ‎【详解】若直线原点，设所求的直线方程为y＝kx，‎ 把点P的坐标代入得k，‎ ‎∴所求直线的方程是2x+3y＝0，‎ 若直线不过原点时，‎ 设直线方程为：，‎ 把点P的坐标代入得，‎ ‎∴a＝﹣5，‎ 所求直线方程为：x﹣y+5＝0‎ 综上所述：直线方程为：2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．‎ ‎【点睛】本题考查求直线方程，考查直线方程的截距式．直线在两坐标轴上截距相等或相反之类问题中要注意截距为0的情形，要分类讨论．‎ ‎18.已知函数f（x）＝loga（x+2），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，a≠1）．‎ ‎（1）求函数f（x）﹣g（x）定义域；‎ ‎（2）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（3）求f（x）﹣g（x）＞0中x取值范围，‎ ‎【答案】（1）（﹣2，2）；（2）奇函数，见解析（3）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）定义域是使得两个对数的真数均为正即可；‎ ‎（2）根据奇偶性定义判断；‎ ‎（3）按和分类讨论．‎ ‎【详解】（1）根据题意，函数f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x），‎ 则有，解可得﹣2＜x＜2，‎ 即函数的定义域为（﹣2，2）；‎ ‎（2）根据题意，f（x）﹣g（x）为奇函数，‎ 设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣2，2），关于原点对称；‎ 且F（﹣x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）＝﹣F（x），‎ 故函数f（x）﹣g（x）为奇函数，‎ ‎（3）若f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x）＞0，‎ 即loga（x+2）＞loga（2﹣x），‎ 若a＞1，必有x+2＞2﹣x＞0，解可得：0＜x＜2，‎ 此时x取值范围为（0，2）；‎ 若0＜a＜1，必有0＜x+2＜2﹣x，解可得：﹣2＜x＜0，‎ 此时x取值范围为（﹣2，0）；‎ 故当a＞1时，x取值范围为（0，2）；‎ 当0＜a＜1时，x取值范围为（﹣2，0）．‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域，奇偶性，单调性．在应用单调性时要注意对底数分类讨论．‎ ‎19.已知直线l1：2x﹣y+2＝0与l2：x+y+4＝0．‎ ‎（1）若一条光线从l1与l2的交点射出，与x轴交于点P（3，0），且经x轴反射，求反射光线所在直线的方程；‎ ‎（2）若直线l经过点P（3，0），且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）2x+5y﹣6＝0．（2）22x+y﹣66＝0．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出两直线的交点坐标，并写出这点关于的对称点，直线就是反射光线所在直线；‎ ‎（2）直线为l与l1的交点A（x1，y1），与l2交点B（x2，y2），由中点坐标公式得，即B（6﹣x1，﹣y1），把坐标代入各自所在直线方程可求得，从而得直线方程．‎ ‎【详解】（1）由解得 ‎∴直线l1与l2的交点为（﹣2，﹣2），‎ 据题意反射光线应过（﹣2，﹣2）关于x轴的对称点（﹣2，2）和点P，‎ 则，‎ 所以反射光线所在直线方程为：2x+5y﹣6＝0．‎ ‎（2）设直线为l与l1的交点A（x1，y1），与l2交点B（x2，y2），‎ 则有，于是有，即B（6﹣x1，﹣y1），‎ 分别代入直线方程，‎ 所以 解得，．‎ 所以直线l的方程为：22x+y﹣66＝0．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程，考查关于直线的对称性和关于点的对称性．光线问题可求出光源点关于直线的对称点，此点必在反射光线所在直线上．‎ ‎20.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 （单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.‎ ‎⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；‎ ‎⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？‎ ‎【答案】（1）1040；（2）120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．‎ ‎【详解】（1）由题意知，，（为常数），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ 故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人．‎ ‎（2）由，可得 ‎，‎ ‎①当时，，当且仅当时等号成立； ‎ ‎②当时，，当时等号成立， ‎ ‎∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．‎ 答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.‎ ‎【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．‎ ‎（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．‎ ‎21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＞BC．E，F分别为棱AB，PC上的点．‎ ‎（1）求证：平面AFD⊥平面PAB；‎ ‎（2）若点E满足，当F满足什么条件时，EF∥平面PAD？请给出证明．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）当时，EF∥平面PAD．见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只要证AD⊥平面PAB即可，已有AD⊥AB，再由已知线面垂直又得PA⊥AD，从而可证结论成立；‎ ‎（2）过E作EM∥AD交CD于点M，只要再有，就有都与平面平行，从而得EF∥平面PAD．根据平行线的性质应该有即可上面所说的平行．‎ ‎【详解】（1）证明：∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．∴AD⊥平面PAB．‎ 又∵AD⊂平面AFD，‎ ‎∴平面AFD⊥平面PAB．‎ ‎（2）过E作EM∥AD交CD于点M，‎ ‎∵BC∥，，∴．‎ 过M作MF∥PD，交PC于F，则，‎ ‎∵EF∥PD，EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴EM∥平面PAD，‎ ‎∵MF∥PD，MF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴MF∥平面PAD．‎ ‎∴平面EFM∥平面PAD，又EF⊂平面EFM，‎ ‎∴EF∥平面PAD．‎ ‎∴当时，EF∥平面PAD．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和面面平行的性质定理，掌握两个定理是解题基础．解题时需注意定理的条件要全满足，否则不能轻易下结论．‎ ‎22.已知函数f（x）是R上的奇函数．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断并证明f（x）的单调性；‎ ‎（3）若对任意实数x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝1，b＝1，（2）单调递增，见解析（3）（﹣∞，2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数的定义求解，求得，再由求得，再验证此时 符合题意．‎ ‎（2）由单调性定义证明；‎ ‎（3）先计算出函数值，因此由单调性得f（x）﹣m＞﹣3，即m＜f（x）+3＝4，于是求出4的最小值或取值范围即可．‎ ‎【详解】（1）∵f（x）是R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）＝0，即，‎ 所以，a＝1，‎ 又f（﹣1）+f（1）＝0，‎ 所以，‎ ‎∴b＝1，此时是奇函数；‎ ‎（2）由（1）可得f（x）1，‎ 设x1x2，则．‎ 则f（x1）﹣f（x2）0，‎ ‎∴f（x1）f（x2），‎ 故f（x）在R上单调递增，‎ ‎（3）对任意实数x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，‎ ‎∴不等式f[f（x）﹣m]恒成立，且f（﹣3），‎ 由（2）可知f（x）在R上单调递增，‎ ‎∴f（x）﹣m﹣3，即mf（x）+3＝4，‎ 结合指数函数的性质可知，，‎ ‎∴2<44， ‎ ‎∴m≤2，‎ 故m的范围（﹣∞，2]．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题．奇偶性与单调性一般根据它们的定义求解，如有特殊值求出结论需检验．函数不等式恒成立可利用单调性化简，同时注意用分离参数法转化为求函数的值域问题．‎