【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、已知与圆相切于点，直线交圆于两点，是圆上一点，且，的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，求．‎ ‎2、如图，直线经过圆上的点，并且，圆交直线于点，其中在线段上.连结，.‎ ‎（1）证明：直线是圆的切线；‎ ‎（2）若，圆的半径为，求的长.‎ ‎3、如图，已知是圆的直径，点是圆上一点，过点作圆的切线，交的延长线与点，过点作的垂线，交的延长线与点.‎ ‎（1）求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，，求圆的面积.‎ ‎4、已知是的外角的平分线,交的延长线于点,延长交的外接圆于点,连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是外接圆的直径,,求的长.‎ ‎5、如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM=m。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若r=3m，求的值。‎ ‎6、如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．‎ ‎7、如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM=m。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若r=3m，求的值.‎ ‎8、如下图，于点，以为直径的圆与交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，点在线段上移动，，与圆相交于点，求的最大值．‎ ‎9、如图，在中，，是的中点.求证：.‎ ‎10、如图，是边上的高，，垂足为.‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎11、如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当，时，求的长.‎ ‎12、如图,割线交圆于、两点,交圆于,在上,且满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求的长.‎ ‎13、四边形内接于圆，，过点作圆的切线与的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，求的长．‎ ‎14、如下图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过点的 切线交的延长线于点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若的半径为，，求的长.‎ ‎15、如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为2，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎16、如图，已知是圆的直径，直线与圆相切于点，弦的延长线交于点，若 ‎.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎17、如图,在中,,以为直径的交于点是边上一点,与交于点,连接．‎ ‎（1）证明:四点共圆；‎ ‎（2）若,求的值．‎ ‎18、如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结.‎ 求证：.‎ ‎19、如图所示，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连接交圆于点，若．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：四边形是平行四边形．‎ ‎20、如图，在正△中，点、分别在边，上，且，，，相交于点．‎ 求证：‎ ‎（1）四点、、、共圆；‎ ‎（2）．‎ 参考答案 ‎1、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用相似三角形的性质推证；（2）借助题设运用圆的切割线定理建立方程探求．‎ 试题 ‎（1）∵，∴，又与圆相切于点，‎ ‎∴，∵为切线，∴，‎ ‎∴，∴，即．5分 ‎（2）∵，，∴，由，，得，，‎ ‎∵为圆的切线，∴，∴，∴，‎ 又∵为圆的切线，∴，．10分 考点：相似三角形的性质及圆幂定理等有关知识的综合运用． 2、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）要整直线是圆的切线，可证；（2）由可证，由可得,代入，即可求得的长.‎ 试题（1）证明：连结.因为，∴又是圆的半径，‎ ‎∴是圆的切线.‎ ‎（2）解:因为直线是圆的切线，∴又，‎ ‎∴则有，‎ 又，故.‎ 设，则，又，故，即.‎ 解得，即.∴‎ 考点：圆切线的性质及三角形相似的应用. 3、答案：（1）见解析；（2）.‎ 试题分析：(1)欲证为等腰三角形，需证，连接线段，因为为的切线，所以，由 可证；(2)由切线长定理得，又，所以有，由得，可求，，从而可求圆的面积.‎ 试题（1）连接线段，因为为的切线，所以.‎ 又因为为的直径，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 从而为等腰三角形.‎ ‎（2）由（1）知，因为为的切线，所以.‎ 所以，即.‎ 又，故.‎ 因为，所以，，，‎ 所以的面积为.‎ 考点：1.圆的性质；2.三角形相似与比例线段. 4、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由角平分线有，同弧所对的圆周向相等，所以，而，所以，所以；（2）直径所对圆周角为直角，由此求得，进而求得，为斜边的一半，所以.‎ 试题 ‎（1）证明：平分,因为四边形内接于圆,,又.‎ ‎（2）是圆的径,‎ ‎，在中,‎ ‎,又在中,.‎ 考点：几何证明选讲. 5、答案：（1）（2）‎ 试题分析：试题（Ⅰ）证明：作交于点，作交于点 ‎.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 从而.‎ 故 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以.‎ 因为 所以.‎ 又因为，所以.‎ 考点：平面几何 6、答案：试题分析：证明线段关系，一般利用三角形相似、圆中相交弦定理进行论证：先证四点共圆，得，再根据Rt∽Rt，得，因此．‎ 试题 证明：连结，因为为圆的直径，‎ 所以，‎ 又，，‎ 则四点共圆，‎ 所以，5分 又∽，即，‎ 所以．10分 考点：四点共圆，三角形相似、相交弦定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 7、答案：（1）（2）‎ 试题分析：试题（Ⅰ）证明：作交于点，作交于点.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 从而.‎ 故 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以.‎ 因为 所以.‎ 又因为，所以.‎ 考点：平面几何选讲 8、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由于,得到,由此利用切割线定理能证明；（2）由,线段的长为定值,得到需求解线段长度的最小值,由求出结果.‎ 试题（1）在中，于点，‎ 所以，因为是圆的切线，‎ 由切割线定理得，所以 ‎（2）因为，所以，‎ 因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值，‎ 弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合，‎ 因此 考点：与圆有关的比例线段. 9、答案：试题分析：通过证明，可得，在中，由，可得，代换即可证得结论.‎ 试题证明：在和中，因为，为公共角，‎ 所以，于是.‎ 在中，因为是的中点，所以，从而，‎ 所以.‎ 考点：三角形相似的证明与应用. 10、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由四点共圆可知，又，所以，得证；（2）由于，在直角三角形中，求得，所以.‎ 试题（1）证明：连接，由已知四点共圆，‎ ‎，，即四点四点共圆.‎ ‎（2）解：，直角三角形中，，‎ 又.‎ 考点：四点共圆的应用与直角三角形的基本性质. 11、答案：（1）见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，因为是圆的内接四边形，，又，∴∽，即有，由已知可得，由角平分线性质可知，从而证出结论.（2）设，由割线定理得，,即,从而得到方程，解之即可.‎ 试题（1）证明：如图所示，连接，因为是圆的内接四边形，，又，‎ ‎∴∽，即有.又，∴.‎ 又是的角平分线，∴，从而.‎ ‎（2）解：∵，，∴，设，由割线定理得，，‎ 即，∴，即，‎ 解得或（舍去），即.‎ 考点：1.圆的性质；2.三角形相似. 12、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）延长交圆于,证明是的中点,即可证明：；（2）延长交圆于,由割线定理得，代入数据求的长.‎ 试题（1）延长交圆于,由相交弦定理得,由已知,故,即是的中点,由垂径定理得,,‎ ‎（2）延长交圆于,由切割线定理得,设圆的半径为,则,得.‎ 考点：与圆有关的比例线段. 13、答案：（1）证明见解析；（2）‎ 试题分析：（1）由等腰三角形性质得，由弦切角定理得，从而，由此能证明；（2）由已知得，，由，得．由切割线定理得，由此能求出的长．‎ 试题（1）证明：∵，∴，‎ ‎∵是圆的切线，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2）解：∵，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，由切割线定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ 考点：1、弦切角定理；2、切割线定理. 14、答案：（I）证明见解析；（II）.‎ 试题分析：（I）连接，根据切线的性质有，所以，.因为于，，所以，.所以；（II）根据相交弦定理有，从而求得.‎ 试题 ‎（I）证明：连接，‎ ‎∵切于，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵于，‎ ‎∴，‎ 故，.‎ ‎∴.‎ ‎（II）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 考点：几何证明选讲. 15、答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）延长交圆于点，连接，则，由已知条件求出，，再由切割线定理能求出；（2）过作于，得到，由此入手能够证明．‎ 试题（1）延长交圆于点，连接，则，‎ 又，，所以，又，可知，所以．‎ 根据切割线定理得，即．‎ ‎（2）过作于，则，从而有，‎ 又由题意知，，所以 因此，．‎ 考点：相似三角形的判定． 16、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）利用弦切角定理可得，因为，所以，进而；（2）由（1）得与相似，所以，所以.‎ 试题（1）证明：因为是直径，所以连接，则，‎ 又因为直线与圆相切，所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以，所以.‎ ‎（2）解：由（1）得与相似，所以，所以.‎ 考点：1、弦切角定理；2、三角形相识的性质. 17、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由直角三角形相识，圆周角定理得，从而进而可证结论；（2）先根据射影定理求得，从而得进而利用相交弦定理可得的值．‎ 试题（1）证明:连接是的直径,,‎ ‎,,‎ 四点共圆．‎ ‎（2）连接是的直径,,‎ 即四点共圆,．‎ 考点：1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理． 18、答案：试题分析：连结，因为可得，可证，又因为，所以欲证，只要证即可，即证，由可证.‎ 试题证明：如图，连结，因为，为的中点，所以，于是.‎ 因为，所以.于是.‎ 因为点都在圆上，且为圆上位于异侧的两点，‎ 所以和为同弧所对的圆周角，‎ 故，所以.‎ 考点：圆的性质. 19、答案：试题分析：（1）由切割线定理，及是的中点，可得，进而，结合，可得∽，则，即；再由，可得，再由等角的补角相等可得，进而得到∽；（2）由，可得，即∥；由∽，是圆的切线，可证得，即∥；再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形．‎ 试题（1）∵是圆的切线，是圆的割线，是的中点，‎ ‎∴，∴，‎ 又，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2），即，‎ ‎∴，‎ ‎∵是圆的切线，∴，‎ 即，∴，∴四边形是平行四边形．‎ 考点：1.与圆有关的比例线段；2.相似三角形的判定． 20、答案：试题分析：本题主要考查几何证明（1）利用比例关系证明全等于，则，可以得到，利用四点共圆的判定性质便可证明出四点共圆；（2）由几何关系和正弦定理，得，利用（1）的结论，知，故.‎ 试题（1）在中，由，，知，‎ ‎∴，即，所以四点，，，共圆．‎ ‎（2）如图，连接，‎ 在，，，‎ 由正弦定理知，由四点，，，共圆，，‎ ‎∴．‎ 考点：1.四点共圆的证明；2.导面直线垂直的证明；3.正弦定理的合理运用. ‎