第09章检测A卷-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

第09章检测A卷-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

平面解析几何 章节验收测试卷A卷 姓名 班级 准考证号 1．已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，‎ 则，所以椭圆的离心率为：．‎ 故选：． 2．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 取双曲线的一个焦点，一条渐近线：‎ ‎ ‎ 本题正确选项： 3．双曲线C：的左、右焦点分别|为、，点P在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）‎ 又|PF1|+|PF2|＝3b，所以，‎ 两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．‎ 故e．‎ 故选：B． 4．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，），当周长最小时，则点的纵坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图：‎ 由双曲线C的方程可知：a2=1，b2=8，∴c2=a2+b2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E（-3，0），右焦点F（3，0），‎ ‎∵|AF|=，所以当三角形APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小．‎ 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，‎ 又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A，P，E三点共线时，等号成立．‎ ‎∴三角形APF的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．‎ 此时，直线AE的方程为y=，将其代入到双曲线方程得：x2+9x+14=0，‎ 解得x=-7（舍）或x=-2，‎ 由x=-2得y=2（负值已舍）‎ 故选：B． 5．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，为准线上的一点，记，，且，则与的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设为的中点，根据抛物线的定义，点到准线的距离为，‎ 即以为直径的圆与准线相切，‎ ‎∵，为准线上的点，∴为切点，轴，‎ 由抛物线的焦点弦的性质，可得，又，所以，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故选A.‎ ‎ 6．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎.故选B. 7．已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，‎ ‎ ‎ 由题意可得，，则2b2＝c2，‎ 即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，‎ ‎∴，即e．‎ 故选：D． 8．双曲线，，斜率为的直线过点且与双曲线交于两点，若，‎ ‎，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线MN的方程为y（x+t），‎ 联立方程组，消元可得：（9b2﹣a2）x2﹣2a2tx﹣a2t2﹣9a2b2＝0，‎ 设M（），N（），则由根与系数的关系可得： ，‎ ‎∵2，∴D为MN的中点，‎ ‎∴D（，），‎ ‎∵，∴BD⊥MN，∴kBD＝﹣3，‎ 即，化简可得，‎ 即b，∴e．‎ 故选：A．‎ ‎ 9．已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线的渐近线上点 满足，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在的渐近线上，‎ ‎，①‎ 又，‎ ‎，②‎ 又，③‎ 由①②③得，，‎ 双曲线方程为，故选C. 10．关于曲线：性质的叙述，正确的是（ ）‎ A．一定是椭圆 B．可能为抛物线 C．离心率为定值 D．焦点为定点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误；‎ 因为可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则，∴，，离心率不是定值，焦点，，为定点；‎ 若曲线为双曲线，方程为，则，∴，，离心率不是定值，焦点，，为定点；故选D. 11．已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足 ‎，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D。‎ 设，则.‎ ‎①‎ ‎，即 ‎②‎ ‎③‎ 联立①②③解得，， ‎ 故选D ‎ 12．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B. 13．已知双曲线，点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于，两点，若，则双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由题意可设，，‎ 则，解得，‎ 即，整理得，‎ 即，，解得.‎ 故答案为2 14．已知P为抛物线上一点，点M，若，则△POM（O为坐标原点）的面积为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵抛物线C的方程为y2＝4x ‎∴M（，0）为抛物线的焦点 设P（m，n）‎ 根据抛物线的定义，得|PM|＝m4，‎ 即m4，解得m＝3‎ ‎∵点P在抛物线C上，得n2＝4324‎ ‎∴n＝±2‎ ‎∵|OM|‎ ‎∴△POF的面积为S|OM|×|n|＝2．‎ 故答案为：．‎ ‎ 15．设，为椭圆：与双曲线的公共左、右焦点，椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且。若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设双曲线的方程为，由题意知，其中，又根据椭圆与双曲线的定义得，则，即 其中分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长.所以因为椭圆的离心率，‎ 所以 所以，即双曲线的离心率的取值范围是. 16．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.‎ ‎① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；‎ ‎② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；‎ ‎③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；‎ ‎④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.‎ 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 设点P的坐标为：P（x，y），‎ 依题意，有：，‎ 整理，得：，‎ 对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，‎ 椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；‎ 对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，‎ 椭圆方程为：，则，解得：，符合；‎ 对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；‎ 对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，‎ 不可能成为焦点在y轴上的双曲线，‎ 所以，不存在满足题意的实数a，正确.‎ 所以，正确命题的序号是②④. 17．已知的周长为6，，关于原点对称，且.点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，直线：与交于，两点，若，，成等差数列，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）依题意，，，故，则，‎ 故点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），‎ 故的方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，，故.‎ 联立整理得.‎ 设，，则，.‎ 故 ‎，‎ 则. 18．已知圆，抛物线．‎ ‎（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；‎ ‎（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知，所以.‎ 所以抛物线的方程为.‎ 将与联立得点的纵坐标为，‎ 结合抛物线定义得.‎ ‎（2）由得：，，‎ 所以直线的斜率为，故直线的方程为.‎ 即.‎ 又由得且 所以 令，，则，‎ 令，则；‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 又，，‎ 所以，即的最大值为. 19．在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于两点（两点均不与P点重合)，直线，与x轴分别交于点.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或 ‎【解析】‎ ‎(1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为. ‎ 在中，,于是,‎ 椭圆,将代入得 所以，椭圆E的标准方程 ‎ ‎(2)设点.‎ 于是，直线,令,‎ 所以 ‎ 直线，令，‎ 所以 ‎ 又.代入上式并化简 即， ‎ 当(即)时取得最小值，‎ ‎（Ⅰ）时，化简得 根据题意：，若亦与题意不符，‎ 所以，此时或 ‎（Ⅱ）时，化简得 将代入并化简得：‎ 根据题意：，若，而 所以 不成立，即不成立 综上，或，点P的坐标为或 20．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且． ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设直线：，与联立消得，.‎ 设，，则，.‎ 因为，所以 ‎，‎ 解得.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.‎ 原点到直线的距离，所以.‎ 因为直线过点且，所以.‎ 所以.‎ 即为定值. ‎ ‎21．已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为或 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，，‎ 即点到定点的距离等于它到直线的距离，‎ 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，即，‎ ‎∵直线与圆相切于点，‎ ‎∴，且，‎ 从而，，‎ 即：，‎ 整理可得，即，‎ ‎∴，‎ 故直线的方程为或. ‎ ‎22．已知椭圆C：过点，且离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；‎ 当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=‎ 综上可知，直线的方程为y=0或y=‎