北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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民大附中高二数学期末考试试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.复数的模为（ ）‎ A. i B. ‎1 ‎C. 2i D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算,化简可得复数,进而求得模.‎ ‎【详解】复数,由复数除法运算化简可得 所以复数的模为 ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了复数除法的运算,求复数的模,属于基础题.‎ ‎2.已知数列{an}满足，，则 的值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式可知数列为等差数列,结合首项即可求得通项公式,进而求得的值.‎ ‎【详解】因为数列满足,‎ 所以数列为等差数列,公差为 ‎ 又因 所以 ‎ 所以 故答案为:C ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义及通项公式的求法,通项公式基本量的计算,属于基础题.‎ ‎3.已知椭圆方程为，则椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆的方程化为标准方程,即可求得,进而得长轴长.‎ ‎【详解】椭圆方程为 化为标准方程可得 所以椭圆交点在轴上,且 所以长轴为 故选:D ‎【点睛】本题考查了将一般方程化为椭圆的标准方程,椭圆几何性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎4.已知，则为（　　）‎ A. B. C. D. π ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数运算,求得,代入即可求解.‎ ‎【详解】因为 所以由导数运算公式可得 所以 故选:A ‎【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.‎ ‎5.公比的等比数列满足，则＝（ ）‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 12 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列通项公式及公比,即可由的值求得的值.‎ ‎【详解】因为数列为等比数列,公比 所以 所以 故选:A ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式及性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎6.已知，，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标与垂直关系,可得的等量关系.由可知其意义为到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.‎ ‎【详解】,,且 由向量数量积的运算可得 的意义为到原点距离平方 由点到直线距离公式可知原点到直线的距离为 ‎ 因为点到直线的距离为最短距离,所以的最小值为 ‎ 即的取值范围为 故选:C ‎【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.‎ ‎7.若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,取特殊值代入选项检验即可排除错误选项.对于正确选项,予以证明即可.‎ ‎【详解】因为 令 对于A,,所以错误;‎ 对于B, ,所以错误;‎ 对于C, 由,则,由基本不等式可知因为,所以不能取等号,所以C正确;‎ 对于D,,所以错误.‎ 综上可知,C为正确选项.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了不等式性质,由条件判断不等式是否成立,基本不等式求最值,属于基础题.‎ ‎8.在正方体中，在正方形中有一动点P，满足 ‎，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E与C时,与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.‎ ‎【详解】正方体中,正方形内的点P满足 可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:‎ 当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E与C点连线上 此时取得最小值.‎ 则即为直线与平面所成的角 设正方体的边长为2,则, ‎ 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.双曲线的渐近线方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的渐近线方程为，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】双曲线，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 即 故答案为 ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“‎1”‎为“‎0”‎即可求出渐近线方程．‎ ‎10.复数的虚部为_____.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数乘法运算化简,即可得复数的虚部.‎ ‎【详解】复数 由复数乘法运算化简可得 由复数定义可得虚部为5‎ 故答案为:5‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法与加减运算,复数的概念,属于基础题.‎ ‎11.函数的极大值点为_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得导函数,并令求得极值点.再由极值点两侧函数的单调性,即可判断出极大值,进而得极大值点.‎ ‎【详解】函数 则 令解得 ‎ 当时,,函数单调递减 当时,,函数单调递增 当时,,函数单调递减 由以上可知,在处取得极大值 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值点,注意判断极值点左右两侧函数的单调性,属于基础题.‎ ‎12.已知不等式0的解为，则的值为_____.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式中分母不为0,分子可以为0,可分别求得的值,代入即可求解.‎ ‎【详解】因为不等式0的解为,‎ 由不等式解集中等号端取2可知 所以 则 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了不等式解集性质及应用,分式不等式中分子可以为0,分母不为0,属于基础题.‎ ‎13.过抛物线（）的焦点做平行于轴的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，面积为，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准方程,求得焦点坐标.可得直线的方程及的长.由面积即可求得的值.‎ ‎【详解】抛物线（）‎ 化为标准方程可得 所以焦点坐标为 ‎ 则直线的方程为 代入抛物线方程可得,所以 则 由题意可得 代入可得 解得 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线标准方程及性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎14.如图所示，为为某一值时和在同一直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，的范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数,代入后求得.根据函数的单调性,可得极大值与极小值.由题意可知函数有两个正的零点,结合三次函数图像可得关于的不等式,解不等式组即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】令 代入可得 则 当时,,单调递增 当时, ,单调递减 当时,,单调递增 所以在处取得极大值,在处取得极小值 因为两函数图象在y轴右侧有两个交点 即有两个正的零点 结合三次函数图像可知只需满足 即,解得 ‎ 即 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点与函数交点关系,构造函数法分析函数的交点情况,三次函数图像与性质的应用,属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知数列为公差的等差数列，数列为公比的等比数列，数列满足，且有，‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令,结合等差数列与等比数列的通项公式,代入等式.即可求得.即可求得和的通项公式.‎ ‎（2）因为,利用等差数列求和公式与等比数列求和公式,分别求得和的前n项和,合并即可求得的前项和.‎ ‎【详解】（1）由题意可得,,可令,‎ 可得 ,即有,‎ 解得（舍去）,‎ 即 则由等差数列通项公式可得,‎ 由等比数列通项公式可得；‎ ‎（2）,‎ 前n项和 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式与等比数列通项公式的简单应用,等差数列与等比数列求和公式的应用,分组求和法,属于基础题.‎ ‎16.函数在处切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式 ‎（2）求时，的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值0，最大值2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得导函数,将切点代入切线方程求得切点坐标.根据导数几何意义及切点坐标,得方程组,解方程组即可求得的值,得的解析式;‎ ‎（2）根据导函数,求得极值点.判断函数在区间上的单调性,并比较端点值,‎ 即可求得最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）,‎ 则 由在处切线方程为,可得切点为 结合导数的几何意义可得,‎ 解方程组可得, ,‎ 所以 ‎（2）由（1）可知,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 当时,函数单调递增,‎ 故当时,函数取得最小值,‎ 由于 故当时函数取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数求函数的最值,属于基础题.‎ ‎17.在直三棱柱中，，，D为线段AC的中点.‎ ‎（1）求证：：‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直三棱柱的定义可得,再根据等腰三角形性质可得,再由线面垂直的判定可得平面,即可证明.‎ ‎（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC1D的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎（3）由平面BC1D的法向量和平面的法向量,即可利用法向量法求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：由直三棱柱,可得底面,‎ ‎∴.‎ ‎∵,D为线段的中点.‎ ‎∴,又,‎ ‎∴平面 ‎∴.‎ ‎（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 设平面BC1D的法向量为,‎ 则•,代入可得,令可得 即.‎ ‎∴直线与平面所成角的余弦值 ‎||.‎ ‎（3）,,.‎ 设平面的法向量为,‎ 则,代入可得,令,解得 即.‎ ‎∴.‎ 由图可知,二面角锐二面角 ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了由线面垂直判定线线垂直,空间向量法求线面夹角、面面夹角,对计算能力要求较高,属于中档题.‎ ‎18.已知椭圆的方程为（），其离心率，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），周长为6.过椭圆右焦点 的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程：‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率和周长,可求得.再由椭圆中的关系,即可求得,进而得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）根据椭圆的标准方程,可得右焦点坐标,设出直线方程和.联立直线与椭圆方程,可得关于的一元二次方程.由韦达定理表示出,,即可求得.由面积为可得关于的方程组,解方程即可求得的值,代入直线方程即可得解.‎ ‎【详解】（1）由离心率,则 由周长为6,可得,‎ 则,‎ ‎,‎ 所以椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）由（1）可知椭圆的右焦点,设直线的方程,‎ 联立方程组,消去,整理得,‎ 则,,‎ 所以,‎ 面积.‎ 解得,即,‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质及应用,直线与椭圆的位置关系,韦达定理及三角形面积的应用,属于中档题.‎ ‎19.函数，‎ ‎（1）若在定义城内为单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，关于的方程在区间上有且只有一实数根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得导函数,并根据在定义城内为单调递增函数,分离参数.并构造函数,求得,由导函数求得,即可求得的取值范围;‎ ‎（2）将代入,可得的解析式.求得导函数.构造函数 ‎,并求得,可证明在区间上恒成立,即在区间上恒成立,即可知在上单调递增.根据函数的最值即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）定义域,‎ 由题意可得,在上恒成立,‎ 故在上恒成立,‎ 令,‎ 则,‎ 可知当时,,单调递增,‎ 当时,函数单调递减,‎ 故,‎ 所以；‎ ‎（2）时, ‎ 令,则,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 故,即恒成立,‎ 故在上单调递增,‎ 所以 故,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了由导数研究函数的单调性,利用函数的最值求参数的取值范围,构造函数法的应用,属于中档题.‎ ‎20.已知，数列A：，，…中的项均为不大于的正整数.表示，，…中的个数（）.定义变换，将数列变成数列：，，…其中.‎ ‎（1）若，对数列：，写出的值；‎ ‎（2）已知对任意的（），存在中的项，使得.求证： （）的充分必要条件为（）；‎ ‎（3）若，对于数列：，，…，令：，求证：（）.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义,表示,,…中的个数,即可由数列得的值.‎ ‎（2）根据对任意的（）,存在中的项,使得,由充分必要条件的判定,分必要性与充分性两步分别证明即可.‎ ‎（3）设：,,…的所有不同取值为,且满足：.设.根据,结合题意中的变换可得：,,,即可证明（）.‎ ‎【详解】（1）∵,对数列:,‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：由于对任意的正整数（）,存在中的项,使得.所以均不为零.‎ 必要性：（）,由于,‎ ‎∴；；；…；.‎ 通过解此方程组,可得（）成立.‎ 充分性：若（）成立,不妨设（）,可以得到 ‎∴；；；…；.‎ ‎∴（）成立.‎ 故（）的充分必要条件为（）‎ ‎（3）证明：设：,,…的所有不同取值为,且满足：.‎ 不妨设,‎ 其中；；…；.‎ 又∵,根据变换有：；；…；；‎ ‎∴：,,,‎ 即：,,,‎ ‎∴：,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,,…,.‎ ‎∴,‎ 即：,,,‎ 从而（）.‎ 故（）‎ ‎【点睛】本题考查了数列中的新定义,充分必要条件的证明,抽象数列的性质及应用,对思维能力要求高,属于难题.‎