黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三9月月考数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三9月月考数学（理）试题

哈师大附中2017级高三上学期月考数学试题（理科）‎ 一：选择题。‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得：,，‎ ‎∴=，‎ ‎∴() A=‎ 故选：D 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.设是非零向量，则是成立的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是非零向量，，则方向相同，将单位化既有，反之则不成立.‎ ‎【详解】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量 所以成立;反之不成立.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决．‎ ‎3.已知，则的大小关系为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，‎ 又由对数的运算性质，可得，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=‎ A. -3 B. -2‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.‎ ‎【详解】由，，得，则，．故选C．‎ ‎【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎5.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为 ‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由偶函数的定义可得，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，‎ 则有，‎ 解可得：，‎ 当时，，在上不是增函数，不符合题意；‎ 当时，，在上单调递增，符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.在中，D为BC中点，O为AD中点，过O作一直线分别交AB、AC于M、N两点，若（），则( )‎ A. 3 B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算，得，利用共线向量的条件得出，化简即可得到的值，即可求解.‎ ‎【详解】在中，为中点，为的中点，‎ 若，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 即，整理得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象形状，故，‎ 又函数的图象的第二个点是，，所以，‎ 所以，故 所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．‎ ‎8.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，且与垂直，∴，即，‎ ‎∴，∴，∴与的夹角为．‎ 故选．‎ ‎9.设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；‎ 设圆的圆心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根据正弦定理得：‎ 所以，当时，的最大值为，选B ‎10.已知函数，则( )‎ A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减，在上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中的函数的解析式，分析函数的单调性和奇偶性，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，可得，解得，‎ 令，‎ 故在为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，‎ 可排除C、B、D项，‎ 又由，满足，‎ 所以函数的图象关于点对称，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域，函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎11.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用辅助角公式，化简函数解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数为辅助角，‎ 由于函数的对称轴的方程为，且，‎ 即，解得，所以，‎ 又由，所以函数必须取得最大值和最小值，‎ 所以可设，，‎ 所以，‎ 当时，的最小值，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎12.设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（，）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得函数的图象关于直线对称，又是偶函数，即图象关于直线对称，因此它还是周期函数，且周期为，函数的零点个数就是函数与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有或，解得或．故选C．‎ 考点：函数的零点．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数零点，函数的零点，就是方程的解，也是函数的图象与 轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点．在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论．本题解法是数形结合思想的应用．‎ 二、填空题（将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线求得；再利用求得结果.‎ ‎【详解】由与共线得：，解得：‎ 向量在方向上的投影为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.‎ ‎14.已知且．求_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出sin ‎【详解】因为 ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到，否则会出现双解.‎ ‎15.如图，已知正方形ABCD的边长为3，且，连接BE交CD于F，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，以为原点，，所在的直线为轴，建立直角坐标系，求得的坐标，再根据，得到，根据向量的坐标运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，以为原点，，所在的直线为轴，建立直角坐标系，求得 则，‎ 又由，所以点为的中点，所以，‎ 所以，则 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，其中解答中建立适当的平面直角坐标系，熟记平面向量的数量积的坐标运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题.‎ ‎16.如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．‎ 由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，,‎ S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.‎ 详解： ，由正弦定理得到 ‎ 在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为 ‎ ‎ 四边形的面积为 ‎ 当三角形面积最大时， ‎ 故答案为：‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数与函数且图象关于对称 ‎（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）且；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，求得函数的解析式为，进而得到，再利用对数函数的性质，即求解.‎ ‎（Ⅱ）由（1）得，令，得到，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，可知函数与函数且图象关于对称，‎ 所以函数的解析式为，‎ 所以，‎ 又由当时，函数恒有意义，所以在上恒成立，‎ 设，则在上为单调递减函数，‎ 则，解得，‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）由（1）知函数，所以 令，则，‎ 当时，函数 ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，以及对数函数与二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知ΔABC内角A，B，C的对边分别为a、b、c，面积为S，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得，再由余弦定理和，解得，利用正弦定理，即可求得的值；‎ ‎（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理列出方程组，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知，即 整理得，即，即，‎ 又由，所以，‎ 又由余弦定理可得，即，整理得 又因为，可得，即，‎ 由正弦定理可得：.‎ ‎（Ⅱ）由，，‎ 根据余弦定理和三角形的面积公式，可得，‎ 即，解得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；‎ ‎（II）讨论在区间上单调性．‎ ‎【答案】（Ⅰ），对称中心为；（Ⅱ）增区间；减区间 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）化简函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，根据和三角函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ‎，‎ 所以函数的最小正周期，‎ 令，即，即，解得 所以函数的对称中心为.‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，‎ 令，解得，‎ 令，解得，‎ 又因为，‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到 关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.‎ ‎【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。‎ ‎，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.‎ ‎(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，‎ 故，解得.‎ 又应用正弦定理，，‎ 由三角形面积公式有：‎ ‎.‎ 又因,故，‎ 故.‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）当，；当，；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得函数点导数，得到在的单调性，即可求解函数的最值；‎ ‎（Ⅱ）求得函数的导数，分，和三种情况讨论，得到函数的单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数，则，‎ 所以函数在单调递增函数，‎ 所以当，最大值为；当，最小值为.‎ ‎（Ⅱ）令，则，‎ ‎①时，，函数在递减，，此时不等式不成立；‎ ‎②时，，函数在递增，，此时不等式成立；‎ ‎③时，存在，使得，则函数在递增，在 递减，所以成立，此时能使得不等式成立，‎ 综上可知，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，利用导数求解函数的单调性与最值，以及利用导数求解不等式的能成立问题，其中解答中熟练利用导数求解函数的单调性与最值，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若恒成立，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）存，且，，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由不等式恒成立，即恒成立，令，分类讨论求得函数的单调性和最值，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）设，得到，转化为证明，进而转化为证，令，利用函数，单调性与最值，即可作出证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，不等式恒成立，即恒成立，‎ 令，则 ‎①当时，，则函数单调递增，‎ 又由，所以，，不符合题意，舍去.‎ ‎②当时，函数在单调递减，单调递增，‎ 所以 令，则，‎ 则函数在单调递增，在单调递减，所以，‎ 所以，在取等号，即.‎ ‎（Ⅱ）由函数，则，‎ 可得函数在递减；在递增，且 由，可得，‎ 设，则，，‎ 则，即 (*)‎ 要证成立 只需证：，即证，‎ 由(*)可知：即证 令，即证：‎ 令，则，所以函数在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立和不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎ ‎