甘肃省张掖市山丹县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

甘肃省张掖市山丹县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

山丹一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷高二文科数学 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将两个不等式解出来即可 ‎【详解】由得 由得 所以“”是“”的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AÜB,则p是q的充分不必要条件，若AÝB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.‎ ‎2.已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简，从而得到，再得到在复平面内对应点所在的象限.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则，‎ 在复平面内对应点为，在第二象限 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.‎ ‎3.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 ‎【详解】解不等式可得，‎ 解绝对值不等式可得，‎ 由于为的子集，‎ 据此可知“”是“”必要不充分条件．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎4.设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：又，所以，所以点的极坐标为，故选A.‎ 考点：点的直角坐标与极坐标的互化.‎ ‎5.若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交点坐标求得的值，由此求得的长轴长.‎ ‎【详解】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查根据椭圆焦点坐标求参数，考查椭圆长轴长的求法，属于基础题.‎ ‎6.过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角.‎ ‎【详解】由得圆的方程为：‎ 则半径为：；圆心与原点之间距离为：‎ 设一条切线与轴夹角为，则 ‎ 根据对称性可知，两条切线所成锐角为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值.‎ ‎7.设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.‎ ‎【详解】在复平面内对应的点的坐标为，则，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ 代入可得，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；‎ 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；‎ 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.‎ ‎9.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线性质得，再利用基本不等式可求得最小值．‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，准线为，如图，过作于，过作于，过作于，交轴于点，准线与轴交于点，‎ 则，，，‎ ‎∴，，‎ 由得，∴，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查基本不等式求最值．解题关键是由抛物线的性质得出满足的关系，然后用凑配法配出基本不等式所需定值．‎ ‎10.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 故函数额为偶函数，排除A，当时 排除C，函数与的图像只有2个交点即函数 只有2个零点，排除B.‎ 故选D.‎ ‎11.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为（）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.‎ ‎【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.若，，则使得恒成立的有（ ）个.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分情况讨论，和，，，判断，得出结论.‎ ‎【详解】如，显然成立；‎ 当，时，成立；‎ 当时，由贝努力不等式，，，‎ 取，，‎ 则，，得，‎ 同理，故成立；‎ 当时，取，，代入检验 ‎，不成立，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13.已知复数满足，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 ‎【详解】设，‎ 由得 所以 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点 ‎，表示的是点与点的距离 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径 即 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.‎ ‎14.若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得再利用复数的除法运算化简即得解.‎ ‎【详解】由题得 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数的除法运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.已知，为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与直线互相垂直，可得，进而根据基本不等式可得的最小值．‎ ‎【详解】直线与直线互相垂直，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线垂直的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.下列说法中，正确的有_______.‎ ‎①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；‎ ‎②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；‎ ‎③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关；‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用回归直线，独立性检验的概念进行判断．‎ ‎【详解】①回归直线一定过中心点，可能不过任何一个样本点，①错；‎ ‎②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，有1%的可能性使得“两个变量有关系”的推断出现错误．②正确；‎ ‎③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，的值的大小用来判断两变量相关性的可能性的大小，不是用来判断两变量是否相关，③错误 故答案为：②．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线的性质，考查独立性检验的概念，属于基础题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.‎ ‎（Ⅰ）若是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意转化为在上恒成立，由二次函数的图像与性质即可求解. ‎ ‎（Ⅱ）根据复合命题的真假性可得与一真一假，当真且假时，则，当假且真时，则，解不等式组即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当命题为真命题时，‎ 函数在上单调递减，‎ 所以在上恒成立.‎ 所以在上单调递减，故，‎ 解得，‎ 所以是真命题，实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）命题为真命题时，函数在上单调递增，∴.‎ 因为或为真命题，且为假命题，所以与的真值相反.‎ ‎（ⅰ）当真且假时，有，此不等式无解.‎ ‎（ⅱ）当假且真时，有 解得或.‎ 综上可得，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、根据命题的真假求参数的取值范围、简单逻辑连接词连接命题的真假判断，以及对数型函数的单调性判断，属于基础题.‎ ‎18.设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.‎ ‎【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设结论反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾结论．‎ ‎【详解】证明：假设全部小于2.即，‎ 则，①‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．‎ 所以至少有一个不小于2.‎ ‎【点睛】本题考查反证法．掌握反证法这个方法是解题基础．反证法是假设结论的反面成立，然后作为条件进行推理，得出矛盾的结论，可与已知条件矛盾，可能推理过程得出矛盾的结论，可与已知的定义、定理、公理等矛盾．从而说明假设错误，原命题正确．‎ ‎19.指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于我们说身高较高，身高小于‎170cm我们说身高较矮.‎ ‎（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有的把握认为男生的身高对指数有影响.‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计 ‎（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高 ‎166‎ ‎167‎ ‎160‎ ‎173‎ ‎178‎ ‎169‎ ‎158‎ ‎173‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）；‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为.请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.‎ ‎【参考公式】‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ ‎【参考数据】‎ ‎，，，，.‎ ‎010‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.811‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）①残差表见解析，0.91；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图对出对应数据即可；‎ ‎（2）将编号为6,7,8的数据代入残差公式计算即可；先计算出，再代入计算；重新计算线性回归方程就是纠正数据中的错误，受影响的有，，纠正完后，再继续结合最小二乘法公式计算即可 ‎【详解】（1）‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 ‎6‎ ‎15‎ ‎21‎ 体重较重 ‎6‎ ‎5‎ ‎11‎ 合计 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 由于，‎ 因此没有的把握认为男生的身高对指数有影响.‎ ‎（2）①，对编号为6的数据：，对编号为7的数据：，对编号为8的数据，完成残差表如下所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎3.5‎ ‎.‎ 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91.‎ ‎②由①可知，第八组数据的体重应为58.‎ 此时，又，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为.‎ ‎【点睛】本题考查最小二乘法公式的相关应用，残差分析，独立性检验，综合性强，数据量大，对处理信息和数据要求高，属于中档题 ‎20.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.‎ ‎【答案】（1）C1直角坐标方程为4x＋3y－24＝0，C2的普通方程为x2＋y2＝1；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C1的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C2的普通方程；‎ ‎（2）将曲线C2经过伸缩变换得到曲线C‎3C3的参数方程为为参数），设N（2cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，求得d有最小值，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，‎ 即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，‎ 所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.‎ 因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ ‎（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，‎ 则曲线C3的参数方程为为参数）.‎ 设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离 ‎（其中满足）‎ 当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知椭圆：的右焦点为，短轴长为2，过定点的直线交椭圆于不同的两点、（点在点，之间）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.‎ ‎(2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与 从而找到韦达定理与的不等式再求解即可.‎ ‎(3) 的面积为的两倍,故求得面积最值即可.‎ ‎【详解】(1)因为右焦点为,故.又短轴长为2,故,解得 ‎ 故椭圆的方程：‎ ‎(2)当直线斜率不存在时, 直线,此时,故,此时,‎ 当直线斜率存在时,设直线,.联立直线与椭圆 有,此时,.‎ ‎ .‎ 又,即 ,故 又即,‎ 又因为,故,即,故 有基本不等式,故计算得 ‎,又,故 综上 ‎(3) ,‎ 令 ,则 故面积的最大值为 ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,联立方程列出韦达定理再表示题中所给的信息计算求解.其中用去建立与韦达定理之间的关系,的面积利用两倍的面积去代换,属于难题.‎ ‎22.某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近年投入的年研发费用千万元与年销售量千万件的数据，得到散点图1，对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如图2：‎ ‎（1）利用散点图判断和哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；‎ ‎（2）已知企业年利润千万元与的关系式为（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？‎ ‎【答案】（1）更适合，；（2）亿元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图可直接判断回归类型更适合；对两边取对数得，代入公式计算出、后即可得回归方程；‎ ‎（2）由题意，求导后得出函数的单调性后即可得解.‎ ‎【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合，‎ 对两边取对数，得，即，‎ 由表中数据得，，‎ 所以，所以，‎ 所以年研发费用和年销售量的回归方程为.‎ ‎（2）由（1）知，求导得，‎ 令，得，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，年利润取最大值亿元.‎ 故要使得年利润最大，预计下一年应投入亿元研发费用 ‎【点睛】本题考查了非线性回归方程的求解和应用，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.‎