2019届二轮复习　“杨辉三角”与二项式系数的性质课件（42张）（全国通用）（全国通用）

2019届二轮复习　“杨辉三角”与二项式系数的性质课件（42张）（全国通用）（全国通用）

“ 杨辉三角 ” 与二项式系数的性质 考纲下载 1. 了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数 . 2 . 理解二项式系数的性质并灵活运用 . 知识复习 达标检测 题型探究 内容索引 知识复习 ( a ＋ b ) n 的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式： 知识点　 “ 杨辉三角 ” 与二项式系数的性质 思考 1 　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 思考 2 　 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案　 在同一行中，每行两端都是 1 ，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它 “ 肩上 ” 两个数的和 . 答案　 2,4,8,16,32,64 ， … ，其系数和为 2 n . 思考 3 　二项式系数的最大值有何规律？ 答案　 当 n ＝ 2,4,6 时，中间一项最大，当 n ＝ 3,5 时中间两项最大 . 梳理　 (1) 杨辉三角的特点 ① 在同一行中，每行两端 都是 ， 与这两个 1 等距离的项的 系数 . ② 在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它 “ 肩上 ” 两个数 的 ，即 . 1 相等 和 (2) 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 ， 即二项展开式中，与首末两端 “ ” 的两 个 相等 增减性与最大值 如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么展开式中间一 项 的 二项式系数最大 如果 n 为奇数，那么其展开式中间两 项 与 的 二项式系数相等且同时取得最大值 等距离 二项式系数 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和 等于 ， 即 ＝ ___ 奇数项的二项式系数之和 等于 项 的二项式系数之和，都等于 2 n － 1 ， 即 ＝ _____ 2 n 偶数 2 n 2 n － 1 1. 杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列 .( 　　 ) 2. 二项式展开式的二项式系数和 为 ( 　　 ) 3. 二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同 .( 　　 ) × × × [ 思考辨析 判断正误 ] 题型探究 例 1 　 (1) 杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是 A. 第 6 行 B . 第 7 行 C . 第 8 行 D . 第 9 行 类型一　与杨辉三角有关的问题 答案 √ 解析 　 由题意，第 6 行为 1,6,15,20,15,6,1 ，第 7 行为 1,7,21,35,35,21,7,1 ， 故 第 7 行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除 . 解析 (2) 如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： 1,2,3,3,6,4,10 ， … ，记这个数列的前 n 项和为 S ( n ) ，则 S (16) 等于 A.144 B.146 C.164 D.461 √ 解析 答案 反思与感悟　 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 ______ 行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2 ∶ 3. 答案 解析 34 解析 　 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 2 ∶ 3 ，它等于二项展开式的第 14 项和第 15 项的二项式系数的比 ， 所以在第 34 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 2 ∶ 3. 例 2 　 已知 (2 x － 1) 5 ＝ a 0 x 5 ＋ a 1 x 4 ＋ a 2 x 3 ＋ a 3 x 2 ＋ a 4 x ＋ a 5 . 求下列各式的值： (1) a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 5 ； 解　 令 x ＝ 1 ，得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝ 1. 类型二　二项式系数和问题 解答 (2)| a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 5 | ； 解　 令 x ＝－ 1 ，得－ 3 5 ＝－ a 0 ＋ a 1 － a 2 ＋ a 3 － a 4 ＋ a 5 . 解答 所 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 5 | ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 ＝ 3 5 ＝ 243. (3) a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 . 解　 由 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝ 1 ， － a 0 ＋ a 1 － a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝－ 3 5 ， 得 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＝ 1 － 3 5 . 解答 引申探究 在本例条件下，求下列各式的值： (1) a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ； 解　 因为 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝ 1 ， － a 0 ＋ a 1 － a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝－ 3 5 . 解答 (2) a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ； 解　 因为 a 0 是 (2 x － 1) 5 展开式中 x 5 的系数， 所以 a 0 ＝ 2 5 ＝ 32. 又 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 5 ＝ 1 ， 所以 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝－ 31. 解答 (3)5 a 0 ＋ 4 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ 2 a 3 ＋ a 4 . 解　 因为 (2 x － 1) 5 ＝ a 0 x 5 ＋ a 1 x 4 ＋ a 2 x 3 ＋ a 3 x 2 ＋ a 4 x ＋ a 5 . 所以两边求导数得 10(2 x － 1) 4 ＝ 5 a 0 x 4 ＋ 4 a 1 x 3 ＋ 3 a 2 x 2 ＋ 2 a 3 x ＋ a 4 . 令 x ＝ 1 得 5 a 0 ＋ 4 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ 2 a 3 ＋ a 4 ＝ 10. 解答 反思与感悟 　二项展开式中系数和的求法 (1) 对形如 ( ax ＋ b ) n ， ( ax 2 ＋ bx ＋ c ) m ( a ， b ， c ∈ R ， m ， n ∈ N * ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x ＝ 1 即可；对 ( ax ＋ by ) n ( a ， b ∈ R ， n ∈ N * ) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝ 1 即可 . (2) 一般地 ， 若 f ( x ) ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a n x n ， 则 f ( x ) 展开式中各项系数之和为 f (1) ， 跟踪训练 2 　在二项式 (2 x － 3 y ) 9 的展开式中，求： (1) 二项式系数之和； 解　 设 (2 x － 3 y ) 9 ＝ a 0 x 9 ＋ a 1 x 8 y ＋ a 2 x 7 y 2 ＋ … ＋ a 9 y 9 . 解答 (2) 各项系数之和； 解　 各项系数之和为 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 9 ， 令 x ＝ 1 ， y ＝ 1 ， 所以 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 9 ＝ (2 － 3) 9 ＝－ 1. 解答 (3) 所有奇数项系数之和 . 解　 令 x ＝ 1 ， y ＝－ 1 ，可得 a 0 － a 1 ＋ a 2 － … － a 9 ＝ 5 9 ， 又 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 9 ＝－ 1 ， 解答 例 3 　 已知 f ( x ) ＝ ( ＋ 3 x 2 ) n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1) 求展开式中二项式系数最大的项； 类型三　二项式系数性质的应用 解答 解　 令 x ＝ 1 ，则二项式各项系数的和为 f (1) ＝ (1 ＋ 3) n ＝ 4 n ，又展开式中各项的二项式系数之和为 2 n . 由题意知， 4 n － 2 n ＝ 992. ∴ (2 n ) 2 － 2 n － 992 ＝ 0 ， ∴ (2 n ＋ 31)(2 n － 32) ＝ 0 ， ∴ 2 n ＝－ 31( 舍去 ) 或 2 n ＝ 32 ， ∴ n ＝ 5. 由于 n ＝ 5 为奇数 ， ∴ 展开式中二项式系数最大的项为中间的两项， (2) 求展开式中系数最大的项 . 解答 假设 T k ＋ 1 项系数最大， ∵ k ∈ N ， ∴ k ＝ 4 ， 反思与感悟　 (1) 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 ( a ＋ b ) n 中的 n 进行讨论 . ① 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大 . ② 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 . (2) 展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、 负变化情况进行分析 . 如求 ( a ＋ bx ) n ( a ， b ∈ R ) 的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法 . 设展开式中各项系数分别为 A 0 ， A 1 ， A 2 ， … ， A n ， 且第 k ＋ 1 项最大 ， 应用 解 出 k ， 即得出系数的最大项 . 跟踪训练 3 　写出 ( x － y ) 11 的展开式中： (1) 二项式系数最大的项； 解　 二项式系数最大的项为中间两项： 解答 (2) 项的系数绝对值最大的项； 解　 ( x － y ) 11 展开式的通项为 解答 (3) 项的系数最大的项和系数最小的项； 解　 由 (2) 知中间两项系数绝对值相等， 又 ∵ 第 6 项系数为负，第 7 项系数为正， 解答 (4) 二项式系数的和； 解答 (5) 各项系数的和 . 达标检测 A.8 B.6 C.4 D.2 1. 观察图中的数所成的规律，则 a 所表示的数是 解析　 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和 ， 所以 4 ＋ a ＝ 10 ，得 a ＝ 6. 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 2.(1 ＋ x ) 2 n ＋ 1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是 A. n ， n ＋ 1 B. n － 1 ， n C. n ＋ 1 ， n ＋ 2 D. n ＋ 2 ， n ＋ 3 解析　 2 n ＋ 1 为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大， √ 1 2 3 4 5 即第 n ＋ 1 项与第 n ＋ 2 项，故选 C. 答案 解析 解析　 令 x ＝ 1 ，各项系数和为 4 n ，二项式系数和为 2 n ， 1 2 3 4 5 √ 答案 解析 4. 设 ( － 3 ＋ 2 x ) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 的值为 ______. 解析 　 令 x ＝ 1 ，得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 1 . ① 1 2 3 4 5 － 15 ∴ 当 k ＝ 4 时， x 4 的系数 a 4 ＝ 16 . ② 由 ① － ② 得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝－ 15. 答案 解析 5. 已知 的 展开式中前三项的二项式系数的和等于 37 ，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 ________. 1 2 3 4 5 则第 5 项的二项式系数最大， 1. 二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 . 2. 求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定 . 一般地对字母赋的值为 0,1 或－ 1 ，但在解决具体问题时要灵活掌握 . 3. 注意以下两点： (1) 区分开二项式系数与项的系数 . (2) 求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 k ∈ {0,1,2 ， … ， n }. 规律与方法