高中数学讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题

高中数学讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题

微专题 63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算， 不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标 系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即 轴要与坐标平面 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直 底面高高向上的即是，而坐标原点即为 轴与底面的交点 2、 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么 几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于 轴上 （2）找角： 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂 直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系，所以在 标 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致 的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这 个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若 ，则 （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类 1、能够直接写出坐标的点 z z xOy z ,x y ,x y ,x y , ,x y z ,x y  2 2 2AB AC BC  AB AC （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的 点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0 （2）底面上的点：坐标均为 ，即竖坐标 ，由于底面在作立体图时往往失真，所 以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出 点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果 在底面的投影为 ，那么 （即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以 则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的 点，其投影为 ，而 所以 ，而其到底面的距离为 ，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三 个方法： 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式： ，则 中点 ， 图中的 等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系， 进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利 用向量关系解出变量的值，例如：求 点的坐标，如果使用向量计算，则设 ，可 直 接 写 出 ， 观 察 向 量 ， 而 ， 二、典型例题： 例 1 ： 在 三 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， 分 别 是 棱 的中点， ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 解： 平面 , , 'A C D x  ,0,0x y  0, ,0y z  0,0,z  , ,0x y 0z  ,H I 1 11, ,0 , ,1,02 2H I           ' 1 1, ,A x y z  2 2, ,0A x y 1 2 1 2,x x y y  'B B  1,1,0B  ' 1,1,B z 1  ' 1,1,1B    1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2 x x y y z zM       , , ,H I E F 'A  ' , ,A x y z      '1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1A B B ' 'AB A B   0,1,0AB   ' ' 1, 1, 1A B x y z    1 0 1 1 1 0 1 0 1 x x y y z z                  ' 1,0,1A P ABC PA  ABC 90BAC   , ,D E F , ,AB BC CD 1, 2AB AC PA   PA  ABC ,PA AB PA AC   I H O C A B F E D A C B P 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点： 中点： 中点 中点 中点 综上所述： 小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程 在解答题中可以省略。 例 2：在长方体 中， 分别是棱 上的点， ， ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 思路：建系方式显而易见，长方体 两两垂直， 本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 ， 如 果 设 等，则点的坐标都含有 ，不 便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐 标都为具体的数。 解：因为长方体 两两垂直 以 为轴如图建系，设 为单位长度 例 3 ： 如 图 ， 在 等 腰 梯 形 中 ， ， 90BAC   , ,PA AB AC , ,AP AB AC        0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C P :D AB 1 ,0,02     :E BC 1 1, ,02 2     :F PC 10, ,12           1 1 1 11,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2 , ,0,0 , , ,0 , 0, ,12 2 2 2B C P D E F                 1 1 1 1ABCD A B C D ,E F 1,BC CC 2CF AB CE  1: : 1: 2 : 4AB AD AA  1, ,AA AB AD 1, 2 , 4AB a AD a AA a   a 1 1 1 1ABCD A B C D 1, ,AB AD AA  1, ,AB AD AA AB 1 12, 4, 1, 2AD AA CF CE                  1 1 1 11,0,0 , 1,2,0 , 0,2,0 , 1,0,4 , 0,0,4 , 1,2,4 , 0,2,4B C D B A C D  31, ,0 , 1,2,12E F     ABCD AB CD∥ A D B C B1 C1 A1 D1 E F D A B C F ， 平面 ，且 ，建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。 思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面 找过 的相互垂直的直线即可。由 题意， 不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直 的条件，进而可以建立坐标系 方案一：（选择 为轴），连结 可知 在 中 由 可解得 平面 以 为坐标轴如图建系： 方案二（以 为轴） 过 作 的垂线 平面 以 为坐标轴如图建系： （同方案一）计算可得： 小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 轴），对于 轴的选取，如果 没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条 轴，本题中的两个方案就是选过垂足 的直线为轴建立的坐标系。 例 4：已知四边形 满足 ， 是 中点，将 翻 折 成 ， 使 得 平 面 平 面 ， 为 中点 1, 60AD DC CB ABC      CF  ABCD 1CF  ABCD C BCD BC AC 120ADC    ADC 2 2 2 2 cos 3AC AD DC AD DC ADC    3AC  3, 1, 60AC BC ABC     2, 90AB ACB    AC BC  CF  ABCD ,CF AC CF BC   , ,AC CF BC      3 10,1,0 , 3,0,0 , , ,0 , 0,0,12 2B A D F     CD C CD CM CF  ABCD ,CF CD CF CM    , ,CD CF CM 3 , 22CM AB     3 3 3 1, ,0 , , ,0 , 0, 1,0 , 0,0,12 2 2 2A B D F             z ,x y C ABCD 1, 2AD BC BA AD DC BC a   ∥ E BC BAE 1B AE 1B AE  AECD F 1B D A B E D C F A B' E D C D C A B D C A B 思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作 为已知条件使用的。本题在翻折时， 是等边三角形，四边形 为 的菱形是不 变的，寻找线面垂直时，根据平面 平面 ，结合 是等边三角形，可取 中点 ，则可证 平面 ，再在四边形 找一组过 的垂线即可建系 解：取 中点 ，连结 是等边三角形 平面 平面 平面 ，连结 四边形 为 的菱形 为等边三角形 两两垂直 如图建系，设 为单位长度 为 中点 例 5 ： 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形 ， 对 角 线 交 于 点 ，且 平面 ，点 为 的三等分点（靠近 ），建 立适当的直角坐标系并求各点坐标 思路：由 平面 ，可得 作为 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性 质，选取 作为 轴。在所有点中只有 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得 ，从而转化为向量关系即可求出 坐标 解： 平面 菱形 两两垂直 以 为坐标轴如图建系 可得： BAE AECD 60 'B AE  AECD 'B AE AE M 'B M  AECD AECD M AE M 'B M 'B AE 'B M AE  'B AE  AECD 'B M  AECD DM ' ',B M ME B M MD    AECD 60 ADE DM AE  ' , ,B M MD ME AB '1 1 3 3 3,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , 1, ,0 , 0,0,2 2 2 2 2A E D C B                           F 'B D 3 30, ,4 4F       P ABCD ,AC BD , 4, 3, 4O OA OB OP   OP  ABCD M PC P OP  ABCD OP z ,OB OC ,x y M 1 3PM PC M OP  ABCD ,OP OB OP OC    ABCD OB OC  , ,OP OB OC , ,OP OB OC          0,0,4 , 3,0,0 , 0,4,0 , 0, 4,0 , 3,0,0P B C A D  M F A B' E D C M A E D C 设 由 可得： 小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质 （2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来 例 6：如图所示的多面体中，已知正方形 与直角梯形 所在的平面互相垂直， ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐 标 思路：题目已知面面垂直，从而可以找到 与底面垂直，再由底面是正方形，可选 为 轴，图中 点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到 解： 平面 平面 又因为直角梯形 平面 正方形 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点： 底面上的点： 点两种确定方式： ① 可看其投影，落在 中点处 ，且高度为 1，所以 ② 设  , ,M x y z 1 3PM PC 1 3PM PC     , , 4 , 0,4, 4PM x y z PC     0 0 4 4 3 3 4 84 3 3 x x y y z z                      4 80, ,3 3M      ABCD BDEF EF BD∥ ， ,ED BD 2, 1AD EF ED   DE ,AD DC ,x y F  EFBD  ABCD BDEF ED DB  ED  ABCD  ABCD AD BD  , ,ED DA DC , ,DE DA DC      2,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1A C E  2, 2,0B F BD 2 2, ,02 2       F 2 2, ,12 2        , ,F x y z    , , 1 , 2, 2,0EF x y z DB     1 2EF DB   2 2 2 2 2, ,12 2 2 1 0 x y F z                A D B C F E 综上所述： 例 7：如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中心， 平面 ， ，建立适当的坐标系并确 定各点坐标 思路： 平面 ，从而 可作 轴， 只需在平面 找到过 的两条垂线即可建系 （两种方案），对于坐标只有 坐标相对麻烦，但由 可以利用向量进行计算。 解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系） 如图建系：则 设 ，则 由 可得： 综上所述： 方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系） 如图建系：由 计算可得 设 ，则 由 可得：         2 22,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1 , 2, 2,0 , , ,12 2A C E B F       1 1 1ABC A B C H 1 1AA B B 1 12 2,AA C H  1 1AA B B 1 5C H  1C H  1 1AA B B 1C H z 1 1AA B B H C 1 1C C A A       1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0A A B     12, 2,0 , 0,0, 5B C   , ,C x y z  1 , , 5C C x y z   1 0, 2 2,0A A   1 1C C A A  0 0 2 2 2 2 5 0 5 x x y y z z                 0, 2 2, 5C         1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 ,A A B B       1 0,0, 5 , 0, 2 2, 5C C  1 2 2AA  1 1 2A H B H       1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0A A B    12,0,0 , 0,0, 5B C  , ,C x y z  1 , , 5C C x y z   1 2, 2,0A A    1 1C C A A  2 2 2 2 5 0 5 x x y y z z                   2, 2, 5C   B B1 A A1 H C1C B B1 A A1 H C1C B B1 A A1 H C1C 综上所述： 小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相 对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。（相信所给的 目的也 倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会 决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特 点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础 例 8：如图，在四棱柱 中，侧棱 , , , ,且点 和 分别为 的中点。建立合适的空间直 角坐标系并写出各点坐标 思路：由 ， 可得 两两垂直，进而以它们为轴建立 坐标系，本题中 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中 点坐标相对麻烦，可 作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。 解： 侧棱 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 底面上的点： 由 可得 为等腰三角形，若 为中点，则 可 投 影 到 底 面 上 的 点 ： 因为 和 分别为 的中点 综上所述：        1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0 , 2,0,0 ,A A B B     1 0,0, 5 , 2, 2, 5C C   1 2 2AA  1 1 1 1ABCD A B C D- 1A A ABCD 底面 AB AC 1AB = 1 2, 5AC AA AD CD= = = = M N 1 1C DB D和 1A A ABCD 底面 AB AC 1, ,AA AB AC 1 1 1 1, , ,A B C D D  1A A ABCD 底面  1 1,A A AB A A AC  AB AC 1, ,AB AC AA 1, ,AB AC AA    0,1,0 , 2,0,0B C 5AD CD= = ADC P AC DP AC 2 2 2DP AD AP    1, 2,0D         1 1 1 10,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2A B C D  M N 1 1C DB D和  11, ,1 , 1, 2,12M N                  1 1 1 10,1,0 , 2,0,0 , 1, 2,0 , 0,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2B C D A B C D  P A C B D 例 9：如图：已知 平面 ，点 在 上，且 ，四边形 为直角 梯形， ，建立适当的坐标 系并求出各点坐标 思 路 ： 由 条 件 可 得 ， 而 平 面 ， 可得到 平面 ，从而 以 为轴建系。难点在于求底面梯形中 的长度。可作出平面图利用平面几何知识处 理。 解： 平面 ， 平面 两两垂直，如图建系： 中： 为等边三角形 为等边三角形 在底面 投影为 且 综上所述： 例 10：已知斜三棱柱 在底面 上的射影恰 为 的中点 ，又知 ，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：本题建系方案比较简单， 平面 ，进而 作 轴，再过 引 垂线即 可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是 的投影不易  11, ,1 , 1, 2,12M N     PO  ABCD O AB EA PO∥ ABCD 1, , 2, 2AD BC BC AB BC CD BO PO EA AO CD      ∥ AB AD PO  ABCD EA PO∥ EA  ABCD , ,EA AB AD ,AB OD PO  ABCD EA PO∥  EA  ABCD ,EA AB EA AD   ,AD BC BC AB ∥ AD AB  , ,AE AD AB 1 12EA CD   0,0,1E Rt AOB 2 2 3AB OB OA   1cos 602 AOAOB AOBBO      AD BC ∥ 60BOC AOB     BC BO BOC OC BC CD   60OCB   60DOC   COD 2OD CD          3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0B O D C P ABCD O 2PO   0,1,2P            3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0 , 0,1,2 , 0,0,1B O D C P E 1 1 1 1, 90 , 2,ABC A B C BCA AC BC A     ABC AC D 1 1BA AC 1A D  ABC 1A D z D AC 1B DA C B A1 B1 C1 O A D B C O 在图中作出（需要扩展平面 ），第一个问题可先将高设为 ，再利用条件 求 解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。 解：过 作 的垂线 ， 平面 ，而 以 为轴建立直角坐标系 ，设高为 则 ，设 则 由 可得： ，解得 设 而 且 综上所述： ABC h 1 1BA AC D AC DM 1A D  ABC 1 1,A D DC A D DM   DM DC  1 , ,A D DC DM      0, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0A C B h  1 0,0,A h  1 , ,C x y z    1 10,2,0 , , ,AC AC x y z h    1 1AC AC  0 0 2 2 0 x x y y z h z h               1 0,2,C h    1 12, 1, , 0,3,BA h AC h     2 1 1 1 1 0 3 0BA AC BA AC h          3h     1 10,0, 3 , 0,2, 3A C  1 , , 3B x y  1 1 , ,0A B x y   2,2,0AB  1 1A B AB  2 2 x y    1 2,2, 3B            1 1 10, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0 , 0,0, 3 , 0,2, 3 , 2,2, 3A C B A C B A C B D