高考数学复习阶段滚动检测(二)

高考数学复习阶段滚动检测(二)

阶段滚动检测（二） （第一～四章） （120 分钟 150 分） 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)已知命题 p:对任意的 x∈R，有 sinx≤1，则﹁p 是( ) (A)存在 x∈R，有 sinx≥1 (B)对任意的 x∈R，有 sinx≥1 (C)存在 x∈R，有 sinx＞1 (D)对任意的 x∈R，有 sinx＞1 2.(2011·四川高考)复数 =( ) (A)-2i (B) i (C)0 (D)2i 3.若 =(1,1), =(3,8), =(0,1), =(a,b),则 a+b=( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 4.过原点和复数 1-i 在复平面内对应点 P 的直线 OP 的倾斜角为( ) 5.已知 tanα=- ，则 的值是( ) 6.(2012·青岛模拟)已知非零向量 满足 且 ，则 1i i − + 1 2 AB AC AD BC CD+  ( ) ( ) ( ) ( )3 2A B C D4 4 4 3 π π π π− 1 2 sin2 2cos2 4cos2 4sin2 α + α α − α ( ) ( ) ( ) ( )5 5 1 1A B C D2 2 14 14 − − 、a b | |+ = −a b a b 3 =2 2a b 的夹角为( ) 7.已知点 O(0,0),A(2,1),B(-1,7)， 又 ，且| |=2，则 Q 点的坐标为( ) 8.(滚动单独考查)如图所示，单位圆中弧 的长为 x, f(x)表示弧 与弦 AB 所围成弓形的面积的 2 倍，则函数 y=f(x)的图象是( ) 9.(2012·杭州模拟)若点 H 是△ABC 的垂心，且 ，则点 O 是 △ABC 的( ) (A)垂心 (B)内心 −与a b a ( ) ( ) ( ) ( ) 2A B3 3 5C D6 6 π π π π 1OP OA BA3 = +  ， OQ OP⊥  OQ ( ) ( ) ( ) ( ) 10 3 10 10 3 10 10 3 10A ( , ) ( , ) B ( , )5 5 5 5 5 5 10 3 10 10 3 10 10 3 10C ( , ) D ( , ) ( , )5 5 5 5 10 10 − − − − 或 或 AB AB OH OA OB OC= + +    (C)外心 (D)重心 10.在△ABC 所在的平面上有一点 P，满足 ，则△PBC 与△ABC 的 面积之比是( ) 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横 线上) 11.(2012·衢州模拟)在△ABC 中，D 在线段 BC 上， ， 则 =____________. 12.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30°、 60°，则塔高为 ____________m. 13.已知α∈(0,π)，sinα+cosα= ，则 sinα-cosα=____________. 14.(滚动单独考查)已知 则 f(x)的解析式为______. 15.给出下列 4 个命题: ①非零向量 满足 ，则 的夹角为 30°; ②“ ＞0”是“ 的夹角为锐角”的充要条件; ③将函数 y=|x+1|的图象按向量 =(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式 为 y=|x+2|; ④在△ABC 中，若 则△ABC 为等腰三角形. 其中正确的命题是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上) PA PB PC AB+ + =    ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1A B3 2 2 3C D3 4 BD 2DC,AD m AB nAC= = +     m n 1 5 − 2 2 1 x 1 xf 1 x 1 x − −=+ +（ ） ， ，a b | |= = −a b a b +与a a b a b a b a ( ) ( )AB AC AB AC 0,+ − =     三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16.(13 分)已知函数 f(x)=cos2x+sinxcosx (x∈R). (1)求 f( )的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 17.(13 分)(2012·哈尔滨模拟)在四边形 ABCD 中， 方向上的投影为 8. (1)求∠BAD 的正弦值; (2)求△BCD 的面积. 18.(13 分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC 中，已知内角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c，且满足 (1)求 B 的大小; (2)如果 b=2，求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. 19.(13 分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足 设 Q 为 CP 延 长线与 AB 的交点，求证： . 20.(14 分)已知点 F(1,0)，点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上运动，设 P(0,b)， M(a,0)且 ，动点 N 满足 . (1)求点 N 的轨迹 C 的方程; 3 8 π AD 12, CD 5, AB 10,= = =   DA DC AC ,+ =   AB AC 在 2 B2sinB(2cos 1) 3cos2B.2 − = − AP 2BP 3CP+ + =   ，0 CQ 2CP=  PM PF 0=   2PN NM+ =  0 (2)F′为曲线 C 的准线与 x 轴的交点，过点 F′的直线 l 交曲线 C 于不同的两点 A、B，若 D 为 AB 的中点， 在 x 轴上存在一点 E，使 求 的取 值范围(O 为坐标原点). 21.(14 分)(滚动单独考查)函数 f(x)=x3-(a+1)x+a,g(x)=xlnx. (1)若 y=f(x)，y=g(x)在 x=1 处的切线相互垂直，求这两个切线方程; (２)若 F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增，求 a 的取值范围. 答案解析 1.【解析】选 C.“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”，故选 C. 2.【解析】选 A. .故选 A. 3.【解析】选 A.∵ =(-1,0),∴a=-1,b=0,∴a+b=-1. 4.【解析】选 C.设倾斜角为α，如图所示,易知α＝ 5.【解析】选 C.tanα=- 则 tan2α=- 原式= ( )AB AE AD 0− =    ， OE 2 1 ii i i i 2ii i −− + = − + = − − = −− BC CD BD AD AB+ = = −     3 .4 π 1 ,2 4 ,3 tan2 2 1 .4 4tan2 14 α + =− α 6.【解析】选 A.∵ ∴ ∴ 设 的夹角为θ，则 又θ∈［0,π］,∴θ= 7.【解题指南】设 Q 点的坐标为(x,y)，根据条件列出关于 x、y 的方程组. 【解析】选 A. =(2,1)+ (3,-6)=(3,-1),设 Q 点的坐标为(x,y)，则 根据题意列方程组 ，解之得 8.【解题指南】可根据 f(x)递增速度的快慢解答. 【解析】选 D.当弦 AB 未过圆心时，f(x)以递增速度增加，当弦 AB 过圆心后，f(x) 以递减速度增加，易知 D 正确. 9. 【 解 析 】 选 C. 取 BC 的 中 点 D ， 则 又 ∴点 O 在 BC 的中垂线上. 同理点 O 在 CA、AB 的中垂线上，所以点 O 是△ABC 的外心. 10.【解析】选 C.由 得 即 即 所以点 P 是 CA 边上的一个三等 分点，故 11.【解析】由题意 ∴ | |,+ = −a b a b 2 2 2 22 2 , 0,+ + = − + ∴ =  a a b b a a b b a b 2 2 2( ) | | ,− = − = − = − a b a a b a a a 2 2 2 2 2| | ( ) 2 3 0 2 | |,− = − = − + = − + =b a b a b a b a a a a −与a b a 2( ) 1cos ,| || | 2 | | 2 −−θ = = = −−   aa b a a b a a a 2 .3 π OP 1 3 2 2 3x y 0 x y 4 − =  + = 10 10x x5 5 . 3 10 3 10y y5 5  = = −     = = −   或 OH OA OB OC AH OB OC,= + + ⇒ = +       OB OC 2OD, AH 2OD.+ = ∴ =     AH BC OD BC,⊥ ∴ ⊥ ， PA PB PC AB,+ + =    PA PB PC AB ,+ + − =    0 PA PB BA PC ,+ + + =    0 PA PA PC ,+ + =  得 0 2PA CP= ， PBC ABC 1 BC PC sinCS BC PC 22 .1S BC AC 3BC AC sinC2 = = =       AD m AB n AC,= +   AD AB BD= +  又 2AB BC3 = +  ( )2AB AC AB3 = + −   1 2AB AC3 3 = +  1 2 1 2 m 1m AB n AC AB AC m ,n , .3 3 3 3 n 2 + = + ∴ = = ∴ =   ， 答案： 12.【解析】如图所示，设塔高为 h m.由题意及图可知: (200-h)·tan60°= .解得:h= (m). 答案： 13.【解析】∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα= 又α∈(0,π),∴sinα＞0，∴cosα＜0，sinα-cosα＞0, 又(sinα-cosα)2=(sinα+cosα)2-4sinαcosα= -2×( )= . ∴sinα-cosα= . 答案： 14.【解析】令 ，由此得 , 所以 f(t)= 从而 f(x)的解析式为 f(x)= 答案：f(x)= 15.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当 的夹角为 0°时， 也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正 确；④可得 即 ,正确.所以①③④正确. 答案：①③④ 16.【解题指南】(1)在 f(x)的表达式中有平方、有乘积，所以首先应该想到降 幂.降幂可以用二倍角公式进行. (2)f(x)= sin2x+ cos2x+ 考虑到和角公式，需增辅助角. 【解析】 1 2 200 tan60° 400 3 400 3 1 25 24 ,25 − 1 25 24 25 − 49 25 7 5 7 5 1 xt 1 x −= + 1 tx 1 t −= + 2 2 2 1 t1 2t1 t ,1 t 1 t1 1 t −− + =− ++ + （ ） （ ） 2 2x .1 x+ 2 2x 1 x+ ，a b 0 ＞a b 2 2 AB AC ,=  AB AC= 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 cos2x 1f x sin2x2 2 += + 1 1 1sin2x cos2x2 2 2 = + + 2 2 2 1( sin2x cos2x)2 2 2 2 = + + (1) (2)令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,∴ ,k∈Z, 即 (k∈Z)时，f(x)单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为［ ］(k∈Z). 【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧. (1)变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角； (2)变名：尽可能减 少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明) 问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 17. 【 解 析 】 (1) ∵ ， ∴ ∠ ADC=90 ° ， 在 Rt △ ADC 中 ， ∴ cos∠DAC= ,sin∠DAC= .∵ 方向上的投影 为 8， ∴| |cos∠CAB=8,| |=10,∴cos∠CAB= ,∵∠CAB∈(0,π), ∴sin∠CAB= ,∴sin∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)= (2)S△ABC= sin∠BAC=39,S△ACD= =30, S△ABD= ∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD= 18.【解析】(1)2sinB( )=- cos2B⇒2sinBcosB=- cos2B⇒tan2B=- ,∵0＜B＜ ,∴0＜2B＜π,∴2B= ∴B= . (2)由(1)知 B= ∵b=2，由余弦定理，得:4=a 2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立),∵△ABC 的面积 ∴△ABC 面积的最 2 1sin(2x ) ,2 4 2 π= + + 3 2 1 1f ( ) sin .8 2 2 2 π = π + = 2 π 4 π 2 π 32k 2x 2k4 4 π ππ − ≤ ≤ π + 3k x k8 8 π ππ − ≤ ≤ π + 3k ,k8 8 π ππ − π + DA DC AC+ =   AD 12 CD 5,= = ， AC 13,= 12 13 5 13 AB AC 在 AB AB 4 5 3 5 56.65 1 AB AC2     1 AD CD2    1 672AB AD sin BAD ,2 13 ∠ =    225.13 2 B2cos 12 − 3 3 3 2 π 2 ,3 π 3 π 3 π ABC 1 3S acsinB ac 3,2 4 = = ≤  大值为 . 19.【证明】∵ ∴ ∴ 又∵A，B，Q 三点共线,C，P，Q 三点共线, 故可设 ∴λ ∴ 而 为 不 共 线 向 量 , ∴ ∴ λ =-2, μ =-1. ∴ 故 20.【解析】(1)P(0,b),M(a,0),设 N(x,y),由 ① 由 ⇒ ② 将②代入①得曲线 C 的轨迹方程为 y2=4x. (2) 由 (1) 得 点 F ′ 的 坐 标 为 (-1,0) ， 设 直 线 l:y=k(x+1), 代 入 y2=4x ， 得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0), 则 ,y0= ∵ 故直线 DE 的方程为 令 y=0，得 xE=1+ (0＜k2＜1)⇒xE＞3,即| |的取值范围是(3,+∞). 【方法技巧】 利用向量法解决解析几何问题 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从 而进行运算. (2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描 3 AP AQ QP,BP BQ QP,= + = +      ( ) ( )AQ QP 2 BQ QP 3CP ,+ + + + =     0 AQ 3QP 2BQ 3CP ,+ + + =    0 AQ BQ,CP QP,= λ = µ    BQ 3QP 2BQ 3 QP ,+ + + µ =    0 ( 2)BQ (3 3 )QP .λ + + + µ =  0 BQ QP ， 2 0 .3 3 0 λ + =  + µ = CP QP PQ.= − =   CQ CP PQ 2CP.= + =    2PM PF 0 a b 0,= ⇒ + =   2PN NM+ =  0 ( ) 2x a x 0 2 y b y 0 + − = − − = a x .1b y2 = −⇒  = 2 2k 0 0 k 1 0  ≠ ⇒∆ ＜ ＜ ＞ 2 0 2 2 kx k −= 2 ,k ( )AB AE AD 0 AB DE,− = ⇒ ⊥      2 2 2 1 2 ky (x )k k k −− = − − ， 2 2 k OE 述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和 圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答. 21.【解析】(1)f′(x)=3x2-(a+1),g′(x)=lnx+1,∴f′(1)=2-a,g′(1)=1, ∵两曲线在 x=1 处的切线互相垂直,∴(2-a)×1=-1,∴a=3,∴f′(1)=-1， f(1)=0, ∴y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 x+y-1=0. 同理，y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 x-y-1=0. (2)由 F(x)=x3-(a+1)x+a-xlnx 得 F′(x)=3x2-(a+1)-lnx-1=3x2-lnx-a-2, ∵F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增,∴F′(x)≥０恒成立,即 a≤3x 2-lnx-2, 令 h(x)=3x2-lnx-2,h′(x)=6x- (x＞0)，令 h′(x)＞０得 x＞ 令 h′(x)＜ ０得 0＜x＜ ,∴h(x)min=h( )= , ∴a 的取值范围为(-∞, ］. 1 x 6 ,6 6 ,6 6 6 3 1 ln62 2 − + 3 1 ln62 2 − +