2018届二轮复习（文）　直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用）

规范答题示例7　直线与圆锥曲线的位置关系 典例7　(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值；　②求△ABQ面积的最大值．‎ 审题路线图　(1)―→ ‎(2)①―→ ‎②―→‎ ―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)由题意知＋＝1.又＝，‎ 解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 2分 ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．‎ 因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，‎ 所以λ＝2，即＝2. 5分 ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．‎ 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系．‎ 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系．‎ 第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系．‎ 第五步 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，‎ 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，(*)‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|x1－x2|＝.‎ 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，‎ 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2. 8分 设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. (**)‎ 由(*)(**)可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，‎ 故00”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．‎ 跟踪演练7　(2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，‎ 则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝ ，得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)证明　由题意知F(－1,0)．‎ 设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，‎ ＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，‎ 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎