2018-2019学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学（创新班）

2018-2019学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学（创新班）

2018-2019 学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学 （创新班） （考试用时：120 分钟 总分：150） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求． 1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则 a6＝( ) A．－3 B．－4 C．－5 D．2 2．直线 x－ 3y－1＝0 的倾斜角α的大小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知直线 l 过定点 P(－1，2)，且与以 A(－2，－3)，B(－4，5)为端点的线段(包含端点) 有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A．[－1，5] B．(－1，5) C．(－∞，－1]∪[5，＋∞) D．(－∞，－1)∪(5，＋∞) 4．如果数列{an}满足 a1＝2，a2＝1，且an－1－an an－1 ＝an－an＋1 an＋1 (n≥2)，则{an}的第 10 项等于( ) A． 1 210 B． 1 29 C．1 5 D． 1 10 5．已知{an}的通项公式是 an＝ n n2＋156 (n∈N＋)，则数列的最大项是第( )项 A．12 B．13 C．12 或 13 D．不确定 6．已知点 P(x，y)到 A (0，4)和 B(－2，0)的距离相等，则 2x＋4y 的最小值为( ) A．2 B．4 2 C．4 D．8 2 7．设直线 l 的斜率为 k，且－1＜k≤ 3，求直线 l 的倾斜角α的取值范围( ) A．[0，π 3)∪(3π 4 ，π) B．[0，π 6)∪(3π 4 ，π) C．(π 6 ，3π 4 ) D．[0，π 3]∪(3π 4 ，π) 8．已知数列{an}的通项公式为 an＝log2 n＋1 n＋2 ，n∈N+，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn＜－5 成 立的正整数 n 有( ) A． 最小值 63 B． 最大值 63 C． 最小值 31 D． 最大值 31 9．设入射线光线沿直线 2x－y＋1＝0 射向直线 y＝x，则被 y＝x 反射后，反射光线所在的直 线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．3x－2y＋1＝0 D．x＋2y＋3 ＝0 10．给出下列五个命题: ①过点(－1，2)的直线方程一定可以表示为 y－2＝k(x＋1)(k∈R)的形式； ②过点(－1，2)且在 x，y 轴截距相等的直线方程是 x＋y－1=0； ③过点 M(－1，2)且与直线 l:Ax＋By＋C＝0(AB≠0)垂直的直线方程是 B(x＋1)＋A(y－2) ＝0； ④设点 M(－1，2)不在直线 l:Ax＋By＋C＝0(AB≠0)上,则过点 M 且与直线 l 平行的直线方 程是 A(x＋1)＋B(y－2)＝0； ⑤点 P(－1，2)到直线 ax＋y＋a2＋a＝0 的距离不小于 2． 以上命题中，正确的序号是 . A．②③⑤ B．④⑤ C．①④⑤ D．①③ 11．对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数．已知正数数列{an}满足 Sn＝1 2 an＋ 1 an ，n∈ N+，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 1 [S1] ＋ 1 [S2] ＋…＋ 1 [S80] ＝( ) A．2323 140 B．5241 280 C．2603 140 D．5171 280 12．已知数列{an}中，a1＝2，n(an+1－an)＝an＋1，n∈N+．若对于任意的 t ∈[0 ，1 ] ，不等式 an+1 n+1 ＜－2t2－(a＋1)t＋a2－a＋3 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－ ∞ ，－1)∪(3，＋ ∞ ) B．(－ ∞ ，－2]∪[1，＋ ∞ ) C．(－ ∞ ，－1]∪[3，＋ ∞ ) D．[－1，3] 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 an＝ 14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是 . 15．已知 a，b，c 均为正数，且(2a＋b)(b＋2c)＝1，则 1 a+b+c 的最大值是 ． 16．对于任一实数序列 A＝{ a1，a2，a3，…}，定义A 为序列{ a2－a1，a3－a2，a4－a3，…}， 它的第 n 项是 an+1－an，假定序列(A)的所有项都是 1，且 a18＝a2017＝0，则 a2018＝ ________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 10 分) 已知直线 l1：ax＋by＋1＝0(a，b 不同时为 0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0． (1)若 b＝0 且 l1⊥l2，求实数 a 的值； (2)当 b＝3 且 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离． 18．(本小题满分 12 分) 已知直线 l1：2x－y＋2＝0 与 l2：x＋2y－4＝0，点 P(1，m)． (1)若点 P 到直线 l1，l2 的距离相等，求实数 m 的值； (2)当 m＝1 时，已知直线 l 经过点 P 且分别与 l1，l2 相交于 A，B 两点，若 P 恰好平分线 段 AB，求 A，B 两点的坐标及直线 l 的方程． 19．(本小题满分 12 分) 已知数列{an}中，a1＝1，其前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝(n＋1)an(n ∈ N+ )． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝3n－λa2n，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围． 20．(本小题满分 12 分) 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上， D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m2，则 AN 的长度应在什么范围内？ (2)当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小值． 21．(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的两条高所在直线方程为 x＋y＝0，2x－3y＋1＝0，顶点 A(1，2)，求直线 BC 的方程 22．(本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an＝5Sn＋1 成立，记 bn＝4＋an 1－an (n ∈N+)． (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式； (2)求证：①b2k－1＋b2k＜8 对 k∈N+恒成立．②Rn＜4n 对 n∈N+恒成立，其中 Rn 为数列{bn} 的前 n 项和． (3)记 cn＝b2n－b2n－1(n∈N+)，Tn 为{cn}的前 n 项和，求证：对任意正整数 n，都有 Tn＜3 2. 期中考试 答案 AAACC BDAAB BC 13．an＝ 14．(4,-2) 15．1 16．1000 17．(1) a=2； (2) 18． [解] (1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即 nan＋1＝(n＋1)an，∴ an＋1 n＋1 ＝ an n ，∴ an n ＝ an－1 n－1 ＝…＝ a1 1 ＝1， ∴an＝n(n∈N)． (2)bn＝3n－λn2. bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)． ∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ< 2·3n 2n＋1 . 令 cn＝ 2·3n 2n＋1 ，即 cn＋1 cn ＝ 2·3n＋1 2n＋3 · 2n＋1 2·3n ＝ 6n＋3 2n＋3 >1. ∴{cn}为递增数列，∴λ2)，则由 |DN| |AN| ＝ |DC| |AM|得|AM|＝ 3x x－2.所以 S 矩形 AMPN＝|AN|·|AM|＝ 3x2 x－2. (1)由 S 矩形 AMPN>32，得 3x2 x－2>32.又 x>2，所以 3x2－32x＋64>0，解得 28.所 以 AN 的长度的取值范围为 8 3∪(8，＋∞)． (2)因为 S 矩形 AMPN＝ 3x2 x－2＝错误!＝3(x－2)＋ 12 x－2＋12≥2 12 x－2＋12＝24，当且仅当 3(x－2) ＝ 12 x－2，即 x＝4 时，等号成立． 所以当 AN 的长度是 4 m 时，矩形 AMPN 的面积最小，最小值为 24 m2. 21.2x+3y+7=0 22.(1)当 n＝1 时，a1＝5a1＋1，∴a1＝－ 1 4. 又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1， ∴an＋1－an＝5an＋1，即 an＋1＝－ 1 4an， ∴数列{an}成等比数列，其首项为 a1＝－ 1 4，公比 q＝－ 1 4， ∴an＝(－ 1 4)n，∴bn＝. (2)由(1)知 bn＝4＋错误!. ∵b2k－1＋b2k＝8＋错误!＋错误! ＝8＋ 5 16k－1－ 20 16k＋4＝8－错误!＜8， ∴当 n 为偶数时，设 n＝2m(m∈N*)， 则 Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－1＋b2m)＜8m＝4n； 当 n 为奇数时，设 n＝2m－1(m∈N*)， 则 Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－3＋b2m－2)＋b2m－1＜8(m－1)＋4＝8m－4＝4n， ∴对一切的正整数 n，都有 Rn＜4n， ∴不存在正整数 k，使得 Rn≥4k 成立． (3)由(1)知 bn＝4＋错误!， ∴cn＝b2n－b2n－1＝ 5 42n－1＋ 5 42n－1＋1 ＝错误! ＝错误!＜错误!＝ 25 16n. 又 b1＝3，b2＝ 13 3 ，∴c1＝ 4 3.当 n＝1 时，T1＜ 3 2； 当 n≥2 时，Tn＜ 4 3＋25×( 1 162＋ 1 163＋…＋ 1 16n)＝ 4 3＋25× 1 16＜ 4 3＋25× 1 16＝ 69 48＜ 3 2， ∴对任意正整数 n，都有 Tn＜ 3 2.