重庆市沙坪坝区南开中学校2020届高三11月月考数学（文）试题

重庆市沙坪坝区南开中学校2020届高三11月月考数学（文）试题

重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测考试 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，进而求补集即可.‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数为纯虚数，则实数（ ）‎ A. 48 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用除法运算化简复数，结合纯虚数概念，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 又复数为纯虚数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的分类、复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知，且，则实数（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.‎ ‎4.“”是直线不过第二象限的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分性与必要性的定义即可作出判断.‎ ‎【详解】直线可化为：，‎ 直线过定点，如图所示：‎ ‎∴“”是直线不过第二象限的充要条件，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎5.正方体，，分别为,中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值．‎ ‎【详解】正方体，，分别为,中点，‎ 取的中点为，连接、，‎ 易知：∥，‎ ‎∴为异面直线与所成角，‎ 设，则，‎ ‎∴cos∠FD1N．‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎6.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ）‎ A. 150 B. 167 C. 184 D. 201‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第一个孩子分配到a1斤锦，利用等差数列前n项和公式得：7＝996，从而得到a1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数．‎ ‎【详解】解：设第一个孩子分配到a1斤锦，‎ 则由题意得：7＝996，‎ 解得a1＝65，‎ ‎∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎7.设实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.‎ ‎【详解】根据题意可设 对于A，不成立；‎ 对于B，不成立；‎ 对于D，，不成立；‎ 而对于C，成立，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查不等式性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎8.若直线与相切，则实数（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为：求出在此点处的切线方程，对比，即可得到结果.‎ ‎【详解】设切点为： ，‎ ‎∴在此点处的切线方程为：‎ ‎ ，即 ‎∴ ，解得，‎ 故选：B ‎【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．‎ ‎9.已知点是区域内任意一点，且仅在处取得最大值，则的范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．‎ ‎【详解】解：画出可行域如图所示，‎ 其中A（，），B（3，1），C（1，3），‎ 若目标函数z＝ax+y仅在点（，）取得最大值，‎ 由图知，直线z＝ax+y的斜率小于直线x+y＝4的斜率， ‎ 即﹣a＜﹣1，‎ 解得a∈（1，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．‎ ‎10.抛物线与过点的直线交于，，若存在横坐标为2的点满足，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，‎ ‎，又有可得，从而可得：，方程有解可得结果.‎ ‎【详解】设直线的方程为：，‎ 代入抛物线方程可得：，‎ 设A（，）、B（，），‎ ‎∴ ‎ 由可得：，‎ 联立方程： ，可得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 此时 即，‎ ‎∴ ，即 ，‎ ‎∴的最大值为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎11.由排成的数表如下：‎ 数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第行的末项恰为前行的首项的和（例如）.若有，则的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，从而可得，即，又，所以，即可得到的前项和.‎ ‎【详解】由题意可得： ‎ 第行：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴数表{}： 2，‎ ‎ 4，6‎ ‎ 8，10，12，14‎ ‎ ‎ 即 故的前项和为，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎12.数列满足满足，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用累加法及裂项相消法，即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.‎ ‎13.已知正实数，满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】∵正实数，满足，‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值为8，‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.‎ ‎14.已知函数在处取得最大值，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，代入即可得到结果．‎ ‎【详解】∵函数处取得最大值，‎ ‎∴‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知非零平面向量，，满足，，且，则的最大值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，根据题意可设：，‎ 可得，而，利用均值不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ 而，‎ ‎∴，即的最大值为1，‎ 故答案：1‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积 ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，结合正弦定理可得，从而得到结果；‎ ‎（2）由于，所以，结合余弦定理可得，利用面积公式可得答案．‎ ‎【详解】（1）因为，则 从而，‎ ‎（2）由于，所以，又余弦定理：，解得，‎ 所以面积为 ‎【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用．‎ ‎17.已知公差不为0的等差数列的前项和为，，，成等比数列，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式；‎ ‎（2）利用可得，结合错位相减法可得结果．‎ ‎【详解】（1）解得，而，‎ 所以，，‎ ‎（2）由于，则.‎ 相减得，又有，从而.则，‎ ‎，‎ 相减得：‎ 得 ‎【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．‎ ‎18.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值，由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.‎ 分组 频数 频率 ‎8‎ ‎16‎ ‎0.16‎ ‎4‎ ‎0.04‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ ‎（1）求图中，的值；‎ ‎（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间和内为合格品，重量在区间内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件，现有两种销售方案：‎ 方案一：对剩余零件不再进行检测，回收处理这100件样本中的不合格品，余下所有零件均按150元/件售出；‎ 方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出.‎ 仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由.‎ ‎【答案】（1），（2）选方案二，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图先求出b，由此列方程能求出a；‎ ‎（2）分别计算方案一与方案二的收入的均值，比较即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）由题知，.‎ ‎（2）该工厂若选方案一：可收入元 若选方案二：收入为元，‎ 利润方案二比方案一高1980元，所以，选方案二.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了决策性问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知离心率为的椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴顶点的动点.当轴时，面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）的内角平分线交轴于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程；‎ ‎（2）设，则直线：；：,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到，表示目标即可.‎ ‎【详解】（1），，，解得，，，所以方程为.‎ ‎（2）设，则直线：；：‎ 设，由于是角平分线，，，‎ 从而，由于，，则.‎ 化简得；则.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的极值点；‎ ‎（2）若极大值大于1，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数的极值点；‎ ‎（2）由（1），和时，无极大值，不成立；当时，当时分别利用极大值大于1，建立不等关系即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，在单减，单增，极小值点为；‎ 时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为；‎ 时，在单增，无极值点；‎ 时，在单增，单减，单增，极小值点为，极大值点为.‎ ‎（2）由（1），和时，无极大值，不成立 当时，极大值，解得，‎ 由于，所以.‎ 当时，极大值，得，令，则 ‎，在取得极大值，且.‎ 而，,而在单增，所以解为，则.‎ 综上.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎21.在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，过圆的圆心作倾斜角的直线.‎ ‎（1）写出圆的普通方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）直线分别与，轴交于，，求最大值和面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）圆的普通方程为，圆心为，（为参数）（2）无最大值，面积最小为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意圆的普通方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）分别令，得，，表示与面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）圆的普通方程为，圆心为 直线的参数方程为 ‎（2）分别令，得，，，‎ 当最小时取最大，由于，.所以，无最大值.‎ 时，，时，‎ 则面积为，‎ 时取等号.‎ ‎【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎22..‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）设（1）中最小值为，若,，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．‎ ‎【详解】（1）‎ 时，，，∴‎ 时，，∴‎ 时，，，，∴‎ 综上 ‎（2），，则，‎ 所以：‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．‎ ‎ ‎