2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：先化简集合P,Q，再求.
详解：由题得，，
所以.
故答案为：D.
点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.
2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当时，不等式恒成立，
对一切非零实数均成立，
由于
当且仅当时取等号，
故的最小值等于
则实数的取值范围为
故答案选
3．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合与集合之间关系的表示符号及与的结果判断正确的选项.
【详解】
A．表示元素与集合的关系，故错误；
B．，故正确；
C．，故错误；
D．，故错误.
故选B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，难度较易.集合中，“”符号只能用在元素与集合的关系上.
4．，的一个必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
选择，的一个必要条件，即选出可以由，推出的结果。
【详解】
，，故选C．
【点睛】
本题考查必要条件的定义，根据结果找条件，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁是谁的什么条件，谁可以推出谁。属于基础题。
5．设集合A=(x|−12
0成立；
当a>1时,b>0,此时(a−1)b>0成立；
故是(a−1)b>0的充分条件；
若(a−1)b>0，
∵a>0且a≠1，
当01时,b>0,此时，
故是(a−1)b>0的必要条件；
综上所述：是(a−1)b>0的充要条件；
故选C.
二、填空题
8．非负实数满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
作出可行域，如图：
如图在点处取得最小值，最小值为.
故答案为：
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9．已知集合，，则______．
【答案】
【解析】
∵，
∴
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
10．若不等式的解集为，则 ．
【答案】11
【解析】
试题分析：与不等式对应的方程的根为，由根与系数的关系可知
考点：1．三个二次关系；2．根与系数的关系
11．已知下列四个条件：①；②；③；④．其中能推出成立的有____________个．
【答案】①,②,④;
【解析】
①若b>0>a，则，故①正确；
②若0>a>b，则ab>0，∴，即.故②正确；
③若a>0>b，则，故不能推出，因此③不正确；
④若a>b>0，则，即，故④正确。
因此其中能推出成立的是①②④。
12．若对一切恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析：当时，原不等式化为不恒成立.当时，原不等式化为
恒成立.当且时，，解得.综上，的范围是.
考点：一元二次不等式.
【思路点晴】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.由于不等式最高次项为二次，所以首先考虑二次项系数是否为零，分别令，验证后可得成立.当且时，不等式为一元二次不等式，要小于零恒成立，则需要开口向下且判别式小于零，由此列出不等式组，解这个不等式组，求可以求得的取值范围.
13．已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
求出的最小值及最小值点，分别把“”和“的最小值与的最小值相等”当做条件，看看能否推出另一结论即可判断.
【详解】
∵f(x)＝x2＋bx＝2－，当x＝－时，f(x)min＝－.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝2－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．
【点睛】
该题考查的是有关充分条件与必要条件的问题，在解题的过程中，需要注意相关的定义，能推出
，则有p是q的充分条件，q是p是必要条件，结合题中所给的相关的结论，推出结果即可.
三、解答题
14．设命题，命题,；如果“”为真，“”为假，求的取值范围.
【答案】
【解析】
试题分析：首先确定为真时实数的取值范围,再根据为真，为假可知一真一假,分两种情况:真假时,假真,即可得的取值范围.
试题解析：解：
对任意的恒成立，
令，∴
∴
，∴或
命题为真，为假，则中一真一假
或
∴的取值范围为或.
考点：1.简单逻辑联结词；2.一元二次不等式.
15．已知区域的面积为，点集在坐标系中对应区域的面积为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
画出不等式对应的可行域（如图所示），注意直线过定点，从而求出的中点后可求的值．
【详解】
解：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．
直线过定点，
点集在坐标系中对应区域的面积为，
则直线过中点．
由，解得即．
又，∴BC的中点为，则，解得．
【点睛】
在直线方程中，如果方程含有参数，则需考虑方程对应的直线是否过定点，如果过定点，则有助于计算的简化．
16．若x，y为正实数，求证：，并说明等号成立的条件.
【答案】当且仅当时取等号，证明见解析
【解析】
【分析】
由题意，.
【详解】
由题意，可得：，当且仅当时取等号，
又，当且仅当时取等号，
联立解得，
故，当且仅当时取等号.
【点睛】
本题考查了基本不等式的运用，考查了不等式的证明，属于中档题.
17．解关于的不等式.
【答案】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.
【解析】
试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.
试题解析：当时，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.
18．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|y＝3－x，0≤x≤3}，若A∩B是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
由A∩B是只有一个元素得到二次方程有且仅有一个根，通过判别式分类讨论，结合二次方程相应得函数列出满足条件的不等式，求出m的范围.
【详解】
解：集合A表示抛物线上的点，抛物线y＝－x2＋mx－1开口向下且过点(0，－1)．
集合B表示线段上的点，要合A∩B只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图：
由图①知，在函数f(x)＝－x2＋mx－1中，其与x轴两交点横坐标之积为1，只要f(3)＞0即可，即m＞.
由图②知，抛物线与直线在x∈[0，3]上相切，即⇒x2－(m＋1)x＋4＝0⇒Δ＝(m＋1)2－16＝0，解得m＝3或m＝－5.
当m＝3时，切点为(2，1)，适合；
当m＝－5时，切点为(－2，5)，舍去．
∴实数m的取值范围是.
【点睛】
本题考查了集合的基本运算性质以及数形结合的思想.
19．设 是定义在 上的奇函数，且对任意的实数 ,当
时，都有,
（1）若 ,试比较 与 的大小;
（2）解。
（3）如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求
的取值范围.
【答案】(1) ； (2) ；(3) .
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义和题设条件可证得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；
（2）利用函数的单调性去掉 ，得到不等式组，解不等式组可得答案；
（3）先解两个函数的定义域，由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c的不等式，可得c的取值范围．
【详解】
(1)任取 且设 ,由奇函数的定义和题设不等式，得
,
在 上是增函数.
且
(2) 是 上的增函数
∴不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为．
(3)设函数 的定义域分别是 和 ，则 ,
，
因为 ，所以 或 .
解得 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数单调性的判断，考查利用函数单调性比较大小，解不等式，考查集合之间的关系，属于中档题.
20．若集合，，是否存在实数、，，使且，若存在，求出、，的值；若不存在，说明理由．
【答案】存在,，，
【解析】
【分析】
由，得到，求得，再由，求得，进而列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，集合，，
因为，所以，可得，，即．
又因为，所以且，得．
当时，则满足，解得，，
所以存在实数，，，使且.
【点睛】
本题主要考查了根据集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记的交集和并集的概念及运算，以及正确运用元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
