2011年数学文（广东）高考试题

2011年数学文（广东）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ ‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ ‎ 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 样本数据x1,x2,……，xa的标准差，‎ ‎ 其中表示样本均值。‎ ‎ N是正整数，则 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则 ‎ ‎ A．-i B．i C．-1 D．1‎ ‎2．已知集合A=为实数，且，B=且则AB的元素个数为 ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若为实数，（），则=‎ ‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．函数的定义域是 ‎ A． B．（1，+）‎ ‎ C．（-1，1）∪（1，+∞） D．（-，+）‎ ‎5．不等式2x2-x-1>0的解集是 ‎ A． B．（1， +） ‎ ‎ C．（-，1）∪（2，+） D．‎ ‎6．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为 ‎ A．3 B．‎4 ‎ C．3 D．4‎ ‎7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ‎ A．20 B．‎15 ‎ C．12 D．10‎ ‎8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 ‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ‎ A． B．‎4 ‎ C． D．2‎ ‎10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，（f·g）（x）=；（f·g）（x）=．则下列恒等式成立的是 ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎11．已知是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______‎ ‎12．设函数,若,则f（-a）=_______‎ ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率 ‎0．4‎ ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．6‎ ‎0．4‎ ‎ 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．‎ ‎（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0<）和（t），它们的交点坐标为 。‎ ‎15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分为12分）‎ ‎ 已知函数，R。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，f（3）=,f（3+2）=．求sin（ ）的值 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设G为A A′中点，延长到H′，使得．证明：‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 设b>0，数列}满足a1=b,‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎2ab+1‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP ‎（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。‎ 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。‎ A卷：1—5DBCBA 6—10CADCB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。‎ ‎11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14． 15．7：5‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：‎ ‎ {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，‎ ‎ 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：‎ ‎ {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，‎ ‎ 故所求概率为 ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 证明：（1）中点，‎ ‎ ‎ ‎ 连接BO2‎ ‎ 直线BO2是由直线AO1平移得到 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 共面。‎ ‎ （2）将AO1延长至H使得O1H=O‎1A，连接 ‎//‎ ‎ 由平移性质得=HB ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ 当的判别式 ‎ ‎ ‎ ①当有两个零点，‎ ‎ ‎ ‎ 且当内为增函数；‎ ‎ 当内为减函数；‎ ‎ ②当内为增函数；‎ ‎ ③当内为增函数；‎ ‎ ④当 ‎ 在定义域内有唯一零点，‎ ‎ 且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：‎ ‎ （其中）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）由 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ （2）当 ‎ 只需 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述 ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ‎ ①‎ ‎ 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线，‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上，此时，记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围，设为上任意点 ‎ 由 ‎ （即）得，‎ ‎ ‎ ‎ 故的轨迹方程为 ‎ ②‎ ‎ 综合①和②得，点M轨迹E的方程为 ‎ ‎ ‎（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ 当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。‎ ‎ 再过H作垂直于的直线，交 ‎ 因此，（抛物线的性质）。‎ ‎ （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。‎ ‎ 当时，则 ‎ 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 ‎ （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。‎ ‎ 设 ‎ 故的方程得：‎ ‎ 因判别式 ‎ 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。‎ ‎ 又由E2和的方程可知，若与E2有交点，‎ ‎ 则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。‎ ‎ 因此，直线的取值范围是