新课标版高考数学复习题库考点14 等比数列

新课标版高考数学复习题库考点14 等比数列

‎ ‎ 考点14 等比数列 ‎ ‎1.（2010·辽宁高考文科·Ｔ3）设为等比数列的前n项和，已知 ‎,则公比q = ( ) ‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式.‎ ‎【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q.‎ ‎【规范解答】选B.两式相减可得：,.故选B.‎ ‎2.（2010·辽宁高考理科·Ｔ6）设{an}是由正数组成的等比数列，为其前n项和.已知a‎2a4=1, ,则( )‎ ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】列出关于a1，q 的方程组，解出a1，q，再利用前n项和公式求出.‎ ‎【规范解答】选B.根据题意可得：‎ ‎3.（2010·安徽高考理科·Ｔ10）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别 为，则下列等式中恒成立的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的性质，考查考生的观察、分析、推理能力.‎ ‎ 【思路点拨】从整体观察，分析与，与的关系，即可得出结论.‎ ‎ 【规范解答】选 D.设等比数列的公比为，由题意，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，所以，故D正确.‎ ‎4.（2010·浙江高考理科·Ｔ3）设为等比数列的前项和，，则（ ）‎ ‎（A）11 （B）5 （C） （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题.‎ ‎【规范解答】选D.设等比数列的公式为，则由得，‎ ‎..‎ ‎5.（2010·山东高考理科·Ｔ9）设是等比数列，则“”是数列是递增数列的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.‎ ‎【规范解答】选C.若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件.‎ ‎6.（2010·北京高考理科·Ｔ2）在等比数列中，，公比.若，则m =（ ）‎ ‎（A）9 （B）10 （C）11 （D）12‎ ‎【命题立意】本题考查等比数列的基础知识.‎ ‎ 【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决.‎ ‎ 【规范解答】选C.‎ 方法一：由得.又因为，所以.因此.‎ 方法二：因为，所以.又因为，，所以所以，即.‎ ‎7.（2010·山东高考文科·Ｔ7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是 递增数列”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.‎ ‎【规范解答】选C.若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列且，则公比，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件.‎ ‎8.（2010·广东高考文科·Ｔ4）已知数列{}为等比数列，是它的前n项和．若=‎2a1，且与2的等差中项为，则S5=( )‎ ‎(A)35 (B)33 (C)31 (D)29‎ ‎【命题立意】本题考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式.‎ ‎【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 得出，由等差数列的性质及已知条件得出，从而求出及.‎ ‎【规范解答】选.由，‎ 又 得 .所以，‎ ‎ ，， .故选.‎ ‎9.（2010·福建高考理科·Ｔ11）在等比数列{ }中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式= .‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ，进而求出通项公式.‎ ‎【规范解答】, ‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】另解：，‎ ‎10.（2010 ·海南宁夏高考·理科T17）设数列满足，an+1-an=3·22n-1.‎ ‎ （1）求数列的通项公式.‎ ‎ （2）令，求数列的前n项和.‎ ‎【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.‎ ‎【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，再求数列的前n项和.‎ ‎【规范解答】（1）由已知，当时，‎ 而，满足上述公式，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由可知，‎ S ①‎ 从而 ②‎ ‎①②得 ‎ ‎ 即 .‎ ‎【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.‎ ‎11.（2010·陕西高考理科·Ｔ１6）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】已知关于d的方程d ‎【规范解答】，‎ ‎【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.‎ ‎2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由求通项，累加法、累乘法等.‎ ‎3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等.‎ ‎4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．‎ ‎12.（2010·北京高考文科·Ｔ１6）已知为等差数列，且，.‎ ‎（1）求的通项公式.‎ ‎（2）若等比数列满足，，求的前n项和公式.‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎【思路点拨】（1）由a3，a6可列方程解出，从而可求出通项公式；（2）求出，再求出公比q.‎ 代入等比数列的前n项和公式即可.‎ ‎【规范解答】（1）设等差数列的公差.因为，‎ ‎ 所以解得，所以.‎ ‎ （2）设等比数列的公比为，‎ ‎ 因为 所以，即=3.‎ 所以的前项和公式为.‎ ‎13.（2010·福建高考文科·Ｔ１7）数列{} 中1＝，前n项和满足-＝（n）.‎ ‎ （1）求数列{}的通项公式以及前n项和.‎ ‎ （2）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值.‎ ‎【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想. ‎ ‎【思路点拨】第一步先求{}的通项，可知{}为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出；第二步利用等差中项列出方程求出t.‎ ‎【规范解答】 ( 1 ) 由得，又，故，从而.‎ ‎（2）由( 1 ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得解得.‎ ‎【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项.题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题.一般地，含有的递推关系式，常利用化“和”为“项”.‎ ‎14.（2010·湖南高考文科·Ｔ20）给出下面的数表序列：‎ 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.‎ ‎（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）.‎ ‎（2）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 ‎ 求和：‎ ‎【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力.‎ ‎【思路点拨】在第（2）问中首先应得到数列的通项公式，再根据通项公式决定求和的方法.‎ ‎【规范解答】 (1) 表4为 ‎1 3 5 7‎ ‎4 8 12‎ ‎12 20‎ ‎32‎ 它的第1，2，3，4行中的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n（n≥3），即表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.简证如下（对考生不作要求）：‎ 首先，表n（n≥3）各行中的第一行，1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为；其次，若表n的第k（1≤k≤n-1）行a1 ，a2 ，…，an-k+1 是等差数列，则它的第k+1行a1+a2，a2+a3，…，an-k+an-k+1，也是等差数列.由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是 由此可知，表n（n≥3）各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.‎ ‎(2)表n的第一行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是 由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n·2n-1.‎ 因此，‎ 故 ‎.‎ ‎【方法技巧】研究数列要抓住变化规律.‎ ‎15.（2010·天津高考理科·Ｔ22）在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为.‎ ‎（1）若=，证明，，成等比数列（）.‎ ‎（2）若对任意，，，成等比数列，其公比为.‎ ‎①设q1≠1,证明{}是等差数列；②若a2=2,证明 ‎【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明.‎ ‎【规范解答】（1）由题设，可得.‎ 所以 ‎=‎ ‎=2k(k+1)，‎ 由=0，得 于是.‎ 所以成等比数列.‎ ‎（2）方法一：①由成等差数列，及成等比数列，得，‎ 当≠1时，可知≠1，k 所以是等差数列，公差为1.‎ ‎②，，可得，从而=1.由①有 所以 因此，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ ‎(i)当n为偶数时，设n=‎2m()‎ 若m=1,则.‎ 若m≥2，则 ‎+‎ 所以 ‎(ii)当n为奇数时，设n=‎2m+1（）‎ 所以从而···‎ 综合（i）（ii）可知，对任意,,有.‎ 方法二：①由题设，可得 所以 由可知.可得，‎ 所以是等差数列，公差为1.‎ ‎②因为所以.‎ 所以，从而，.于是，由（1）可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= ，故.‎ 从而.‎ 所以由，可得.‎ 于是，由（1）可知 以下同方法一.‎ ‎16.（2010·湖南高考理科·Ｔ21）数列中，‎ 是函数的极小值点.‎ ‎（1）当a=0时，求通项. ‎ ‎（2）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列，考查分类讨论思想.‎ ‎【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法，引出数列，进一步研究数列. ‎ ‎【规范解答】（1）易知 令 ‎①若3an0, fn(x)单调递增；‎ 当3ann2时，f′n(x)>0, fn(x)单调递增.‎ 故fn(x)在x=n2取得极小值.‎ ‎②若3an>n2，仿①可得，fn(x)在x=3an取得极小值.‎ ‎③若3an=n2，则f ′n(x)≥0, fn(x)无极值.‎ 当a=0时，a1=0，则‎3a1<12.由①知, a2=12=1.‎ 因‎3a2=3<22,则由①知，a3=22=4.‎ 因为‎3a3=12>32，则由②知，a4=‎3a3=3×4.‎ 又因为‎3a4=36>42,则由②知，a5=‎3a4=32×4.‎ 由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3.‎ 下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.‎ 事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.‎ 假设当n=k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由②知，ak+1=3ak>k2,从而 ‎3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,‎ 所以3ak+1>(k+1)2.‎ 故当n≥3时，3an>n2成立.‎ 于是由②知，当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.‎ 综上所述，当a=0时，a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n≥3).‎ ‎(2)存在a，使数列{an}是等比数列.‎ 事实上，由②知，若对任意的n，都有3an>n2,则an+1=3an.即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a·3n-1.‎ 而要使3an>n2,即a·3n>n2对一切n 记bn=‎ 令y=‎ 在[2,+∞)上单调递减.故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为b2=‎ 当a<‎ 综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围是(‎ ‎【方法技巧】处理复杂函数的常用步骤：求导数，解方程，列表，求函数在关键点的极限，作出图象，按要求解题.证明一个数列是等比数列，要使一个数列是等比数列，判断一个数列是否为等比数列常用的方法有：定义法，前三项再检验法等. ‎