【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题30空间几何体的体积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题30空间几何体的体积学案

专题三十 空间几何体的体积 ‎【球与正方体、长方体、四面体组合的结构特征】‎ 球与正方体的组合体：‎ 正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长， 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.‎ 球与长方体的组合体：‎ 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.‎ 球与正四面体的组合体：‎ 棱长为a的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为。 ‎ ‎【空间几何体的三视图】‎ 光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。  注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；  俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；  侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 ‎ ‎【空间几何体的表面积与体积】‎ 柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）‎ 柱体、锥体、台体的体积公式：‎ 球的体积公式：球的表面积：‎ ‎【组合体的表面积与体积】‎ 定义：组合体的表面积与体积主要通过计算组成几何体的简单几何体的表面积与体积来求解。‎ ‎【组合体的表面积和体积与球有关的组合体问题】‎ 一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或”、点。‎ ‎【求几何体的体积的几种常用方法】‎ ‎（1）分割求和法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和； （2）补形法：把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积；‎ ‎（3）等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文19】‎ 如图，四面体ABCD中，是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）1:1‎ 试题解析：‎ ‎（1）取AC的中点O，连结DO， BO.‎ 因为AD=CD，所以AC⊥DO. ‎ 又由于是正三角形，所以AC⊥BO.‎ 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.‎ ‎【考点】线面垂直的判定及性质定理，锥体的体积 ‎【点拨】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ 答题思路 ‎【命题意图】空间几何体的表面积、体积是高考的热点，与三视图相结合往往是选择题、填空题，与平行关系、垂直关系相结合，往往是解答题．求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是以三视图为载体，考查表面积、体积的计算等，均属于低中档题；一种是以几何体为载体与球进行交汇考查，以小题形式出现，属于中低档.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2016年试题第二问为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步：选择合适的高 因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. ‎ 第二步：求几何体的的底面积和高 取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.‎ 第三步：代入三棱锥的体积公式中 四面体的体积. ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求空间几何体的常用方法 ‎①分割法 一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。‎ ‎②补形法 多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。‎ ‎③等体积法 这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC的距离可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC 的体积就很容易就求出来了。显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体积也就是求出四面体P-ABC的体积。‎ ‎2.求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.‎ ‎3.解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】‎ 形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅰ卷，文18】‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析； （2）．‎ ‎3.【2017年高考全国Ⅱ卷，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4. 【2017年高考全国Ⅱ卷，文18】‎ 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , ‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）中/华-资*源%库中·华.资*源%库 ziyuanku.com ‎（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.‎ 设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥‎ CD，所以 因为△PCD的面积为，所以 ，‎ 解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，‎ 所以四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积 ‎【点拨】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎5.【2017高考北京卷，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是三棱锥，如图：‎ 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.‎ ‎【考点】1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎【点拨】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.‎ ‎6.【2017年高考北京卷，文18】‎ 如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.‎ ‎【点拨】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.‎ ‎7.【2017年高考天津卷，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】球与几何体的组合体 ‎【点拨】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. ‎ ‎8.【2017年高考山东卷，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以 ‎.‎ ‎【考点】三视图及几何体体积的计算.‎ ‎【点拨】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.‎ ‎(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．‎ ‎9．【2017年高考浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】 三视图中·华.资*源%库 ziyuanku.com ‎【点拨】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ ‎10. 【2017年高考江苏卷6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ ‎【考点】圆柱体积 ‎【点拨】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．Ziyuanku.com ‎11．【2017福州一中最后一模】某几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图完全相同，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎12．【2017沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分 体积与剩余部分体积的比值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设正方体的棱长为 ，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉的部分的体积为，所以剩余部分体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ，故选D.‎ ‎【点拨】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎13．【2017南京三中热身试卷一】在三棱柱P－ABC中， PA＝，PB＝，PC＝2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎14．【2017苏北三市（连云港、徐州、宿迁）三模】如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】求三棱锥的体积要注意利用体积转化，以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法.用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的.‎ ‎15．【2017龙泉一中、新都一中等九校联考】如图所示，在正四棱柱中， ， ， 是棱上的点，且.‎ ‎(1)求三棱锥的体积；‎ ‎(2)求证：平面 平面.‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：(1)借助求得三棱锥的体积;(2)欲证平面 平面，即证平面.‎ ‎(2)证明：由正四棱柱可知四边形为正方形，∴，‎ ‎∵底面， 平面，∴，‎ 又∵， 平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎【点拨】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎16．【2017锦州质量检测（二）】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵， ， 为的中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵，∴，即．‎ 又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎17．【2017孝义考前热身】如图,在四棱柱中,已知, 是的中点 ‎（1）求证: ；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先证得平面,由线面垂直的定义可得 ‎(2)利用题意转化顶点可得三棱锥的体积为 试题解析：‎ ‎（1）证明:在正四棱柱中,‎ 底面是正方形，可得，又，所以 ①‎ 由平面，可得 ②‎ 由①②，且，所以平面,‎ 而平面，所以 ‎【点拨】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．‎ ‎18．【2017衡阳第二次联考】已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ， ， 为上一点， 为的中点.‎ ‎（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；‎ ‎（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.‎ ‎【答案】（1）为中点，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由BC平行AD，可由线面平行判定定理得BC平行平面ADM ，再由线面平行性质定理得BC平行MN，而M为PC中点,因此为中点，（2）上部分为四棱锥，下部分体积为大四棱锥减去上四棱锥：上部分四棱锥的高为AD，大四棱锥的高为PA，再根据棱锥体积公式得四棱锥的体积，而四棱锥的体积，进而可得比值 ‎ ‎ ‎（2）因为是的中位线， ，所以，且，‎ 所以梯形的面积为，‎ 点到截面的距离为到直线的距离，‎ 所以四棱锥的体积，‎ 而四棱锥的体积，‎ 所以四棱锥被截下部分体积，‎ 故上，下两部分体积比.‎ ‎【考点】线面平行性质与判定定理，棱锥体积 ‎【点拨】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎19．【2017庄河高级中学四模】如图，四棱锥中，底面是矩形，平面 平面，且是边长为的等边三角形， ，点是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面 ；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：‎ ‎ 解：(1)如图，接连 交于点， 连 ，因为是矩形，所以点是 的中点，又点 是 的中点， ，又 平面 平面 ，所以平面.‎ ‎(2)如图，取 的中点，连接 ，则 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，连接 ，在 中， ，所以在 中， ，故四面体 的体积为 ，又因为点是的中点 ，所以点到平面的距离等于 ，故四面体的体积为，故四面体的体积为 .‎ ‎20．【2017南昌二模】已知四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，‎ ‎，点是棱的中点，点在棱上，且， //平面．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）运用空间三角形的相似建立等式求解；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：‎ ‎（Ⅰ）连接，设，则平面平面，‎ ‎//平面， // ， ‎ ‎∽， ，‎ ‎， ． ‎ ‎21.【2016年高考全国Ⅰ卷，文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．‎ ‎【考点】三视图及球的表面积与体积 ‎【点拨】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.‎ ‎22.【2016年高考全国Ⅰ卷，文18】（12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.‎ ‎（Ⅰ）证明：G是AB的中点；‎ ‎（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：证明由可得是的中点. （Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得四面体的体积 试题解析：（I）因为在平面内的正投影为，所以 因为在平面内的正投影为，所以 所以平面，故 又由已知可得，，从而是的中点. ‎ ‎（II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.‎ 理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.‎ 连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.‎ 由（I）知，是的中点，所以在上，故 ‎【考点】线面位置关系及几何体体积的计算 ‎【点拨】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.‎ ‎23.【2016年高考全国Ⅱ卷，文4】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点】 正方体的性质，球的表面积 ‎【点拨】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.‎ ‎24.【2016年高考全国Ⅱ卷，文7】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.‎ ‎【考点】 三视图，空间几何体的体积 ‎【点拨】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．‎ ‎25.【2016年高考全国Ⅱ卷，文19】(12分)‎ ‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若,求五棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证，再证（Ⅱ）证明，再证平面，最后根据锥体的体积公式求五棱锥的体积.‎ 试题解析：（I）由已知得 又由得，故 由此得，所以 ‎（II）由得 又由得 五边形的面积 所以五棱锥D'–ABCFE体积 ‎【考点】 空间中线面位置关系的判断，几何体的体积 ‎【点拨】立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了，哪些没变.‎ ‎26. 【2016年高考全国Ⅲ卷，文10】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体是斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B．‎ ‎【考点】空间几何体的三视图及表面积 ‎【点拨】对于求解多面体的表面积及体积的题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．‎ ‎27.【2016年高考全国Ⅲ卷，文19】如图，四棱锥D中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（II）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．‎ 试题解析：（I）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面. ‎ ‎【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 ‎【点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．‎ ‎28.【2016年高考北京卷，文11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为 ‎【考点】三视图 ‎【点拨】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.‎ ‎29.【2016年高考山东卷，文5】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【考点】三视图，几何体的体积 ‎【点拨】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查考生的识图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.‎ ‎30．【2016年高考四川卷，文12】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】三视图，几何体的体积 ‎【点拨】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．‎ ‎31．【2016年高考上海卷，文19】‎ 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. ‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由此计算即得.‎ ‎（2）由得或其补角为与所成的角，再结合题设条件计算即得．‎ 由长为，可知，‎ 由长为，可知，，‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎【考点】几何体的体积、空间角 ‎【点拨】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.‎ ‎32．【2016年高考浙江卷，文9】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3.‎ ‎【答案】80，40‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， ‎ ‎，．‎ ‎【考点】三视图.‎ ‎【点拨】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．‎