北京市海淀区2020届高三下学期一模考试数学试题

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海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数 学 2020 春 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知集合 ， ，则集合 B 可以是 （A）{1，2} （B）{1，3} （C）{0，1，2} （D）{1，2，3} （3）已知双曲线 的离心率为 ，则 b 的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）已知实数 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （A） （B） （C） （D） （5）在 的展开式中，常数项为 （A）-120 （B）120 （C）-160 （D）160 （6）如图，半径为 1 的圆 M 与直线 相切于点 ，圆 M 沿着直线 滚动．当圆 M 滚动到圆 时，圆 )2( ii − { }30 <<= xxA { }1=BA )0(12 2 2 >=− bb yx 5 cba ,, acab +<− abc <2 a c b c > cacb < 6)21( xx − l A l M′ M′ 与直线 相切于点 B．点 运动到点 ，线段 的长度为 ，则点 到直线 的距离为 （A）1 （B） （C） （D） （7）已知函数 与函数 的图象关于 y 轴对称．若 在区间（1,2）内单调递减，则 m 的取值范围为 （A）[-1，+∞) （B）（-∞，-1] （C）[-2，+∞) （D）（-∞，-2] （8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 （A) （B） （C） （D) （9）若数列 满足 ，则“ ”是“ 为等比数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）形如 （n 是非负整数）的数称为费马数，记为 ．数学家费马根据 都是质 数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出 ，不是质数，那么 的位数是 l A A′ AB 2 3π M′ AB ′ 2 3 2 2 2 1 mxxf −=)( )(xg )(xg 5 22 32 13 { }na 21 =a rprp aaaNrp =∈∀ + ∗，， { }na n22 nF 43210 FFFFF ，，，， 5F 5F （参考数据； ) （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）已知点 P（1，2）在抛物线 C：y2 =2px 上，则抛物线 C 的准线方程为 ． （12）在等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{an}的前 4 项的和为 ． （13）已知非零向量 a，b 满足|a|=|a-b|，则（a- b）·b= ． （14）在△ABC 中，AB= ，∠B= ，点 D 在边 BC 上，∠ADC= ，CD=2，则 AD= ； △ACD 的面积为 ． 3010.02lg ≈ 1 2 4 3 4 π 2 3 π （15）如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6．动点 P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 A 点, 记 P 运动的路程为 x，点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为 ，给 出下列三个结论： ①函数 的最大值为 12 ； ②函数 的图象的对称轴方程为 x=9； ③关于 x 的方程 =kx+3 最多有 5 个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共 14 分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB⊥平面 BB1C1C，AB=BB1=2BC=2， BC1= ，点 E 为 A1C1 的 中点． （I）求证：C1B⊥平面 ABC： （II）求二面角 A—BC—E 的大小． （17）（本小题共 14 分） ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x 3 已知函数 ． （I）求 的值； （II）从① ， ；② ， 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数 在 上的最小值，并直接写出函数 的一个周期． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。 2 1 2( ) 2cos sinf x x xω ω= + (0)f 1 1ω = 2 2ω = 1 1ω = 2 1ω = ( )f x ,2 6 π π −   ( )f x （18）（本小题共 14 分） 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑， 而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从 2010 年到 2019 年这 10 年研发投入的数据分布图： 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿 元）． （I）从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%的概率； （II）从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份，设 X 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数，求 X 的分布列和数学期望； （III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由． （19）（本小题共 15 分） 已知函数 ． （I）当 a=-1 时， ①求曲线 在点（0， ）处的切线方程； ( ) xf x e ax= + ( )y f x= )0(f ②求函数 的最小值： （II）求证：当 a∈（-2，0）时，曲线 与 y=1-lnx 有且只有一个交点． ( )f x ( )y f x= （20）（本小题共 14 分） 已知椭圆 C： 的离心率为 ， ， ， ， 的 面积为 2. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 P ，直线 与直线 交于点 Q．求证： 为等腰三角形． （21）（本小题共 14 分） 已知数列 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数 ，使得 ，对任意的 成立，则称数列 具有性质 ． （Ⅰ）分别判断下列数列 是否具有性质 ；（直接写出结论） ① ； ② ． （Ⅱ）若数列 满足 ，求证：“数列 具有性质 ”是“数列 为常数 列”的充分必要条件； （Ⅲ）已知数列 中 ，且 ．若数列 具有性质 ，求数列 的通项 公式. )0,0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 3 )0,(1 aA − )0,(2 aA ),0( bB 21BAA∆ BA1 MA2 MA1 BA2 BPQ∆ { }na ∗∈ Nk nnn kaaa =+− 212 ∗∈ Nn { }na )(kΨ { }na )2(Ψ 1=na n na 2= { }na ),3,2,1(1 =≥+ naa nn { }na )2(Ψ { }na { }na 11 =a ),3,2,1(1 =>+ naa nn { }na )4(Ψ { }na 海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案 数 学 2020 春 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C C D C A B 二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 题号 11 12 13 14 15 答案 0 ， ①② 注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）解：（Ⅰ）因为 平面 ， 平面 所以 . 在△ 中， , , , 所以 . 所以 . 因为 , 平面 ， 0 1x=− 24 4 2 2 6 AB ⊥ 1 1BB C C 1C B ⊂ 1 1BB C C 1AB C B⊥ 1BCC 1BC = 1 3BC = 1 2CC = 2 2 2 1 1BC BC CC+ = 1CB C B⊥ AB BC B= ,AB BC ⊂ ABC 所以 平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , , , 如图,以 为原点建立空间直角坐标系 . 则 ， ， . ， . 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 则 ， , 所以 . 又因为平面 的法向量为 ， 所以 . 由题知二面角 为锐角，所以其大小为 . （17）解：（Ⅰ） . （Ⅱ）选择条件①. 的一个周期为 . 1C B ⊥ ABC 1AB C B⊥ 1BC C B⊥ AB BC⊥ B B xyz− (0,0,0)B 1( , 3,1)2E − (1,0,0)C (1,0,0)BC = 1( , 3,1)2BE = − BCE ( , , )x y z=n 0, 0. BC BE  ⋅ = ⋅ =   n n 0, 1 3 0.2 x x y z =− + + = 3y = 0x = 3z = − (0, 3, 3)= −n ABC (0,1,0)=m 1cos , | || | 2 ⋅< >= =m nm n m n A BC E− − 3 π 2(0) 2cos 0 sin0 2f = + = ( )f x π 2( ) 2cos sin 2f x x x= + (cos 2 1) sin 2x x= + + . 因为 ,所以 . 所以 . 所以 . 当 时，即 时， 在 取得最小值 . 选择条件②. 的一个周期为 . . 因为 ,所以 . 所以 当 时，即 时， 在 取得最小值 . （18）解：（Ⅰ）设事件 A 为“从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超 过 10%”，从 2010 年至 2019 年一共 10 年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过 10% 有 9 年， 2 22( sin 2 cos2 ) 12 2x x= + + 2 sin 2 ) 14x π= + +（ [ , ]2 6x π π∈ − 3 72 + [ , ]4 4 12x π π π∈ − 1 sin 2 ) 14x π− ≤ + ≤（ 1 2 ( ) 1 2f x− ≤ ≤ + 2 =4 2x π π+ − 3π= 8x − ( )f x [ , ]2 6 π π− 1 2− ( )f x 2π 2( ) 2cos sinf x x x= + 22(1 sin ) sinx x= − + 21 172(sin )4 8x= − − + [ , ]2 6x π π∈ − 1sin [ 1, ]2x∈ − sin = 1x − π= 2x − ( )f x [ , ]2 6 π π− 1− 所以 . （Ⅱ）由图表信息，从 2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过 500 亿元，所以 的所有 可能取值为 , , . 且 ； ； . 所以 的分布列为： 0 1 2 故 的期望 ． （Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时 按照上述标准酌情给分. （19）解：（Ⅰ）①当 时， ，则 ． 所以 又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ②令 ，得 . 0 9( ) 10P A = X 0 1 2 2 5 2 10 C 2( 0) =C 9P X = = 1 1 5 5 2 10 C C 5( 1) =C 9P X = = 2 5 2 10 C 2( 2) =C 9P X = = X X P 2 9 5 9 2 9 X 2 5 2( ) 0 1 2 19 9 9E X = × + × + × = 1a = − e( ) x xf x = − ) 1( exf x = −′ '(0) 0.f = (0) 1f = ( )y f x= (0, (0))f 1y = '( ) 0f x = 0x = x ( ,0)-¥ 0 (0, )+¥ ( )f x′ - + 此 时 ， 随 的变化如下： 可知 ，函数 的最小值为 1. （Ⅱ）由题意可知， . 令 ，则 ． 由（Ⅰ）中可知 ，故 ． 因为 ， 则 ． 所以函数 在区间 上单调递增． 因为 , 又因为 ， 所以 有唯一的一个零点. 即函数 与 有且只有一个交点. （20）解：（Ⅰ）由题 解得 ↘ 极小值 ↗( )f x′ ( )f x x ( )min 0 1( )f x f= = ( )f x 0,x∈ ∞+（ ) l( 1) e nxg axx x= + + − 1' e( ) xg axx = + + e 1x x− ≥ e 1x x≥ + 2,0a∈ −（ ) ( )1 1'( 1) exg a x axx x = + + ≥ + + + 12 1 3 0x a ax ≥ ⋅ + + = + > ( )g x (0, )+∞ 1 1 e 21( ) e 2 e 2 0e e ag = + - < - < e 2(e) e e e 2e 0g a= + > - > ( )g x ( )y f x= 1 lny x= − 2 2 2 3 2 2 . c a ab a b c  =  =  = +  ， ， 2 1. a b =  = ， ( )f x 所以椭圆方程为 . （II）解法 1 证明：设直线 方程为 ，直线 方程为 由 解得点 . 由 得 ， 则 . 所以 ， . 即 . . 于是直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 由 解得点 . 于是 ，所以 轴. 设 中点为 ，则 点的纵坐标为 . 故 中点在定直线 上. 2 2 14 x y+ = 2A M 1( 2)( 0 )2y k x k k= − ≠ ≠ ±且 1A B 1 12y x= + ( 2), 1 1.2 y k x y x = − = + 4 2 4( , )2 1 2 1 k kP k k + − − 2 2 ( 2) 1.4 y k x x y = − + = ， 2 2 2(4 1) 16 16 4 0k x k x k+ − + − = 2 2 16 42 = 4 1M kx k − + 2 2 8 2= 4 1M kx k − + 2 4= 4 1M ky k − + 2 2 2 8 2 4( , )4 1 4 1 k kM k k − − + + 1 2 2 2 4 14 1 8 2 424 1 A M k kk k k k − += = −− ++ 1A M 1 ( 2)4y xk = − + 2A B 1 12y x= − + 1 ( 2)4 1 12 y xk y x  = − +  = − + 4 2 2( , )2 1 2 1 kQ k k + − − − P Qx x= PQ x⊥ PQ N N 4 2 2 1 2 1 12 k k k −+− − = PQ 1y = 从上边可以看出点 在 的垂直平分线上，所以 ， 所以△ 为等腰三角形. 解法 2 证明：设 则 . 直线 方程为 ，直线 方程为 . 由 解得点 . 直线 方程为 ，直线 方程为 . 由 解得点 . . 于是 ，所以 轴. B PQ BP BQ= BPQ 0 0 0 0( , )( 2, 1)M x y x y≠ ± ≠ ± 2 2 0 04 4x y+ = 2A M 0 0 ( 2)2 yy xx = −− 1A B 1 1 2 xy = + 0 0 ( 2)2 1 1.2 yy xx y x  = − −  = + ， 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 4( , )2 2 2 2 x y yP y x y x + − − + − + 1AM 0 0 ( 2)2 yy xx = ++ 2A B 1 12y x= − + 0 0 ( 2)2 1 1.2 yy xx y x  = + +  = − + ， 0 0 0 0 0 0 0 2 4 +4 4( , )2 + 2 2 2 x y yQ y x y x − + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 2 4 +4 2 2 2 + 2P Qx x y x y y x y xx + − −−− − + += 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2( 2 2)(2 + 2) 2( 2 +2)(2 2) (2 2)(2 + 2) x y y x x y y x y x y x + − + − − − += − + + 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ( 2 ) 4) (4 ( 2 ) 0(2 2)(2 + 2) x y x y y x y x  + − − − − = =− + + P Qx x= PQ x⊥ . 故 中点在定直线 上. 从上边可以看出点 在 的垂直平分线上，所以 ， 所以△ 为等腰三角形. （21）解：（Ⅰ）①数列 具有“性质 ”； ②数列 不具有“性质 ”. （Ⅱ）先证“充分性”： 当数列 具有“性质 ”时，有 又因为 ， 所以 ， 进而有 结合 有 , 即“数列 为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列 为常数列”， 则有 ， 即“数列 具有“性质 ”. （Ⅲ）首先证明： . 0 0 0 0 0 0 4 4 2 2 2 + 2P Q y y y xy xy y +− += ++ 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 4 (4 4) 4 (4 4) 2(2 2)(2 + 2) (2 2) y y y y y x y x y x + += = =− + + + − PQ 1y = B PQ BP BQ= BPQ { }na (2)Ψ { }na (2)Ψ { }na (2)Ψ 2 1 2 2n n na a a− + = 1n na a+ ≥ 2 2 10 0n n n na a a a −≤ − = − ≤ 2n na a= 1n na a+ ≥ 1 2n n na a a+= = ⋅⋅⋅ = { }na { }na 2 1 2 12 2n n na a a a− + = = { }na (2)Ψ 1 2n na a+ − ≥ 因为 具有“性质 ”， 所以 . 当 时有 . 又因为 且 ， 所以有 , 进而有 ， 所以 , 结合 可得： . 然后利用反证法证明： . 假设数列 中存在相邻的两项之差大于， 即存在 满足： 或 ， 进而有 . 又因为 ， 所以 依次类推可得： ，矛盾， 所以有 . 综上有： ， { }na (4)Ψ 2 1 2 4n n na a a− + = 1n = 2 1=3 3a a = * 2 1 2n n na ,a ,a− ∈N 2 2 -1n na a> 2 2 12 1, 2 1n n n na a a a−≥ + ≤ − 2 2 1 12 1 1 2 2n n n na a a a+ ++ ≤ ≤ − ≤ − 12( ) 3n na a+ − ≥ * +1n na ,a ∈N 1 2n na a+ − ≥ 1 2n na a+ − ≤ { }na *k ∈N 2 1 2 3k ka a+ − ≥ 2 +2 2 +1 3k ka a− ≥ 1 2 2 2 +1 2 2 14( ) ( + ) ( + )k k k k k ka a a a a a+ + −− = − 2 2 2 2 +1 2 1=( )+( )k k k ka a a a+ −− − [ ] [ ]2 2 2 1 2 +1 2 2 +1 2 2 2 1= ( )+( ) + ( ) ( )k k k k k k k ka a a a a a a a+ + −− − − + − 9≥ * 1k ka a+ − ∈N 1 3k ka a+ − ≥ 2 1 3a a− ≥ 1 2n na a+ − ≤ 1 2n na a+ − = 结合 可得 ， 经验证，该通项公式满足 ， 所以： . 1 1a = 2 1na n= − 2 1 2 4n n na a a− + = 2 1na n= −