2019届二轮复习（理）等差数列与等比数列学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）等差数列与等比数列学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，理4】设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【 】2018年全国普通高等学校招生统一考试理 数学（新课标I卷）‎ ‎【答案】B 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发| |X|X|K]‎ 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项 是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项 和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 ‎ ‎【答案】A ‎ 【考点】等差数列、等比数列的求和.‎ ‎【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. ‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1，理15】设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎【考点】等比数列及其应用 ]‎ ‎【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性 质的应用,尽量避免小题大做.[来 ‎【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.‎ ‎【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求数列前n项和的常用方法 ‎1）分组求和法 分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.‎ 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.‎ ‎2）裂项相消法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. | ] 学 ] . ]‎ 如：是公差为的等差数列，求 解：由 ‎∴‎ ‎3）错位相减法 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求 ‎，其中为的公比.‎ 如： ①‎ ‎ ②‎ ‎①—②‎ 时，，时，‎ ‎4）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. ]‎ 相加 ‎2.数列与函数综合 ‎（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：‎ ‎①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；‎ ‎②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．‎ ‎（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．‎ ‎3.数列与不等式综合 与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 学 ]‎ ‎4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；‎ ‎5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．‎ ‎1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．‎ ‎2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．‎ 详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，‎ 即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．‎ ‎∴a6+a4+a7+a5=0，‎ ‎∵a5+a6=a4+a7，‎ ‎∴a5+a6=0，‎ ‎∴S10==5（a5+a6）=0， 学 . ‎ 故选：C．‎ 点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：‎ ‎ 若等差数列的前项和为，且，则 ‎①若，则；‎ ‎②、、、 成等差数列．‎ ‎3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列中，已知，且 ‎，(且)，则此数列为( )‎ A. 等差数列 B. 等比数列 C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列 ‎【答案】D 点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ ‎4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.‎ 详解：由等比数列的性质可知，‎ 等比数列的第一个项和，第二个项和，‎ 第三个项和仍然构成等比数列，‎ 则有构成等比数列，‎ ‎，即，‎ ‎，故选D.‎ 点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.‎ ‎5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.‎ ‎6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列是公差为3的等差数列，是公差为5的等差数列，若，则数列为 A. 公差为15的等差数列 B. 公差为8的等差数列 C. 公比为125的等比数列 D. 公比为243的等比数列 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据等差数列定义求公差，即得结果.‎ 详解：因为数列是公差为3的等差数列，所以,‎ 所以,‎ 因为是公差为5的等差数列，‎ 因此 选A.‎ 点睛：判断或证明为等差数列的方法：‎ ‎(1)用定义证明：为常数）；‎ ‎(2)用等差中项证明：；‎ ‎(3)通项法： 为的一次函数；‎ ‎(4)前项和法： ‎ ‎7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】公差与首项相等的等差数列的前项和为，且.记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.‎ ‎8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列的前项和满足，其中．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列．‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)见解析（2） ‎ ‎【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列的前项和 详解：解：（Ⅰ），①‎ ‎∴当时，，解得；‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ ‎9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】若数列的前项和为，首项且（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（），令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) 或.(2) .‎ ‎【解析】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，，利用裂项相消法求和即可.‎ 详解： （1）当时，，则 当时，，‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. ‎ ‎10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列的前项和为，且成等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) an=2n-1 (2) ‎ ‎【解析】分析：设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：， 由此解得，，即可得到数列的通项公式；‎ 令，利用错位相减法可求数列的前项和.‎ 详解：‎ 设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得: ]‎ 因此: ‎ ‎(2)令.则 ，‎ ‎∴① ‎ ‎② ‎ ‎①—②,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．‎ ‎11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列的前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)记，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列中，，其前项和为，且满足．‎ ‎（11）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.‎