2019届二轮复习(理)2-2-4-1导数在函数中的应用课件（42张）

2019届二轮复习(理)2-2-4-1导数在函数中的应用课件（42张）

2.4 　 [ 压轴大题 1] 　导数在函数中的应用 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - 1 . 导数的几何意义 (1) 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 , 即 k=f' ( x 0 ) . (2) 函数切线问题的求解策略 : 用好切点 “ 三重性 ”: ① 切点在函数图象上 , 满足函数解析式 ; ② 切点在切线上 , 满足切线方程 ; ③ 切点处的导数等于切线的斜率 . 2 . 函数的导数与单调性的关系 函数 y=f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导 , (1) 若 f' ( x ) > 0 在 ( a , b ) 内恒成立 , 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内单调递增 ; (2) 若 f' ( x ) < 0 在 ( a , b ) 内恒成立 , 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内单调递减 . - 7 - 3 . 函数的导数与单调性的等价关系 函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导 , f' ( x ) 在 ( a , b ) 任意子区间内都不恒等于 0 .f' ( x ) ≥ 0 ⇔ f ( x ) 在 ( a , b ) 上为增函数 .f' ( x ) ≤ 0 ⇔ f ( x ) 在 ( a , b ) 上为减函数 . 4 . 函数的极值、最值 (1) 若在 x 0 附近左侧 f' ( x ) > 0, 右侧 f' ( x ) < 0, 则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极大值 ; 若在 x 0 附近左侧 f' ( x ) < 0, 右侧 f' ( x ) > 0, 则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 设函数 y=f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导 , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 . (3) 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递增 , 则 f ( a ) 为函数的最小值 , f ( b ) 为函数的最大值 ; 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递减 , 则 f ( a ) 为函数的最大值 , f ( b ) 为函数的最小值 . - 8 - 5 . 常见恒成立不等式 (1)ln x ≤ x- 1;(2)e x ≥ x+ 1 . 6 . 构造辅助函数的四种方法 (1) 移项法 : 证明不等式 f ( x ) >g ( x )( f ( x ) 0( f ( x ) -g ( x ) < 0), 进而构造辅助函数 h ( x ) =f ( x ) -g ( x ); (2) 构造 “ 形似 ” 函数 : 对原不等式同解变形 , 如移项、通分、取对数 ; 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 , 根据 “ 相同结构 ” 构造辅助函数 ; (3) 主元法 : 对于 ( 或可化为 ) f ( x 1 , x 2 ) ≥ A 的不等式 , 可选 x 1 ( 或 x 2 ) 为主元 , 构造函数 f ( x , x 2 )( 或 f ( x 1 , x )); (4) 放缩法 : 若所构造函数最值不易求解 , 可将所证明不等式进行放缩 , 再重新构造函数 . - 9 - 7 . 函数不等式的类型与解法 (1) ∀ x ∈ D , f ( x ) ≤ k ⇔ f ( x ) max ≤ k ; ∃ x ∈ D , f ( x ) ≤ k ⇔ f ( x ) min ≤ k ; (2) ∀ x ∈ D , f ( x ) g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最小值 >g ( x ) 在 [ c , d ] 上的最大值 . (2) ∃ x 1 ∈ [ a , b ], x 2 ∈ [ c , d ], f ( x 1 ) >g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值 >g ( x ) 在 [ c , d ] 上的最小值 . (3) ∀ x 1 ∈ [ a , b ], ∃ x 2 ∈ [ c , d ], f ( x 1 ) >g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最小值 >g ( x ) 在 [ c , d ] 上的最小值 . - 10 - (4) ∃ x 1 ∈ [ a , b ], ∀ x 2 ∈ [ c , d ], f ( x 1 ) >g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值 >g ( x ) 在 [ c , d ] 上的最大值 . (5) ∃ x 1 ∈ [ a , b ], 当 x 2 ∈ [ c , d ] 时 , f ( x 1 ) =g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域与 g ( x ) 在 [ c , d ] 上的值域交集非空 . (6) ∀ x 1 ∈ [ a , b ], ∃ x 2 ∈ [ c , d ], f ( x 1 ) =g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域 ⊆ g ( x ) 在 [ c , d ] 上的值域 . (7) ∀ x 2 ∈ [ c , d ], ∃ x 1 ∈ [ a , b ], f ( x 1 ) =g ( x 2 ) ⇔ f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域 ⊇ g ( x ) 在 [ c , d ] 上的值域 . - 11 - 9 . 求解导数应用题宏观上的解题思想是 借助导函数 ( 正负 ) 研究原函数 ( 单调性 ); 重点是把导函数先 “ 弄熟悉 ”; 为了把导函数先 “ 弄熟悉 ” 采取的措施 : (1) 通分 ; (2) 二次求导或三次求导 ; (3) 能画出导函数草图是最好的 ! 2.4.1 　函数的单调性、极值点 、 极值 、最值 - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求单调区间或讨论单调性 ( 多维探究 ) 例 1 (2018 江西南昌一模 , 文 21 节选 ) 已知函数 f ( x ) = e x -a ln x- e( a ∈ R ), 其中 e 为自然对数的底数 . (1) 若 f ( x ) 在 x= 1 处取到极小值 , 求 a 的值及函数 f ( x ) 的单调区间 ; (2) 略 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 求 f ( x ) 的单调区间 , 需知 f' ( x ) 的正负 , 若 f' ( x ) 不含参数 , 但又不好判断正负 , 将 f' ( x ) 中正负不定的部分设为 g ( x ), 对 g ( x ) 再进行一次或二次求导 , 由 g' ( x ) 的正负及 g ( x ) 的零点判断出 g ( x ) 的正负 , 进而得出 f' ( x ) 的正负 . - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 1 (2018 青海西宁一模 , 文 21 节选 ) 设 f ( x ) = ln x , g ( x ) = x|x |. (1) 令 F ( x ) =xf ( x ) -g ( x ), 求 F ( x ) 的单调区间 ; (2) 略 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 例 2 (2018 河北保定一模 , 理 21 节选 ) 已知 函数 ( 1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 略 . - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 在求函数 f ( x ) 的单调区间时 , 若 f' ( x ) 中含有参数不容易判断其正负时 , 需要对参数进行分类 , 本例分类的标准 (1) 按导函数是否有零点分大类 ;(2) 在小类中再按导函数零点的大小比较分小类 ;(3) 在小类中再按零点是否在定义域中分类 . - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 2 (2018 华南师大附中测试三 , 理 21 节选 ) 函数 f ( x ) =x 2 +m ln(1 +x ) . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性 ; (2) 略 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 讨论函数极值点的个数 例 3 ( 节选 ) 设函数 f ( x ) = ln( x+ 1) +a ( x 2 -x ), 其中 a ∈ R . (1) 讨论函数 f ( x ) 极值点的个数 , 并说明理由 ; (2) 略 . 解 : (1) 定义域为 ( - 1, +∞ ), 令 g ( x ) = 2 ax 2 +ax+ 1 -a ( x>- 1), 当 a= 0 时 , g ( x ) = 1, 则 f' ( x ) > 0 在 ( - 1, +∞ ) 上恒成立 , 则 f ( x ) 在 ( - 1, +∞ ) 上单调递增 , 即当 a= 0 时 , 函数无极值点 ; - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 利用导数求含参数的原函数的单调区间 → 极值 → 最值 → 恒成立问题的步骤 : 1 . 求函数定义域 ; 2 . 求导 → 通分或因式分解或二次求导 ( 目的 : 把导函数 “ 弄熟悉 ”); 3 . 对参数分类 , 分类的层次 :(1) 按导函数的类型分大类 ; (2) 按导函数是否有零点分小类 ; (3) 在小类中再按导函数零点的大小分小类 ; (4) 在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 3 (2018 湖南衡阳一模 , 理 21 节选 ) 已知函数 f ( x ) = ln x+x 2 -ax ( a> 0) . (1) 讨论 f ( x ) 在 (0,1) 上的极值点的个数 ; (2) 略 . - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 30 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求函数的极值、最值 例 4 (2018 宁夏银川一中一模 , 理 21) 已知函数 f ( x ) = ln x-ax 2 + ( a- 2) x. (1) 若 f ( x ) 在 x= 1 处取得极值 , 求 a 的值 ; (2) 求函数 y=f ( x ) 在 [ a 2 , a ] 上的最大值 . - 31 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 32 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 求最值的常用方法是由导数确定单调性 , 由单调性确定极值 , 比较极值与定义域的端点值确定最值 . - 33 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 4 已知函数 f ( x ) = ln x- ax 2 +x , a ∈ R . (1) 当 a= 0 时 , 求函数 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程 ; (2) 令 g ( x ) =f ( x ) -ax+ 1, 求函数 g ( x ) 的极值 . - 34 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 35 - 考向一 考向二 考向三 考向四 在恒成立中求参数的极值、最值 例 5 (2018 山东济宁期末 , 理 21) 设函数 f ( x ) =x+ ln x- ( a ∈ R ) . (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 当 a= 1 时 , 记 g ( x ) =xf ( x ), 是否存在整数 t , 使得关于 x 的不等式 t ≥ g ( x ) 有解 ? 若存在 , 请求出 t 的最小值 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 36 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 37 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 38 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 1 .k ≤ f ( x )( 或 k ≥ f ( x )) 恒成立 , 求参数 k 的最值问题 , 一般的解题思路是 , 先求 f ( x ) 的最小值 ( 或最大值 ), 得出关于 k ≤ g ( t )( 或 k ≥ g ( t )) 的函数不等式 , 然后再求函数 g ( t ) 的最值 . 从而得出 k 的最值 . 2 . 对于导函数的零点存在但不可求的问题 , 可根据零点存在定理确定出零点所在的区间 , 在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解 , 这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型 . - 39 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 5 (2018 福建厦门一模 , 理 21) 函数 f ( x ) =a ln x-x 2 +x , g ( x ) = ( x- 2)e x -x 2 +m , 其中 e 为自然对数的底数 . (1) 当 a ≤ 0 时 , 讨论函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 当 a= 1, x ∈ (0,1] 时 , f ( x ) >g ( x ) 恒成立 , 求正整数 m 的最大值 . - 40 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 41 - 考向一 考向二 考向三 考向四 - 42 - 考向一 考向二 考向三 考向四