河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期质检数学（理）试题

河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期质检数学（理）试题

‎2019-2020学年度存瑞中学第一学期第二次月质检 高三数学（理）试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上）‎ ‎1.已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝{x|}，则A∩B＝（ ）‎ A. （﹣∞，1） B. （﹣1，0） C. （0，1） D. （﹣1，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数的单调性求出集合,再根据交集运算即可求出．‎ ‎【详解】因为，A＝{x|x＜1}，所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．‎ ‎2.复数满足，则（　　）．‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，复数，得，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.计算的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎4.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，‎ 所以，即的近似值为，故选B.‎ 考点：《算数书》中近似计算，容易题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥 三棱锥体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.‎ ‎7.平面向量与的夹角为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选A.‎ 考点：平面向量数量积的运算.‎ ‎8.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为​‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出椭圆方程为：以及直线：，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率．‎ ‎【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，‎ ‎，即， ，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．‎ ‎9.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数的性质求出m,n，l的范围，再比较l和n的大小关系.‎ ‎【详解】∵实数，满足，，，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎∴，，的大小关系为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“‎0”‎比，再和“±‎1”‎比,比较时常用作差法.‎ ‎10.若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为函数恰好有三个单调区间，‎ 所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.‎ ‎11.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为 A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】依题意，不妨设点在第一象限，‎ 联立解得（其中），‎ 可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，‎ 即，又因为，‎ 所以可得，‎ 解得（舍去），‎ 故所求渐近线方程为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.‎ ‎12.若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．‎ ‎【详解】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．‎ 因为，‎ 当时，，当时，，‎ 而，，，‎ 作出图象，‎ 由图可知，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可知，，即可求出．‎ ‎【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为，所以，解得．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎14. 如图,无人机在离地面高‎200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由条件，,所以,,‎ ‎,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.‎ 考点：解斜三角形 ‎【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.‎ ‎【详解】设为椭圆上任意一点,‎ 则，‎ 所以，‎ 因为P在椭圆上，所以，‎ 所以，‎ 即的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎16.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,‎ 得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:‎ ‎①总有平面;‎ ‎②三棱锥体积的最大值为;‎ ‎③存在某个位置,使与所成的角为.‎ 其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.‎ ‎【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，‎ 所以BM∥平面A1DE，所以①正确；‎ 当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．‎ 存在某个位置，使DE与A‎1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，‎ 可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；‎ 故答案为①②‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．‎ ‎【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质可知，S9=‎9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．‎ ‎（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．‎ ‎【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S9=‎9a5=81，得a5=9，‎ 又由a3+a5=14，得a3=5，‎ 由上可得等差数列{an}的公差d=2，‎ ‎∴an=a3+（n-3）d=2n-1；‎ ‎（2）由题意得，‎ 所以​．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数f（x）＝2sinx•cosx+2cos2x ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间 ‎（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（），且b+c，求bc的值．‎ ‎【答案】（1）最小正周期,单调减区间为,Z（2）40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；‎ ‎（2）先由可得，进而可求出锐角，再根据余弦定理即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,的最小正周期,‎ 令,Z,解得,‎ 的单调减区间为,Z；‎ 由,即,‎ 为锐角,，由余弦定理可知：，‎ 整理得：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．‎ ‎19.如图1，梯形ABCD中，，，，，E为AD中点将沿BE翻折到的位置，如图2，为正三角形．‎ ‎（1）求证：平面平面BCDE；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明平面即可；‎ ‎（2）在平面内过E作ED的垂线，由平面，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】证明：，，且，，平面，‎ 平面，‎ 平面BCDE，平面平面BCDE；‎ 解：在平面内过E作ED的垂线，由平面，建系如图．‎ 则，0，，1，，1，，0，．‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，则，即，令，得，‎ ‎．‎ 与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直、线面垂直判定定理的应用以及利用向量法求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）面积最大值为，则：‎ 又，，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 依题意有，‎ 由可得：，可得：‎ 由可得：‎ ‎，‎ 代入上式化简可得：‎ 则：，解得：‎ 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数为自然对数的底数.‎ ‎(1)当时,试求的单调区间;‎ ‎(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为 ‎,.当 时，对于 恒成立，所以，若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.‎ 考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得 ‎，即 ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：‎ 设是方程的根，则：，‎ ‎∴‎ ‎，又 ‎ 或 ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．‎