北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三上学期期中考试数学试题

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北京师大二附中2019-2020学年度高三第一学期期中 数学测试题 一、选择题 ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过补集的概念与交集运算即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意得，故，答案选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小.‎ ‎2.下列命题中的假命题是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。‎ 考点：特称命题与存在命题的真假判断。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.若复数满足，则的共轭复数的虚部是( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的加减运算求出，得到共轭复数，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，因此其共轭复数为，‎ 所以虚部为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复数的虚部，熟记复数的概念，复数的加减运算，以及复数的共轭复数即可，属于基础题型.‎ ‎4.在中，内角为钝角，，，，则（）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 5 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据同角三角函数平方关系求，再根据余弦定理求 ‎【详解】因为为钝角，‎ 所以 因此由余弦定理得 ‎（负值舍去），选A.‎ ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎5.若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得：，∵不等式成立的必要条件是，‎ ‎∴，故，故选A.‎ ‎6.在等比数列中，，前项和为，若数列也等比数列，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等比数列的公比为，根据数列也是等比数列，得到，求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，又数列也是等比数列，‎ 所以，即，‎ 解得，所以；‎ 因此；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎7.如图，在梯形中，，，为边上一点，则的最小值为 A. 10 B. 12‎ C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果.‎ ‎【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以,即 ‎,,选C.‎ ‎【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.‎ ‎8.函数在上有定义,若对任意,有 则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下题:①在上的图像是连续不断的; ②在上具有性质;‎ ‎③若在处取得最大值,则;④对任意,有 其中真命题的序号（　　）‎ A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎①可以不连续，只要满足图像是向下凸的特征即可。‎ ‎②正确。由Ｐ性质的定义可知[1,3]具有性质Ｐ，则在此子区间上也应具有此性质．‎ ‎③正确.f(x)在x=2处取得最大值1，故对任意x1,x2属于[1,3]，‎ 有,所以对任意，有，‎ 而,故f(x)=1，.‎ ‎④令 ‎,‎ 二、填空题 ‎9.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.‎ ‎10. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 ．‎ 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）‎ ‎【答案】轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑。轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均可。‎ 考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质。‎ 点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想。‎ ‎11.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.‎ ‎【详解】由已知得，‎ 解得或，‎ 因为，所以.‎ 因为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.‎ ‎12.在中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由正弦定理可得，解得。所以。因为，所以，所以角为锐角，所以,‎ 考点：1三角形中正弦定理；2同角三角函数基本关系式。‎ ‎13.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先过点作垂直准线于点，由抛物线定义得到，再由题意求出，得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】过点作垂直准线于点，‎ 由抛物线定义可得：，‎ 又，所以，‎ 因此，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.‎ ‎14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：‎ ‎①函数的对称中心坐标为______；‎ ‎②计算________.‎ ‎【答案】 (1). （，1） (2). 2018‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；‎ ‎②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果.‎ ‎【详解】①因为，所以，‎ 所以，‎ 由得，此时，‎ 由题意可得，即为函数的对称中心；‎ ‎②由①知，函数关于中心对称，‎ 所以，即，‎ 因此；‎ 记，‎ 则 ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求对称中心，倒序相加法求函数值的和，熟记函数对称性，以及导数的计算公式即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎15.已知等差数列满足，前3项和.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列满足，，求的前项和.‎ ‎【答案】(1)an (2)=2n﹣1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设等差数列的公差为，根据题意求出首项与公差，即可求出结果；‎ ‎（2）先设等比数列的公比为，根据题意求出公比，由求等比数列的求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，前3项和．‎ ‎∴，，解得，．‎ ‎∴．‎ ‎（2）设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，解得．‎ ‎∴前项和．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型 ‎16.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析： （1）观察图象可知，周期，‎ 根据点在函数图象上，得到，结合，求得；‎ 再根据点（0，1）在函数图象上，求得，即得所求.‎ ‎（2）首先将化简，利用“复合函数单调性”，‎ 由，得，‎ 得出函数的单调递增区间为.‎ ‎【详解】（1）由图象可知，周期，‎ ‎∵点函数图象上，∴，∴，解得 ‎，‎ ‎∵，∴；‎ ‎∵点（0，1）在函数图象上，∴，‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎（2）‎ ‎==，‎ 由，得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为 ‎17.已知圆.‎ ‎（1）直线与圆相交于两点，求弦的长度；‎ ‎（2）如图，设，是圆上两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)先求出圆心(0,0)到直线的距离,再利用弦长公式求得弦长AB的值. (2)先求出的坐标,用两点式求直线的方程,根据方程求得他们在y轴上的截距m,n的值,计算mn的值,可得结论.‎ 试题解析：（1）由于圆心到直线的距离.‎ 圆的半径，所以.‎ ‎（2）由于，是圆上的两个动点，则可得，，‎ 且，.‎ 直线的方程为，令 求得.‎ 直线的方程为，令 求得.‎ ‎ .‎ 显然为定值.‎ ‎18.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）若时,,求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ 而，‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设函数，‎ ‎．‎ 由题设可得，即，‎ 令得, ．．（6分）‎ ‎①若，则，∴当时，‎ ‎，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，‎ 而．‎ ‎∴当时，，即恒成立． ．（8分）‎ ‎②若，则，‎ ‎∴当时，，∴在单调递增，‎ 而，∴当时，，即恒成立，‎ ‎③若，则，‎ ‎∴当时，不可能恒成立． ．（10分）‎ 综上所述，的取值范围为．（12分）‎ 考点：用导数研究函数的性质．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ ‎【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；‎ ‎（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知得，l的方程为.‎ 由已知可得，点的坐标为或.‎ 所以的方程为或.‎ ‎（2）当与轴重合时，.‎ 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.‎ 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，‎ 则，直线、的斜率之和为.‎ 由得.‎ 将代入得.‎ 所以，.‎ 则.‎ 从而，故、的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.‎ ‎20.设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）的元素为和.‎ ‎（Ⅱ）因为存在使得，所以.‎ 记，‎ 则，且对任意正整数.‎ 因此，从而.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设.记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数p不小于.‎ ‎【考点】数列、新定义问题.‎ ‎【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎