2018-2019学年重庆市万州第二高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市万州第二高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市万州第二高级中学高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设，，若//，则实数的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量平行的坐标表示，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由//，且，‎ 所以 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的坐标表示，属基础题.‎ ‎2．设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质以及等差数列的求和公式，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由数列是等差数列，‎ 所以，‎ 则 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质在求和中的应用，属基础题.‎ ‎3．在中，已知，，，则角等于（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】根据边长的比较，可知大小关系，结合正弦定理，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，已知，‎ 可知，所以 由，又 可知，则 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理，属基础题.‎ ‎4．以下给出了4个命题：‎ ‎（1）两个长度相等的向量一定相等；‎ ‎（2）相等的向量起点必相同；‎ ‎（3）若，且，则；‎ ‎（4）若向量的模小于的模，则．‎ 其中正确命题的个数共有（ ）‎ A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0个 ‎【答案】D ‎【解析】利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；‎ ‎（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；‎ ‎（3）若，且，则是错误的，举一个反例，如，不一定相等，所以该命题是错误的；‎ ‎（4）若向量的模小于的模，则，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意：‎ 又 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.‎ ‎6．数列是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列通项公式展开，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题可知：‎ ‎ ①‎ 即 ②‎ ‎①代入②可得 所以 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式的应用，属基础题.‎ ‎7．已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则等于 （ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】此题考查向量的数量积、余弦定理的应用；由得到：且，所以；又由，所以选D；‎ ‎8．在等差数列中，，其前项和为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】假设公差，根据等差数列的通项公式以及前项和公式，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 由 则 即 所以 故 又，所以 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，属基础题.‎ ‎9．如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2 ，BC=，由题意知， ‎ ‎△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1××‎ ‎ =7+2，‎ ‎∵，∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2 ①．‎ 如图，作 =x ，=y，则=+，CC′=x﹣1，C′B=y，‎ Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，即 6=（x﹣1）2+y2，②‎ 由①②可得 x=1+，y=，‎ 故答案选B ‎10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )‎ A．4072 B．2026 C．4096 D．2048‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，‎ 则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，‎ 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，‎ 则Tn，‎ 可得当n＝10，所有项的个数和为55，‎ 则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，‎ 则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎11．定义在R上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，， 即为，即有恒成立，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值.‎ 详解：，可得为偶函数，‎ 当时，，‎ 可得时，递减，；‎ 当时，递减，且，‎ 在上连续，且为减函数，‎ 对任意的，不等式 恒成立，‎ 可得，‎ 即为，‎ 即有对任意的，‎ 恒成立，‎ 由一次函数的单调性，可得：‎ ‎，‎ 即有，‎ 则的最大值为，故选C.‎ 点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现， 函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎12．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由方程都有四个不相等的实根 则函数与，图像 有四个交点， ‎ 由 即 如图，‎ 所以 故 又 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．设向量满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平面向量的数量积，求出向量的模长即可．‎ ‎【详解】‎ 向量满足，,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的数量积，模长，夹角，属于容易题．‎ ‎14．已知数列的前项和，则数列 的通项公式是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，（2）当时，不适合上式，.所以答案应填：．‎ ‎【考点】求数列的通项公式．‎ ‎【易错点睛】解答本题的关键是，但这里，也就是说取从开始的正整数，学生易忽略使用的条件，直接下结论导致错误，漏掉求时的值，有的在求时的值时不是通过来求，而是把代入求得导致错误.本题主要考查数列递推式的知识，难度不大，属于基础题.‎ ‎15．设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B．则a的值为_______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】在中， ‎ 可得 ‎ 整理得，∴由余弦定理可得 ， 故答案为2.‎ ‎16．若（），则在中，正数的个数是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦函数的周期，以及数列的知识，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 令，可知最小正周期为 且若为整数，可得为0‎ 所以，‎ 而共7个 共7个 其他 所以正数一共有 个 故答案为：86‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦型函数的周期的应用，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设A，B，C，D为平面内的四点，且，，．‎ ‎（1）若，求点D的坐标；‎ ‎（2）设向量，，若与垂直，求实数k的值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）设点D的坐标为，求出的坐标，由，得到方程，即可求解；‎ ‎（2）求出坐标，与垂直，数量积为，得到关于的方程，求解，可得结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设点D的坐标为，则．‎ 因为，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以点D的坐标是．‎ ‎（2），‎ 由与垂直，‎ 得，‎ 即，‎ ‎，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，涉及到共线、垂直的坐标关系，属于基础题.‎ ‎18．记为等差数列的前项和，已知 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）当 ‎【解析】分析：（1）根据得到公差，由等差数列的通项公式得到通项；（2）根据等差数列的n项和公式得到：，结合二次函数的性质得到结果.‎ 详解：‎ ‎（1）因为，根据等差数列的通项公式得到：以 ‎（2）根据等差数列的n项和公式得到：‎ 当 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎19．在△ABC中，，，.‎ ‎(1) 求证：△ABC为直角三角形；‎ ‎(2) 若△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的周长的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据题目所给两个向量的数量积列方程，利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此证明三角形为直角三角形.（2）将边长转化为角的形式，由此求得三角形周长的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于，化简得，由于在三角形中，所以，故，所以三角形为直角三角形.（2）设，由于三角形是直角三角形，所以三角形周长为，由于，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用三角形内角和定理、两角和的正弦定理判断三角形形状，考查三角形周长的取值范围的求法，属于中档题.‎ ‎20．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可得.且，即，据此可知数列是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为.‎ ‎（2）由题意可知，错位相减结合分组求和可得.‎ 详解：（1）由得：，解得，‎ 由，解得.‎ 当时， ，即：‎ ‎， ①‎ ‎ ②‎ 由②- ①得，‎ ‎ ∴，又，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，‎ 即.‎ ‎（2）∵，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 记③，‎ ‎④，‎ 由③④得：‎ ‎ ，‎ 所以. ‎ 所以.‎ 点睛：本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎21．在直角坐标系中，已知点，，，其中.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）2；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.‎ ‎（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意：，‎ ‎；‎ 所以 则 即；‎ 因为，所以；‎ 所以当，即时，‎ 取得最大值；‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ ‎；‎ 又，所以，，‎ 所以，；‎ 所以若为钝角三角形，则角是钝角，‎ 从而；‎ 由（1）得，‎ 解得；‎ 所以，即；‎ 反之，当时，，‎ 又三点不共线，所以为钝角三角形；‎ 综上，当且仅当时，为钝角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.‎ ‎22．已知数列为等比数列，其前项和为，且的等差中项为，若.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的结论，可得，然后分离参数，并构造新的函数，研究新函数的值域与的大小关系，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题意：‎ ‎，可得 ‎（2）‎ 由，，所以 不等式恒成立 即 即恒成立 记，‎ 即 单调递减.‎ ‎，‎ 不等式 恒成立的实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和前项和，还考查了从函数特点研究数列的问题，属中档题.‎