2016年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

2016年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学（理工类） 解析版 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号. 2 .本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式 V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式 V = Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高． h 表示棱柱的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 则 =（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 3 1 {1,2,3,4}, { | 3 2 },A B y y x x A    ， A B {1} {4} {1,3} {1,4} 试题分析： 选 D.[来源:] 考点：集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数 较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做 到不重不漏. （2）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 最小值 6， 选 B。 考点：线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离 等等，最后结合图形确定目标函 数最值取法、值域范围. （3）在△ABC 中，若 ,BC=3， ,则 AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】 试题分析：由余弦定理得 ,选 A. 考点：余弦定理 【名师点睛】1 .正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正 弦定理求解也可以用余弦定理求解． 2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的． （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）[来源:] （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 {1,4,7,10},A B {1,4}.B   2 0, 2 3 6 0, 3 2 9 0. x y x y x y            2 5z x y  4 = 13AB 120C   213 9 3 1AC AC AC     【答案】B 【解析】 试题分析：依次循环： 结束循环，输 出 ，选 B. 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先 明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次 要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明 确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. （5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q<0”是“对任意的正 整数 n，a2n−1+a2n<0”的（ ） （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件[来源:ZXXK] 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得， ，故是 必要不充分条件，故选 C. 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若q 则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则 p 是 q 的充分条件． 2．等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p，q⇒p 与非 p⇒非 q，p⇔q 与非 q⇔非 p 的等价关系，对于条件或结论 是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件． （6）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近 线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S       S 4 2 2 2 1 2( 1) 2 1 2 10 ( ) 0 ( 1) 0 ( , 1)n n n n na a a q q q q q                2 2 2 4 =1x y b 22 44 3 =1yx  22 34 4 =1yx  2 2 2 4 =1x y b 22 24 =11 x y 【答案】D 考点：双曲线渐近线 【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点： (1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪 条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法． (2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)． ②若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． （7）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 得 ，则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） [来源:Z§xx§k.Com] 【答案】B 【解析】 试题分析：设 ， ，∴ ， ， ，∴ ，故选 B. 考点：向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是 利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提 供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用 坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． ED, BCAB, DE F EFDE 2 BCAF  8 5 8 1 4 1 8 11 BA a  BC b  1 1 ( )2 2DE AC b a      3 3 ( )2 4DF DE b a      1 3 5 3( )2 4 4 4AF AD DF a b a a b                25 3 5 3 1 4 4 8 4 8AF BC a b b             （8）已知函数 f（x）= （a>0,且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） （A）（0， ] （B）[ ， ] （C）[ ， ] { }（D）[ ， ） { } 【答案】C 【解析】 试题分析：由 在 上递减可知 ，由方程 恰好有两个不相 等的实数解，可知 ， ，又∵ 时，抛物线 与直线 相切，也符合题意，∴实数 的去范围是 ，故选 C. 考点：函数性质综合应用 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第Ⅱ卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题，共计 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知 ，i 是虚数单位，若 ，则 的值为_______. 【答案】2 【解析】 试题分析： ，则 ，所以 ， ，故答案为 2． 考点：复数相等 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实 2 (4 , 0, log ( 1) 1 3 , 0 3) a x a xa x x x          | ( ) | 2f x x  2 3 2 3 3 4 1 3 2 3  3 4 1 3 2 3  3 4 ( )f x R 3 4 0 1 3 3 1,0 1 3 4 a aa a         | ( ) | 2f x x  13 2, 1 2a a   1 2 3 3a  3 4a  2 (4 3) 3y x a x a    2y x  a 1 2 3[ , ] { }3 3 4 ,a b  R (1 )(1 )i bi a   a b (1 )(1 ) 1 (1 )i bi b b i a       1 1 0 b a b      2 1 a b    2a b  掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭为 （10） 的展开式中 x2 的系数为__________.(用数字作答) 【答案】 考点：二项式定理 【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建 立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r)；第二 步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其 为整数，再根据数的整除性来求解． （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积 为_______m3. [来源:Z*xx*k.Com] 【答案】2 【解析】 试题分析：由三视图知四棱锥高为 3，底面平行四边形的底为 2，高为 1，因此体 积为 ．故答案为 2． 考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的 形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图 的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． （12）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为__________. ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )       ，a bi c di ac bd ad bc i a b c d R 2 2 ( ) ( ) ,( , , . )      ，a bi ac bd bc ad i a b c d Rc di c d ( , ) a bi a b R a b 2 2a b .a bi 2 81( )x x 56 1 (2 1) 3 23V      【答案】 【解析】 试题分析：设 ，则由相交弦定理得 ， ，又 ，所以 ，因为 是直径，则 ， ，在圆中 ， 则 ，即 ，解得 考点：相交弦定理 【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切 割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时， 可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来 代换，解题时应灵活把握． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、 与圆有关的相似三角形等． （ 13 ） 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 （ - ， 0 ） 上 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 ，则 a 的取值范围是______. 【答案】 考点：利用函数性质解不等式 【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： 2 3 3 CE x DE CE AE BE   2DE x 2BD DE x  1AC AE  AB 2 23 1 2 2BC    2 49AD x  BCE DAE : BC EC AD AE 2 2 2 149 x x   2 3 3x   1(2 ) ( 2)af f   1 3( , )2 2 (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把 握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． (14) 设抛物线 ，（t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足 为 B.设 C（ p,0）， AF 与 BC 相交于点 E.若| CF|=2|AF|，且 △ACE 的面积为 ，则 p 的值为 _________. 【答案】 【解析】 试题分析：抛物线的普通方程为 ， ， ，又 ，则 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，则 ，由 得 ， 即 ，所以 ， ，所以 ， ． 考点：抛物线定义 【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋ p 2；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准 方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. （15）已知函数 f(x)=4tanxsin( )cos( )- . (Ⅰ)求 f(x)的定 义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 f(x)在区间[ ]上的单调性. 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）在区间 上单调递增, 在区间 上单 调递减. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数： 22 2 x pt y pt     7 2 3 2 6 2 2y px ( ,0)2 pF 7 32 2 pCF p p   2CF AF 3 2AF p 3 2AB p Ax p | | 2Ay p //CF AB EF CF EA AB 2EF CF EA AF  2 6 2CEF CEAS S   9 2ACF AEC CFES S S     1 3 2 9 22 p p   6p  2 x  3x  3 ,4 4   ,2x x k k Z        . ,12 4      4 12       ， ，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（1）的结论，研究三角函数在区间 [ ]上单调性 试题解析： 解： 的定义域为 . . 所以, 的最小正周期 解：令 函数 的单调递增区间是 由 ,得 设 ，易知 . 所以, 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减. 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表 示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、 配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的 保证.对于三角函数来说，常常是先化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角 恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化 思想的体现；降次是 一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． (16 ) （本小题满分 13 分） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现 从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.  ( )=2sin 2 3f x x    ,4 4      f x ,2x x k k Z          4tan cos cos 3 4sin cos 33 3f x x x x x x                21 3=4sin cos sin 3 2sin cos 2 3sin 32 2x x x x x x            =sin 2 3 1-cos2 3 sin 2 3 cos2 =2sin 2 3x x x x x       f x 2 .2T      2 ,3z x   2siny z 2 , 2 , .2 2k k k Z         2 2 22 3 2k x k         5 , .12 12k x k k Z        5, , ,4 4 12 12A B x k x k k Z                    ,12 4A B       ,4 4x        f x ,12 4      4 12       ， （I）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件A 发生的概率； （II）设 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析 试题解析：解： 由已知，有 所以，事件 发生的概率为 . 随机变量 的所有可能取值为 ， ， . 所以，随机变量 分布列为 随机变量 的数学期望 . 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法 1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； 2．已知随机变量 ξ 的均值、方差，求 ξ 的线性函数 η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用 ξ 的均值、方差的性质求解； 3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方 差公式求解．[来源:ZXXK] (17) （本小题满分 13 分） 如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB=BE=2. X X 1 3 ( )   1 1 2 3 4 4 2 10 1 ,3 C C CP A C   A 1 3 ( ) X 0,1,2.   2 2 2 3 3 4 2 10 0 C C CP X C    4 15   1 1 1 1 3 3 3 4 2 10 71 15 C C C CP X C      1 1 3 4 2 10 42 15 C CP X C   X X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 X   4 7 40 1 2 115 15 15E X        （I）求证：EG∥平面 ADF； （II）求二面角 O-EF-C 的正弦值； （III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） （Ⅲ） . （ I ） 证 明 ： 依 题 意 ， . 设 为 平 面 的 法 向 量 ， 则 2 3 3 3 7 21  1,1,0 , ( 1, 1,0), (1, 1,0), (11,0), ( 1, 1,2), (0,0,2), ( 1,0,0)A B C D E F G      ，  (2,0,0), 1, 1,2AD AF     1 , ,n x y z ADF ， 即 . 不 妨 设 ， 可 得 ， 又 ， 可 得 ，又因为直线 ，所以 . （II）解：易证， 为平面 的一个法向量.依题意， .设 为平面 的法向量，则 ，即 .不妨设 ，可得 . 因此有 ，于是 ，所以，二面角 的正弦值 为 . （III）解：由 ，得 .因为 ，所以 ，进 而有 ，从而 ，因此 .所以，直线 和 平面 所成角的正弦值为 . 考点：利用空间向量解决立体几何问题 【名师点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是 利用坐标运算． 2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． (1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0； (2)|a|＝ a2； (3)cos〈a，b〉＝ a·b |a||b|. (18) 已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 是 和 的等差中项. (Ⅰ)设 ，求证： 是等差数列； (Ⅱ)设 ，求证： 1 1 0 0 n AD n AF          2 0 2 0 x x y z      1z   1 0,2,1n   0,1, 2EG   1 0EG n   EG ADF 平面 / /EG ADF平面  1,1,0OA   OEF    1,1,0 , 1,1,2EF CF     2 , ,n x y z CEF 2 2 0 0 n EF n CF          0 2 0 x y x y z       1x   2 1, 1,1n   2 2 2 6cos , 3 OA nOA n OA n           2 3sin , 3OA n   O EF C  3 3 2 3AH HF 2 5AH AF  1, 1,2AF   2 2 2 4, ,5 5 5 5AH AF         3 3 4, ,5 5 5H     2 8 4, ,5 5 5BH       2 2 2 7cos , 21 BH nBH n BH n           BH CEF 7 21  na d ,bnn N  na 1na  2 2 * 1 ,n n nc b b n N    nc   2 2 * 1 1 , 1 , n n n n k a d T b n N      2 1 1 1 .2 n k kT d  【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】[来源:学_科_网] 试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得： ，从而 ， 因此根据等差数列定义可证： （ Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先 利用分组求和化简 ，再利用裂项 相消法求和 ，易得结论. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝Error!的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交 于点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率的取值范围. 2 1n n nb a a  2 2 1 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a da           2 1 2 12 2n n n nc c d a a d        2 2 1 1 n n n n k T b         2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2n nb b b b b b          22 1d n n   2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 n n n k k kkT d k k d k k d n                      13 2 2 2  y a x 3a F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF  O e A l B B x l l M y H HFBF  MOA MAO   l 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由 ，得 ， 再利用 ，可解得 ， （Ⅱ）先化简条件： ，即 M 再 OA 中垂线上， ，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 ；利用两直线方程组求 H，最后根 据 ，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设 ，由 ，即 ，可得 ， 又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 . （2）（Ⅱ）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 .设 ，由方程组 ，消去 ，整理得 .[来源:Zxxk.Com] 设 ，由方程组 消去 ，解得 .在 中， 2 2 14 3 x y  ),4 6[]4 6,(   1 1 3 | | | | | | c OF OA FA  1 1 3 ( ) c c a a a c   2 2 2 3a c b   2 1c  2 4a  MOA MAO    | | | |MA MO 1Mx  B HFBF  ( ,0)F c 1 1 3 | | | | | | c OF OA FA  1 1 3 ( ) c c a a a c   2 2 23a c c  2 2 2 3a c b   2 1c  2 4a  2 2 14 3 x y  l k 0k l )2(  xky ),( BB yxB      )2( 134 22 xky yx y 0121616)34( 2222  kxkxk ),( MM yxM      )2( 12 491 2 xky k kxky y )1(12 920 2 2   k kxM MAO ，即 ，化简得 ，即 ，解 得 或 . 所以，直线 的斜率的取值范围为 . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． （20）（本小题满分 14 分） 设函数 , ，其中 (I)求 的单调区间； (II) 若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ； （Ⅲ）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 . 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数： ，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：① 当 时，有 恒成立， 所以 的单调增区间为 .②当 时，存在三个单调区间 （Ⅱ）由题意得 ，计算可得 再由 及单调性可得结论（Ⅲ）实 质研究函数 最大值：主要比较 ， 的大小即可，分三种情况研究① 当 时， ，②当 时， |||| MOMAMAOMOA  2222)2( MMMM yxyx  1Mx 1)1(12 920 2 2   k k 4 6k 4 6k l ),4 6[]4 6,(   3( ) ( 1)f x x ax b    Rx Rba , )(xf )(xf 0x )()( 01 xfxf  01 xx  1 02 3x x  0a |)(|)( xfxg  )(xg ]1,1[ 4 1 axxf  2)1(3)(' 0a  ( ) 0f x  ( )f x ( , )  0a  3)1( 2 0 ax  0 0(3 2 ) ( )f x f x  )()( 01 xfxf  )(xg (1), ( 1)f f  3 3| ( |,| ( ) |3 3 a af f  3a  3 31203 31 aa  3 34 a  ，③当 时， . 试题解析：（Ⅰ）解：由 ，可得 . 下面分两种情况讨论：[来源:ZXXK] （1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 . （2）当 时，令 ，解得 ，或 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表： [来源:学*科*网 Z*X*X*K] ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， . （ Ⅱ ） 证 明 ： 因 为 存 在 极 值 点 ， 所 以 由 （ Ⅰ ） 知 ， 且 ， 由 题 意 ， 得 ，即 ， 进而 . 又 ，且 ，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且 ，因此 ，所以 ； （Ⅲ ）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 两数的最大值.下面分三种情况同 理： （1）当 时， ，由（Ⅰ）知， 在区间 上单调递减，所以 在 区间 上的取值范围为 ，因此 3 32123 313 3103 321 aaaa  30 4a  23 313 310  aa baxxxf  3)1()( axxf  2)1(3)(' 0a 0)1(3)(' 2  axxf )(xf ),(  0a 0)(' xf 3 31 ax  3 31 ax  x )(' xf )(xf x )3 31,( a 3 31 a )3 31,3 31( aa  3 31 a ),3 31(  a )(' xf )(xf )(xf )3 31,3 31( aa  )3 31,( a ),3 31(  a )(xf 0a 10 x 0)1(3)(' 2 00  axxf 3)1( 2 0 ax  baxabaxxxf  33 2)1()( 00 3 00 baaxxabxaxxf  32)1(3 8)22()22()23( 000 3 00 )(33 2 00 xfbaxa  0023 xx  )()( 01 xfxf  01 xx  01 23 xx  32 01  xx )(xg ]2,0[ M },max{ yx yx, 3a 3 31203 31 aa  )(xf ]2,0[ )(xf ]2,0[ )]0(),2([ ff ，所以 . （2）当 时， ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ， ， 所以 在区间 上的取值范围为 ，因此 . 综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 . 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】 1.求可导函数单调区间的一般步骤 |}1||,21max{||})0(||,)2(max{| bbaffM  |})(1||,)(1max{| baabaa       0),(1 0),(1 babaa babaa 2||1  baaM 34 3  a 3 32123 313 3103 321 aaaa  )3 31()3 321()0( afaff  )3 31()3 321()2( afaff  )(xf ]2,0[ )]3 31(),3 31([ afaf  |}39 2||,39 2max{||})3 31(||,)3 31(max{| baaabaaaafafM  |}21||,1max{||})2(||,)0(max{| babffM  |})(1||,)(1max{| baabaa  4 1||1  baa 0a )(xg ]2,0[ 4 1 (1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的解集． (4)由 f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可 分类讨论求得单调区间． 2．由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题， 要注意“＝”是否可以取到．